У цьому розділі використовується квазілінійна функція корисності для забезпечення практики роботи з ефектами доходу та заміщення. Існує дивовижний поворот при використанні квазілінійної функціональної форми. Подивіться, як швидко ви можете це зрозуміти.
КРОК Відкрийте книгу Excel IncSubEffectsPractice.xls, прочитайте вступний лист, а потім перейдіть до аркуша OptimalChoice.
Зверніть увагу, що абсолютне значення MRS менше співвідношення ціни. Оскільки нахил кривої байдужості в 16.25,10.75 менше, ніж нахил бюджетного обмеження, ми знаємо, що споживач повинен подорожувати на північний захід уздовж бюджетного обмеження, купуючи все менше\(x_2\) і менше\(x_1\), до MRS\(= \frac{p_1}{p_2}\).
КРОК Запустіть Solver, щоб знайти початкове оптимальне рішення. На малюнку 4.24 показаний цей результат.
Малюнок 4.24: Початкове оптимальне рішення.
Джерело: IncSubEffectsPractice.xls! Оптимальний вибір
КРОК. Приступаємо до листа CS1. Показаний порівняльний статичний аналіз зростання ціни на товар 1 з $2/одиницю до $7/одиницю з кроком в $1. Він також відображає результати у вигляді зворотної кривої попиту для\(x_1\).
Крива попиту відстежує загальний ефект зміни ціни. Коли ціна на товар 1 піднімається з $2 до $3, затребувана кількість падає з\(6 \frac{1}{4}\) до\(2 \frac{7}{9}\). Віднімаючи нове від початкового значення, ми бачимо, що сумарний ефект - це зменшення\(3 \frac{17}{36}\) одиниць\(x_1\), що відображається в осередку F13 як\(-3.47222\).
Ефекти доходу та заміщення пояснюють, як з'явився цей загальний ефект шляхом демонтажу загального ефекту на дві частини, які складаються до загальної суми.
Ефект заміщення говорить нам, скільки менше споживач придбав би, коли ціна зростає суворо від того, що відносні ціни двох товарів змінилися. Ми обчислюємо, скільки доходу ми повинні дати споживачеві, щоб скасувати знижену купівельну спроможність, спричинену зростанням цін, щоб зосередитись виключно на відносній зміні цін. Ефект заміщення завжди негативний.
На малюнку 4.25 показано типове розкладання загального ефекту (TE) на ефект заміщення (SE) та ефект доходу (IE) з кривими байдужості, придушеними для виділення розглянутих бюджетних рядків.
Малюнок 4.25: Типові TE, SE та IE зі\(p_1\) збільшенням.
З точки А ціна зросла, і споживач тепер буде знаходитися в точці С на новій бюджетній лінії (маркована\(p_1 \uparrow\)). Пунктирна лінія є результатом гіпотетичного сценарію, при якому споживачеві було дано достатній дохід для придбання початкового пакету А. зверніть увагу, як оригінальна бюджетна лінія і пунктирна лінія проходять через точку А. Пунктирна лінія має більш високу ціну, але і більш високий дохід. Таким чином, рух з точки А в точку Б відображає виключно різні відносні ціни на товар, без будь-яких змін купівельної спроможності. Це ефект заміщення.
Хоча ефект заміщення орієнтований на відносні ціни, ефект доходу полягає в тому, що частина відповіді в кількості вимагається при зміні ціни, що пов'язано зі зміною купівельної спроможності. З пункту Б зменшення доходів з пунктирною до нової бюджетної лінії призводить до зменшення\(x_1\) (в точці С). Таким чином,\(x_1\) є нормальним благом від точки B до C на рис. 4.25 і два ефекти працюють в тандемі. Крива попиту гарантовано буде похилою вниз для цієї зміни ціни.
На аркуші CS1 ми бачили, що крива попиту є похилою вниз, оскільки затребувана кількість падає при зростанні ціни. Але відкритим залишається питання: чи працюють ефекти доходу та заміщення, як на малюнку 4.25?
Ми знаємо, що точка А, початкове оптимальне рішення,\(x_1 \mbox{*} = 6.25\) коли\(p_1\) = $2/одиниця, а точка C становить близько 2,78 одиниць,\(x_1\) коли ціна зростає до $3/одиницю. Нам потрібна точка Б, щоб зробити аналіз ефектів доходу та заміщення.
Першим кроком у пошуку точки B є використання рівняння регулятора доходу, щоб обчислити, скільки доходу дати споживачеві, щоб скасувати ефект зниженої купівельної спроможності. \[\Delta m = x_1 \mbox{*}\Delta p_1\]\[\Delta m = [6.25][+1]\]
КРОК. На аркуші оптимальноговибору встановіть осередок B16 на 3.
Графік оновлюється, показуючи нове бюджетне обмеження червоним кольором (коливається з моменту зростання ціни) та пунктирною лінією. Щоб знайти точку Б, нам потрібно оптимальне рішення для обмеження пунктирної лінії, тому нам потрібно змінити дохід на аркуші.
КРОК Встановіть комірку B18 на 146,25. Це стосується пунктирної лінії бюджетного обмеження до цієї проблеми. Запустіть розв'язувач, щоб знайти точку B.
Ваш результат може вас здивувати. Розв'язувач каже, що оптимальне рішення становить близько 2.78 для\(x_1\), але це та сама відповідь, яку ми мали для пункту C. Що тут відбувається?
Переходимо до аналітичної роботи, щоб пролити світло на цей загадковий результат. Дотримуючись процедури в розділі 3.2, ми знайшли це рішення зменшеної форми для квазілінійної корисної функції,\(U = x_1^c + x_2\):\[x_1 \mbox{*} = (\frac{p_1}{cp_2})^\frac{1}{c-1}\] Ми використовуємо початкові значення c і\(p_2\) в аркуші OptimalChoice, щоб трохи спростити речі:\[x_1 \mbox{*} = (\frac{p_1}{[0.5][10]})^\frac{1}{[0.5]-1} = (\frac{p_1}{5})^\frac{1}{-0.5} = (\frac{p_1}{5})^{-2} = (\frac{5}{p_1})^2 = \frac{25}{p_1^2}\] Це той самий вид виразу\(x_1 \mbox{*} = f(p_1, m)\), який ми використовували в попередньому розділі для корисної функції Кобба-Дугласа\(x_1 \mbox{*} = \frac{m}{2p_1}\), щоб знайти точки A, B і C.
Ви можете бути здивовані. Саме де m для квазілінійного скороченого виразу форми\(x_1\)? Його немає, хоча математик може сказати, що ми могли б легко включити його, написавши скорочений вираз форми так:\[x_1 \mbox{*} = \frac{25}{p_1^2} + 0m\] Той факт, що m не впливає на оптимальну\(x_1\) для квазілінійної функції корисності, є джерелом дивовижного результату для точки Б. може застосувати звичайну процедуру знаходження точок A, B і C зі зменшеним виразом форми, щоб показати це.
Точка А є початковим оптимальним\(x_1\) рішенням, тому ми підключаємо\(p_1 = 2\) і знаходимо\(x_1 \mbox{*} = \frac{25}{2^2} = 6.25\).
Точка С є новим оптимальним\(x_1\) рішенням, тому ми підключаємо\(p_1 = 3\) і знаходимо\(x_1 \mbox{*} = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}\).
Точка Б знайдена за допомогою нових\(p_1\) і скоригованих m, $146,25. Але зверніть увагу, що скоригований m не має значення, оскільки це не впливає\(x_1\). Точка Б\(x_1 \mbox{*} = 2 \frac{7}{9}\), така ж, як і точка С.
На малюнку 4.26 показано, що тут відбувається. На відміну від типового випадку, ефект доходу взагалі відсутній при квазілінійної корисності, тому TE = SE. Як завжди, ефект заміщення - це перехід від точки А до Б, а ефект доходу - це рух від B до C. IE дорівнює нулю, оскільки C знаходиться безпосередньо нижче B. Загальний ефект - A до C.
Малюнок 4.26: TE, SE та IE з квазілінійною корисністю.
Саме функція утиліти керує цим результатом. Функція корисності з функціональною формою не\(U = f(x_1) + x2\) має ефекту доходу, оскільки криві байдужості вертикально паралельні. Якщо ви змістите бюджетну лінію через шок доходу, нова точка дотику буде прямо вище або нижче початкової точки. Іншими словами, крива споживання доходів вертикальна. Таким чином, сумарний ефект повністю складається з ефекту заміщення. Це цікавий поворот, який виробляє квазілінійна функціональна форма.
Ми побачили, що крива споживання доходів вертикальна, а крива Енгеля горизонтальна в розділі 4.2 (див. Рис. Економіка, безумовно, кумулятивна, і ідеї, вивчені часто варто пам'ятати, оскільки вони, як правило, з'являються знову.
Нарешті, зауважте, що тепер ми знаємо, що квазілінійні переваги не можуть дати поведінку Гіффена. Зрештою, якщо ефект заміщення завжди негативний, а ефект доходу дорівнює нулю, загальний ефект ніколи не буде позитивним.
Квазілінійні переваги дають нульові ефекти доходу
Розбиття загального ефекту на ефекти доходу та заміни працює для будь-якої корисної функції. Після знаходження загального ефекту рівняння регулятора доходу може бути використано для визначення доходу, необхідного для скасування зміни купівельної спроможності від зміни ціни (тобто встановлення уявної, пунктирної бюджетної лінії). Пошук оптимального рішення з новою ціною і скоригованим обмеженням бюджету доходів визначає пункт Б і дозволяє розділити загальний ефект на дві частини.
Звичайно, складові частини, SE та IE, не повинні бути рівними або мати один і той же знак. Ми знаємо, що товари Giffen виникають, коли ефект доходу виступає проти і заболочує завжди негативний ефект заміщення.
У разі квазілінійних преференцій ми маємо ситуацію, коли ефект доходу відсутній. Однак розкладання Слуцького все ще застосовується, при цьому загальний ефект повністю складається з ефекту заміщення.
Вправи
Натисніть кнопку на аркуші OptimalChoice і застосуйте зниження ціни на товар 1 з $2/одиницю до $1,90 за одиницю. Обчислити загальний, підміна, і ефект доходу. Покажіть свою роботу.
Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати графік, подібний до малюнка 4.26, який показує загальний ефект, заміщення та дохід від 10-центового зниження ціни з питання 1.
Питання 3 і 4 важкі. Перегляньте питання 2 і 3 в EngelCurvesPracticeA.doc (в папці Answers в архіві microExcel) для більш докладної інформації про кутове рішення для цієї утиліти функції при низьких рівнях доходу.
При квазілінійній корисності крива споживання доходу вертикальна, а крива Енгеля горизонтальна лише вище порогового рівня доходу. При дуже низьких рівнях доходу ми отримуємо кутове рішення. Натисніть кнопку на аркуші OptimalChoice і встановіть дохід 10. Це створить кутове рішення. Обчислити загальний, заміщення та ефект доходу від зростання ціни на 10 центів на хороший 1 (з 2 до 2,1). Покажіть свою роботу.
Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати графік із зображенням результатів для питання 3.
Посилання
Епіграф походить зі сторінки 19 другого видання «Вартість та капітал: розслідування деяких фундаментальних принципів економічної теорії» Джона Хікса. Ця чудова книга була прямо цитується в прес-релізі, оголосивши, що Хікс виграв Нобелівську премію з економічної науки в 1972 році (з Кеннетом Ерроу). «У своїй найвідомішій праці, монографії «Value and Capital», опублікованій у 1939 році, Хікс відмовився від цієї [формальної] традиції і надав теорії [загальної рівноваги] підвищену економічну актуальність». Дивіться www.nobelprize.org/призи/економічні науки/1972/прес-реліз/.
Як згадувалося в попередньому розділі, історія ефектів доходу і заміщення ускладнена. Хікс (і Аллен) з'ясували, що загальний ефект може бути розкладений на ефекти доходу і заміщення в 1930-х роках, через два десятиліття після роботи Слуцького. Після того, як Слуцький був заново відкритий, Хікс і Аллен віддали йому заслугу і зробили економічну професію обізнаною про його внесок. Хікс писав у Value and Capital, що «Нинішній обсяг є першим систематичним дослідженням території, яку відкрив Слуцький» (стор. 19).
Малюнок 4.25: Типові TE, SE та IE зі
Малюнок 4.26: TE, SE та IE з квазілінійною корисністю.
кнопку на аркуші OptimalChoice і застосуйте зниження ціни на товар 1 з $2/одиницю до $1,90 за одиницю. Обчислити загальний, підміна, і ефект доходу. Покажіть свою роботу.