5.1: Вступ до моделі ендаументу

Цей розділ вводить зморшки до стандартної моделі теорії споживачів, що значно підвищує її застосовність. Замість того, щоб розглядати дохід як певну грошову суму, ми моделюємо споживача як має заданий початковий запас товарів, якими можна торгувати за інші товари. Це перетворює споживача в об'єднаного споживача і продавця.

Хоча сила цього підходу може бути не відразу очевидною, ми побачимо, що з цією модифікацією можна впоратися найрізноманітніші приклади, такі як заощадження/запозичення, благодійне надання та багато іншого.

Бюджетне обмеження в моделі ендаументу

Замість звичайної змінної доходу (m), модель ендаументу характеризується бюджетним обмеженням, яке прирівнює витрати та доходи від продажів поза початковим ендаументом. \[p_1x_1 + p_2x_2 = p_1 \omega _1 + p_2 \omega _2\]Термін з правого боку говорить про те, що споживач має задану кількість кожного товару,\(\omega _1\) і\(\omega _2\) (це грецька буква омега, тому у нас є омега-один і омега-два). Тому що початкові суми кожного товару даються,\(\omega _1\) і\(\omega _2\) є екзогенними змінними.

Стартова сума кожного блага, координатної пари\(\omega _1\)\(\omega _2\), називається початковим ендаументом. Якщо помножити початкову суму кожного товару на ціну цього товару, як це робиться в правій частині рівняння бюджетних обмежень, ми отримаємо суму, оцінену доларом, яка представляє загальний дохід, який можна підняти, продаючи весь фонд.

Таким чином, бюджетне обмеження говорить про те, що витрати (з лівого боку) повинні дорівнювати вартості активів споживача (з правого боку).

Класичним прикладом для ілюстрації того, хто працює з обмеженням моделі обдарування, є фермер, який виходить на ринок зі своїм урожаєм. Він продає свою продукцію і з доходом, отриманим від продажу, купує інші товари. Основна ідея полягає в тому, що фермер є покупцем і продавцем.

Мабуть, більш сучасним прикладом є eBay. Люди продають всілякі продукти і обертаються і купують різні продукти. Це масова спільнота інтернет-гаражних продажів. Знову ж таки, основна ідея полягає в тому, що eBayers продають і купують.

У моделі ендаументу те, що агент може придбати, залежить від того, скільки доходу генерується продажами. Високі ціни на товари, що продаються, є хорошою річчю з точки зору агента, оскільки вони приносять великий дохід, за допомогою якого можна купувати інші товари.

Оскільки моделі ендаументу перетворюють споживача на комбінованого агента купівлі-продажу, ми можемо отримати інші результати, ніж ми бачили в Стандартній моделі. Однією з критичних відмінностей є те, що підвищення цін призводить до зменшення кількості затребуваних (припускаючи, що товар нормальний), як завжди, але оскільки ціна продовжує зростати, ми можемо перетнути нульовий бар'єр і отримати негативну кількість вимагається! Ми побачимо, що агент переходить від покупця до продавця. Це ключова ідея.

Давайте розмістимо ці абстрактні ідеї в конкретні приклади, щоб ми могли зрозуміти, що відбувається з моделлю ендаументу.

КРОК Відкрийте книгу Excel EndowmentIntro.xls, прочитайте Введення аркуша, а потім перейдіть до листа MovingAround. Дотримуйтесь інструкцій на аркуші, щоб дізнатися, як ми можемо створити бюджетну лінію з однієї точки.

Так само, як і Стандартна модель, агент стикається з кордоном можливостей споживання, також відомим як бюджетна лінія, яка показує можливі комбінації. Зв'язки за лінією недосяжні.

КРОК. Перейдіть до листа Властивості.

Зверніть увагу, як ми можемо використовувати вартість ендаументу для вимірювання «доходу» агента. Починаючи з 35,10 і\(p_1 = 2, p_2 = 3\), вартість ендаументу становить $100 ($70 від\(x_1\) і $30 з\(x_2\)). \(x_2\)Найбільше агент може мати - це\(33 \frac{1}{3}\) перехоплення y і максимум\(x_1\), перехоплення x, дорівнює 50.

Виділене коло на графіку (відтворюється як рис. 5.1) являє собою початковий ендаумент. З початкового виділення 35,10 агент може рухатися на північний захід, продаючи\(x_1\) та купуючи\(x_2\). Або агент може вирішити придбати ще більше,\(x_1\) продаючи\(x_2\) та купуючи\(x_1\), що означає подорож у південно-східному напрямку. Нахил обмеження є звичайним співвідношенням ціни.

Малюнок 5.1: Обмеження бюджету моделі пожертвування.

Джерело: EndowmentIntro.xls! Властивості

Що буде робити споживач з точки зору купівлі-продажу? Іншими словами, де агент опиниться на бюджетній лінії? Ми не знаємо, тому що у нас немає ніякої інформації про переваги цього агента. Однак перед тим, як вирішити цю проблему, нам потрібно побачити, як змінюється обмеження бюджету, коли екзогенна змінна шокована.

КРОК. Перейдіть до аркуша змін. Зміна\(p_1\) (в К9) з 2 на 5.

Це інакше, ніж раніше. Замість обмеження бюджету, що обертається навколо перехоплення y (як у стандартній моделі, cash-recome), ваш екран повинен виглядати як рис. 5.2. Обмеження бюджету оберталося або оберталося, як це робилося раніше, але ротація навколо початкового пожертвування. Це критична різниця.

Малюнок 5.2:\(p_1\) Збільшення моделі ендаументу.

Джерело: EndowmentIntro.xls! Зміни

Те, як змінилося бюджетне обмеження, розкриває важливу інформацію. Зростання цін покращило можливості споживання агента, якщо вона планує подорожувати на північний захід на обмеження. Це має сенс, оскільки вона була б продавцем хорошого 1, і, з вищою ціною, у неї було б більше грошей, з якими можна було б придбати хороший 2.

З іншого боку, якщо вона є покупцем, то ми отримуємо звичайний результат, що розвернулася бюджетна лінійка і зменшила можливості споживання.

КРОК Натисніть кнопку і змініть\(p_1\) (в К9) з 2 на 1.

Зверніть увагу, як бюджетна лінія знову оберталася навколо ендаументу, але на цей раз агент гірше, якщо вона продавець і краще, якщо вона є покупцем.

КРОК Натисніть кнопку і змініть\(p_2\) (в К10) з 3 на 6. Результат точно такий же, як при зміні\(p_1\) (в К9) з 2 на 1.

Це показує урок: Все, що має значення в моделі ендаументу, - це відносні ціни,\(\frac{p_1}{p_2}\). Так\(p_1=1, p_2=3\) само, як\(p_1=2, p_2=6\) і\(p_1=10, p_2=30\) і будь-який\(p_1\) і\(p_2\) чиє\(p_1/p_2\) співвідношення є\(\frac{1}{3}\).

Нарешті, ми розглядаємо зрушення в бюджетному обмеженні. Ми не можемо перекласти m (грошовий дохід), як ми це робили в Стандартній моделі, але ми можемо шокувати початкові обсяги пожертвування товарів, і це діє як зміна доходу.

КРОК Натисніть кнопку і змініть\(\omega _1\) (в К13) з 35 на 50.

Графік тепер виглядає як звичайне збільшення доходу в Стандартній моделі.

КРОК Натисніть кнопку і змініть\(\omega _2\) (в К14) з 10 на 2.

Це породжує зсув бюджетних обмежень вниз. Таким чином, зміни цін спричиняють обертання (або повороти або вертлюги), а потрясіння ендаументу спричиняють зрушення.

Обмеження бюджету в моделі ендаументу відіграє ту ж роль, що і бюджетні обмеження в стандартній моделі. У ньому описуються можливості споживання агента. На відміну від Стандартної моделі, однак, де зміни цін викликали обертання навколо перехоплення x або y, цінові шоки в моделі ендаументу призводять до повороту навколо початкового пожертвування. Має сенс, що початковий пожертвування залишатиметься таким же, як зміна цін, оскільки агент не купує і не продає при початковому обдаруванні, тому ціна на цей момент не має значення.

Щоб отримати зрушення в бюджетному обмеженні, нам доведеться змінити або\(\omega _1\) або\(\omega _2\). Це змінює початкову точку пожертвування та дозволяє агенту купувати та продавати з нової точки пожертвування, створюючи нову бюджетну лінію.

Тепер, коли ви розумієте бюджетні обмеження, ми готові вирішити проблему максимізації обмеженої корисності агента за допомогою моделі ендаументу.

Початкове рішення

Корисність моделі ендаументу така ж, як і стандартна модель. Уподобання агента показуються кривими байдужості, які математично представлені корисною функцією.

Агент прагне максимізувати корисність, враховуючи бюджетні обмеження. Як завжди, ми можемо вирішити цю задачу чисельно і аналітично.

КРОК. Приступаємо до оптимальноговибору листа. На малюнку 5.3 показано, як виглядає цей аркуш при першому його відкритті.

Малюнок 5.3: Початковий вигляд задачі оптимізації.

Джерело: EndowmentIntro.xls! Оптимальний вибір

Зверніть увагу, як організація така ж, як Стандартна модель. Є мета, ендогенні змінні (синім кольором) і екзогенні змінні (зеленим кольором). Агент прагне максимізувати корисність, представлену функціональною формою Кобба-Дугласа, шляхом вибору кількості\(x_1\) та\(x_2\) споживання з урахуванням бюджетних обмежень.

Графік також схожий, з додаванням точки Е, що представляє початковий ендаумент. Існує три репрезентативні криві байдужості (є нескінченність таких кривих, по одній через кожну точку квадранта).

Хоча багато знайоме, малюнок 5.3 та екран вашого комп'ютера мають деякі помітні нововведення. Клітини B18 і B19 були додані до списку екзогенних змінних. Вони являють собою даний початковий ендаумент. Клітинка B20 має формулу, яка обчислює m, яка не виділена жирним шрифтом, щоб вказати, що вона походить від інших екзогенних змінних.

Крім того, осередки C11: E12 є новими. Давайте дізнаємося, що вони нам говорять.

КРОК Натисніть на D11, щоб побачити його формулу, = x1_ - w1_.

Підкреслення (_) використовується для відрізнення імен, x1 і w1, від адрес комірок, X1 і W1. Нижній регістр w є найближчим англійським символом до\(\omega\).

Більш суттєво формула обчислює чистий попит, скільки споживач хоче купити або продати. Він приймає валовий попит, оптимальну кількість блага, з яким агент бажає закінчити, тобто значення\(x_1\)\(x_2\) та віднімає початкові суми пожертвування. Існує валовий і чистий попит на кожен товар.

При відкритті чистий попит\(x_1\) дорівнює нулю, оскільки B11 встановлений на рівні 35, що дорівнює початковому забезпеченню агента добром 1. Припустимо, агент вирішив купити три одиниці добра 1.

КРОК Змініть B11 на 38.

Чистий попит на добро 1 зараз плюс три. Це має сенс, оскільки споживач почав з 35 одиниць хорошого 1, але хоче мати 38, тому потрібно придбати ще три.

Звичайно, комбінація 38,10 недосяжна. Споживач повинен продати деякі\(x_2\), щоб мати можливість купити три одиниці\(x_1\). Скільки потрібно продати? Дві одиниці.

КРОК Змініть B12 на 8.

Агент повернувся на бюджетну лінію і чистий попит на хороший 2 негативний. Cell E12 повідомляє, що агент є продавцем товару 2. Натискання на комірку E12 показує формулу IF, яка відображає Покупця або Продавця залежно від того, чи чистий попит є позитивним чи негативним.

Порівняйте MRS на екрані з MRS в початковому положенні з малюнка 5.3. Чи була покупка трьох одиниць хорошого 1 з виручкою від продажу двох одиниць хорошого 2 розумним ходом?

Ні. MRS на 38,8 знаходиться далі від співвідношення цін, ніж MRS на 35,10. Графік показує, що ми перейшли до нижчої кривої байдужості, коли ми перейшли до 38,8.

Нам потрібно очолити в іншу сторону. Агенту потрібно подорожувати по бюджетній лінії, на північний захід, продаючи хороший 1 і купуючи хороший 2. Скільки потрібно продати і купити?

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти початкове рішення.

Корисність максимізується, коли валові потреби\(16 \frac{2}{3}\) складають 25 і товарів 1 і 2 відповідно. Чисті вимоги є\(- 10\) і\(6 \frac{2}{3}\). Це означає, що агент продає 10 одиниць хорошого 1 і використовує 20 доларів доходу для придбання\(6 \frac{2}{3}\) одиниць хорошого 2.

Це те ж рішення,\(m = \$100.\) що і в Стандартній моделі з Це має сенс, оскільки вартість початкового ендаументу становить 100 доларів.

Підтвердити цей результат ми можемо аналітичними методами. Слідуємо рецепту лагранжевського методу розв'язання обмежених задач оптимізації.

Ми будемо працювати над загальною формою цієї задачі, залишивши всі екзогенні змінні як літери, щоб отримати вираз зменшеної форми, яке ми можемо оцінити для будь-якої комбінації екзогенних значень. Переписуємо обмеження на те, щоб воно дорівнювало нулю і утворюємо лагрангейський.

Третій крок - взяти похідні щодо кожної змінної вибору і на заключному кроці ми встановимо три похідні рівні нулю, щоб отримати умови першого порядку, які нам потрібно вирішити для\(x_1 \mbox{*}, x_2 \mbox{*}\), і\(\lambda \mbox{*}\).

Наша стратегія рішення передбачає переміщення лямбда-термінів в праву сторону і ділення першого рівняння на друге для скасування лямбда (і надання знайомої\(\frac{p_1}{p_2}\) умови MRS =). Це рівняння потім може бути вирішено для оптимального\(x_2\) як функції оптимального\(x_1\).

Хоча це схоже на це, це не відповідь,\(x_2\) тому що він має\(x_1\) в ньому. Рішення зменшеної форми повинно бути функцією лише екзогенних змінних. Заставте цей вираз\(x_2\) на третю умову першого порядку (бюджетне обмеження) і вирішіть для оптимального\(x_1\).

Цей вираз можна оцінити для будь-якої комбінації значень екзогенних змінних. Наприклад, якщо ми використовуємо значення параметрів в аркуші OptimalChoice, ми можемо обчислити, що оптимально\(x_1\) = 25. Це ідеально узгоджується з числовим підходом.

Крім того, цей вираз показує кількість, що вимагається при заданому\(p_1\), в іншому випадку, так що він може бути використаний для відображення кривої попиту для\(x_1\). Є, звичайно, подібний вислів для хорошого 2.

У Стандартній моделі рішення зменшеної форми було\(x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})\frac{m}{p_1}\). Рішення моделі ендаументу таке ж, за винятком того, що замість m в чисельнику, ми маємо\(p_1\omega _1 + p_2\omega _2\). Це має сенс, оскільки цінність початкового обдарування є\(p_1\omega _1 + p_2\omega _2\).

За допомогою моделі ендаументу ми можемо відняти початкову кількість добра 1, щоб отримати криву чистого попиту.

Порівняльна статика з моделлю ендаументу

Ми можемо робити порівняльний статичний аналіз аналітично або чисельно. Вираз зменшеної форми може бути використаний для дослідження швидкості зміни оптимальної\(x_1\) щодо будь-якої екзогенної змінної. Наприклад, ми можемо взяти похідну по відношенню до\(p_1\).

Це складніше, ніж зазвичай, тому що\(p_1\) з'являється в двох місцях. Ми могли б використовувати Правило продукту, але простіше зробити деяку реорганізацію та спростити речі, перш ніж ми візьмемо похідну.

Спочатку рухаємося\(p_1\) від знаменника. Це дозволить нам використовувати наше звичайне похідне правило. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})\frac{p_1 \omega_1+p_2 \omega_2}{p_1}=(\frac{c}{c+d})(p_1 \omega_1+p_2 \omega_2)p_1^{-1}\]Але ми також можемо\(p_1\) помножити,\(p_1\) щоб скасувати\(p_1 \omega_1\) термін. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})(p_1 \omega_1+p_2 \omega_2)p_1^{-1} = (\frac{c}{c+d})(\omega_1+p_1^{-1}p_2 \omega_2)\]Тоді ми можемо розширити, щоб залишити\(p_1\) ізольованими в один термін, так що похідна щодо\(p_1\) прямої. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})(\omega_1+p_1^{-1}p_2 \omega_2) = (\frac{c}{c+d})\omega_1+(\frac{c}{c+d})p_1^{-1}p_2 \omega_2\]Тепер, коли ми беремо похідну щодо\(p_1\), ми застосовуємо наше звичайне похідне правило і зменшуємо показник і віднімаємо один з другого члена. Перший член має похідну по відношенню до\(p_1\) нуля, оскільки він не містить\(p_1\). \[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1} = (-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2\]Ми можемо оцінити цей вираз за початковими значеннями екзогенних змінних, щоб отримати миттєву швидкість зміни оптимальної\(x_1\) як\(p_1\) зміни. Підключаємо\(c = d = 1, p_1=2, p_2=3\), і\(\omega _2=10\) дає\(- 3.75\). Це означає, що нескінченно невелике збільшення\(p_1\)\(x_1\) зменшиться в 3,75 рази.

Але що нам говорить це число? Чи багато в сенсі великої реакції на ціновий шок? Ухил не дає відповіді на це питання. Нам потрібні відсотки зміни пружності, щоб відповісти на це питання.

Ми можемо помножити нахил на початкове співвідношення,\(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}}\) щоб обчислити\(p_1\) пружність\(x_1 \mbox{*}\).

\[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1}\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}} = ((-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2)(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}})\]Ми оцінюємо цей вираз при\(p_1 = 2\) (і початкових значеннях інших екзогенних змінних). \[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1}\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}} = ((-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2)(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}})=-3.75(\frac{2}{25}) \approx -0.3\]Еластичність говорить нам, що кількість, яку потрібно,\(x_1\) є досить нечутливою до ціни при початковому рішенні. Еластичність менше одиниці (в абсолютному значенні), як кажуть, нееластична і чим ближче до нуля, тим нижча чуйність.

На відміну від Стандартної моделі, де корисна функція Кобба-Дугласа дає пружність ціни за одиницю, ми отримуємо тут неунітарну еластичність, оскільки зміна\(p_1\) з'являється в знаменнику і чисельнику в зменшеному вигляді. У чисельнику зміна ціни впливає на вартість ендаументу агента, тоді як у Стандартній моделі дохід фіксований.

Ми також можемо використовувати числові методи для дослідження порівняльних статичних властивостей власної зміни ціни.

КРОК Використовуйте майстер порівняльної статики, щоб зменшити\(p_1\) на 0,1 (10 центів) за 15 ударів (від 2 до 0,5). Обов'язково відстежуйте чисті вимоги та позицію покупця/продавця в ендогенних змінних, використовуючи клавішу ctrl для вибору несуміжних комірок, як показано на малюнку 5.4. Ви хочете відстежувати комірки B11: B12 та D11: E12.

Малюнок 5.4: Вибір ендогенних змінних за допомогою CSWiz.

Лист CSP1 показує, як повинні виглядати ваші результати. Є кілька помітних результатів.

Коли ціна знизилася з 90 центів до 80 центів, агент перейшов з продажу\(x_1\) та купівлі\(x_2\) на\(x_1\) купівлю та продаж\(x_2\). Ціна\(x_1\) стала настільки низькою, що, незважаючи на те, що агент починається з великої кількості\(x_1\) (порівняно з\(x_2\)), краще купувати більше\(x_1\). Бюджетна лінія стає більш плоскою, коли\(p_1\) падає, що робить покупку\(x_1\) кращим вибором, ніж продавати його.

Зверніть увагу на поведінку максимальної корисності (стовпець B), коли ціна падає. Агент спочатку був продавцем, тому падіння цін зашкодило. Нижче 90 центів, однак, агент є покупцем\(x_1\) і падіння\(p_1\) збільшує корисність.

Лист CSP1 також показує обчислення нахилу та пружності. Від\(p_1\) $2/одиниця до $1,90, нахил (жовтий фон) і еластичність (помаранчевий фон) заходи близькі, але відрізняються від at\(p_1=2\) (з використанням похідної). Це пов'язано з тим, що\(x_1\) оптимальним є нелінійний в\(p_1\). Іншими словами,\(x_1 \mbox{*} = f(p_1)\) це не лінія, а крива (як наочно показано на графіку нижче даних).

Модель ендаументу розширює стандартну модель

Модель ендаументу є стандартною моделлю теорії споживчої поведінки з початковим ендаументом товарів замість грошового доходу. Це перетворює споживача в подвійну роль продавця і покупця товарів. Рушійною силою в прийнятті рішень агента залишається максимізація корисності. Багато ідей, що стоять за Стандартною моделлю (наприклад, прирівнювання MRS та співвідношення цін) переносяться на модель ендаументу. Звичайно, рамки для представлення та розуміння моделі, порівняльного статичного аналізу, залишаються колишніми.

Може здатися, що заміна доходу початковим ендаументом є незначним поворотом, але ми побачимо, що модель ендаументу дозволяє аналізувати широкий спектр проблем вибору.

Вправи

1. Виконайте порівняльний статичний аналіз c, показника на\(x_1\), за допомогою Майстра порівняльної статики. Використовуйте приріст в c 0,1. Створіть ефект зміни c на\(x_1 \mbox{*}\). Опишіть свою процедуру та зробіть знімки екрана результатів за потребою.

2. Використовуйте результати порівняльної статики, щоб знайти пружність c\(x_1 \mbox{*}\) від 1 до 1.1. Покажіть свою роботу.

3. Використовуйте вираз зменшеної форми в цьому розділі, щоб знайти c еластичність\(x_1 \mbox{*}\). Покажіть свою роботу.

4. Порівняйте свої відповіді з питань 2 і 3. Поясніть, чому вони однакові або відрізняються.

Посилання

Епіграф із сторінки 188 Девіда Крепса Курс мікроекономічної теорії (1990). Якщо вас цікавить аспірантура з економіки, цю книгу варто переглянути. У передмовику Крепс говорить (стор. xv),

Основна мета цієї книги - аспірант першого курсу, який шукає введення в мікроекономічну теорію, яка виходить за рамки традиційних моделей споживача, фірми та ринку.

Крепс дозволяє, що він може бути використаний для студентів спеціальностей, які беруть курс «просунутої теорії» або «математично витончених студентів», але він попереджає, що «Книга передбачає, однак, що читач пережив стандартний проміжний курс мікроекономіки».

Модель ендаументу наближає нас до наступного рівня мікроекономічної теорії. Google «випускник мікро теорії» для більш просунутих мікро книг.

Щоб дізнатися більше про магістерські та докторські програми з економіки, шукайте «рейтинги випускників економіки» та обов'язково відвідайте веб-сайт Американської економічної асоціації за адресою www.aeaweb.org/resources/students/grad-prep.