4.4: Більше практики з отриманням попиту

Last updated
Save as PDF

Page ID: 82018

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цей розділ отримує криву попиту з двох різних функцій корисності, квазілінійних уподобань та ідеальних доповнень, щоб забезпечити практику отримання кривих попиту. Нічого нового тут, просто практикуйте застосування інструментів, прийомів та концепцій економічного способу мислення.

Квазілінійні налаштування

Почнемо з аналітичного підходу. Перепишіть обмеження і сформуйте лагрангейський, залишивши$p_1$ як букву, щоб ми могли вивести криву попиту.

\[\max _{x_{1}, x_{2}, \lambda} L=x_{1}^{1 / 2}+x_{2}+\lambda\left(140-p_{1} x_{1}-10 x_{2}\right)\]

КРОК. Виконайте звичайну процедуру Лагрангея, щоб вирішити цю проблему. Щоб отримати допомогу, зверніться до розділу 4.2, де ми вирішили цю саму проблему, за винятком$m$ замість$p_1$.

Ви повинні знайти вирази зменшеної форми, як це:

\ [\ почати {вирівняний}
x_ {1} ^ {*} &=\ розрив {25} {p_ {1} ^ {2}}\\
x_ {2} ^ {*} &=14-\ розрив {2.5} {p_ {1}}
\ кінець {вирівняний}\]

Перший вираз - це крива попиту$x_1 \mbox{*} = \frac{25}{p_1^2}$,$x_1 \mbox{*}$ оскільки вона дає необхідну кількість$x_1$ як функцію$p_1$. Якщо ми перепишемо рівняння з точки зору,$p_1$ як це,$p_1^2 = \frac{25}{x_1 \mbox{*}} \rightarrow p_1 = \frac{5}{\sqrt{x_1 \mbox{*}}}$ то ми маємо зворотну криву попиту, з ціною на осі y як функція кількості на осі x.

Похідна по відношенню до$p_1$ говорить нам про нахил кривої попиту за$x_1 \mbox{*}$ будь-якою заданою ціною.

\ [\ почати {вирівняний}
x_ {1} ^ {*} &=25 p_ {1} ^ {-2}\
\ розриву {d x_ {1} ^ {*}} {d p_ {1}} &=-2\ cdot 25 p_ {1} ^ {-3} =-\ розрив {50} {p_ {1} ^ {3}}
\ кінець {вирівняний}]

Власна цінова еластичність попиту становить:

\[\frac{d x_{1}^{*}}{d p_{1}} \cdot \frac{p_{1}}{x_{1}^{*}}=-\frac{50}{p_{1}^{3}} \frac{p_{1}}{\frac{25}{p_{1}^{2}}}=-2\]

Постійна еластичність попиту на благо 1 є властивістю квазілінійної функції корисності. Зверніть увагу, що 2 є зворотним показником показника на$x_1$ у функції утиліти. Насправді, з$U = x_1^c + x_2$, цінова еластичність попиту$-\frac{1}{1-c}$ на$x_1$ значення$c$ цього прибутку інтер'єрних рішень.

Виразом для оптимального$x_2$ є перехресне цінове співвідношення. Це говорить нам про те, як змінюється кількість, необхідну для хорошого 2, як змінюється ціна хорошого 1. Рівняння може бути використано для обчислення перехресної цінової еластичності, як це:

\ [
\ розрив {d x_ {2} ^ {*}} {d p_ {1}}\ cdot\ гідророзриву {p_ {1}} {x_ {2} ^ {*}} =\ frac {2.5} {p_ {1}}}\ гідророзриву {p_ {1}} {14-\ гідророзриву {2.5} {p_ {1}} =\ розрив {2.5} {p_ {1}\ ліворуч (14-\ гідророзриву {2.5} {p_ {1}}\ праворуч)} =\ розрив {2.5} {p_ {1}\ лівий (\ frac {14 p_ {1} -2.5}} {p_ {1}}\ праворуч)} =\ гідророзриву {2.5} {14 p_ {1} -2.5}}\

На відміну від власної цінової еластичності, перехресна цінова еластичність не є постійною. Це залежить від величини$p_1$. Він також позитивний (тоді як власна цінова еластичність була негативною). При$p_1$ підйомі$x_2$ оптимально також піднімається. Це означає, що товари 1 і 2 є замінниками.

Доповненням, з іншого боку, є товари, еластичність перехресних цін яких негативна. Це означає, що підвищення ціни на товар 1 призводить до зниження споживання блага 2.

Попит також може бути отриманий за допомогою числових методів.

КРОК Відкрийте книгу Excel DemandCurvesPractice.xls, прочитайте Інтро аркуш, а потім перейдіть до QuasilinearChoice аркуша.

Споживач максимізує задоволення початковими значеннями параметрів, оскільки гранична умова, MRS =$\frac{p_1}{p_2}$, виконується в точці 6.25,12.75 (ігноруючи помилкову точність Solver) і дохід вичерпується.

Ми можемо вивчити, як змінюється це початкове оптимальне рішення, оскільки ціна хорошого 1 змінюється за допомогою числових методів. Ми просто змінюємо$p_1$ неодноразово, запускаючи Solver за кожною ціною, при цьому відстежуючи оптимальне рішення за кожною ціною. Майстер порівняльної статики надбудова обробляє стомлюючі, громіздкі розрахунки і виводить результати в новому аркуші для нас.

КРОК Запустіть майстер порівняльної статики на аркуші QuasilinearChoice. Збільште ціну хорошого 1 на 0,1 (10 центів) кроком.

Ви можете перевірити порівняльний статичний аналіз, порівнявши результати з аркушем CS1, який заснований на 1 (замість 0.1) доларових ударів розміру. Звичайно, цифри не будуть точно однаковими, оскільки розмір$\Delta p_1$ удару різний.

Стовпці ціни і$x_1$ оптимальні - це пункти на графіку попиту. Чисельний підхід через CSwiz по суті вибирає окремі точки на кривій попиту для заданих цін. Якщо ви побудуєте ці точки, у вас є графік кривої попиту.

Аналітичний підхід, з іншого боку, дає функцію попиту як рівняння. Ви можете оцінити вираз за конкретними цінами і створити графік кривої попиту.

Два підходи, якщо все зроблено правильно, завжди дадуть однакове графічне зображення кривої попиту. Однак вони можуть не давати однакових нахилів або еластичності.

КРОК Використовуючи свої результати, створіть криві попиту та споживання цін. Обчислити власні зміни одиниці та пружності для$x_1 \mbox{*}$ і$x_2 \mbox{*}$.

Лист CS1 показує, як це зробити, якщо ви застрягли. Ви можете натиснути на клітинки, щоб побачити їх формули. Подумайте про те, як працюють формули і як вони обчислюють відповідь.

Дуже важливо, щоб ви помітили, що ваші власні зміни одиниці та еластичності ближче до миттєвих швидкостей зміни в стовпцях I і J аркуша CS1, тому що у вас є менші зміни в$p_1$ і, для цієї корисної функції,$x_1 \mbox{*}$ нелінійний в $p_1$.

Знайдіть хвилинку, щоб задуматися над тим, що відбувається в розрахунках, представлених на аркуші CS1. Колірні клітинки пропонують вам порівняти ці клітинки.

Тепер, давайте пройдемо через це повільно.

КРОК Натисніть на клітинку F13, щоб побачити її формулу.

Він обчислюється як зміна оптимального$x_1$ для збільшення на $1$p_1$. Спостерігається зменшення приблизно на 3,47 одиниць при зростанні ціни на 1 одиницю.

КРОК Натисніть на комірку I12, щоб побачити її формулу.

Він обчислюється шляхом підстановки початкової ціни, $2/одиниця, у вираз для похідної (відображається у вигляді рівняння над коміркою). Результатом формули$-6.25$, є миттєва швидкість зміни. Іншими словами, буде зниження оптимального в 6,25 рази,$x_1$ враховуючи нескінченно невелике збільшення$p_1$.

КРОК Перейдіть до результатів CSwiz і, якщо ви цього ще не зробили, обчислити оптимальну зміну$x_1$ для збільшення $0.1$p_1$.

Ви повинні виявити, що ваш нахил приблизно$-5.8$. Зміна оптимального$x_1$ становить близько 0,58, але ви повинні розділити на зміну ціни, 0,1, щоб отримати нахил. Зверніть увагу, що ваша відповідь набагато ближче до швидкості зміни на основі похідних ($-6.25$). Це тому, що ви взяли набагато меншу зміну ціни, 0,1, ніж зміна ціни на один долар в аркуші CS1, і ви працюєте з кривою.

КРОК Поверніться до CS1 аркуша і порівняйте осередки G13 і J12.

Такий же принцип тут працює. Оскільки крива попиту нелінійна, дві клітинки не узгоджуються. Клітина G13 обчислює еластичність від однієї точки до іншої, тоді як комірка J12 використовує миттєву швидкість зміни (нахил дотичної лінії) в точці.

Якщо обчислити еластичність ціни від 2 до 2.1 (використовуючи результати CS), ви виявите, що вона набагато ближче до$-2$.

Нарешті, ви можете помітити, що на відміну від корисної функції Cobb-Douglas, яка створила горизонтальну криву споживання цін (PCC), квазілінійна функція корисності в цьому випадку генерує вниз похилу криву споживання ціни. Насправді нахил кривої споживання цін говорить вам про цінову еластичність попиту: Похилий вгору PCC означає, що попит нееластичний, горизонтальний PCC дає одиницю еластичного попиту (як у випадку Кобба-Дугласа), а похилий вниз PCC дає еластичний попит (як у цьому випадку).

Ідеальні доповнення

Почнемо з аналітичного підходу. \[U(x_1, x_2)=min\{ax_1,bx_2\}\]Бо ми знаємо$a = b = 1$, що ми можемо знайти перетин оптимального вибору та бюджетних рядків, щоб отримати скорочені вирази форми для ендогенних змінних$x_1 \mbox{*} = \frac{m}{p_1 + p_2}$ (що однаково для$x_2 \mbox{*}$ since$x_1 \mbox{*} = x_2 \mbox{*}$).

Це рішення говорить про те, що коли a і b однакові в ідеальному доповнює функцію корисності, оптимальні суми кожного товару рівні і знаходять шляхом простого ділення доходу на суму цін.

Вираз зменшеної форми містить криві Енгеля та попиту. Утримуючи ціни постійними, ми можемо побачити, як m впливає на споживання. Так само, тримаючи m і$p_2$ константу, ми можемо дослідити, наскільки оптимально$x_1$ змінюється в міру$p_1$ змін. Це, звичайно, крива попиту на$x_1$.

Як завжди, ми знаходимо миттєву швидкість зміни, взявши похідну щодо$p_1$. $p_1$Еластичність$x_1$ - це похідна, помножена на$\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}}$.

\ [
\ почати {вирівняний}
\ розрідження {d x_ {1} ^ {x^ {*}}} {d p_ {1}} &=-\ розриву {м} {\ лівий (p_ {1} +p_ {2}\ праворуч) ^ {2}}\
\ розриву {d x_ {1} ^ {x^ {+}}} {d _ {1}}} {d _ {1}}\ cdot\ гідророзриву {p_ {1}} {x_ {1} ^ {x^ {*}}} &=-\ розриву {м} {\ ліворуч (p_ {1} +p_ {2}\ праворуч) ^ {2}}\ frac {p_ {1}} {p_ {1} +p_ {2}} =-\ frac {p_ {1}}} {p_ {1} +p_ {2}}
\ end {вирівняний}\]

Ми також можемо отримати попит на ідеальну функцію доповнення корисності за допомогою числових методів.

КРОК Перейдіть до листа PerfCompChoice і запустіть майстер порівняльної статики зі збільшенням ціни хорошого 1 на 0,1 (10 центів).

Чи можете ви здогадатися, що ми будемо робити далі? Процедура кожного разу однакова: ми вирішуємо модель, потім досліджуємо, як оптимальне рішення реагує на удари.

КРОК Створіть криві попиту та споживання цін на основі результатів порівняльної статики. Обчислити власні зміни одиниць і пружності для$x_1 \mbox{*}$ і$x_2 \mbox{*}$. Лист CS2 показує, як це зробити, якщо ви застрягли.

Як і раніше, ви хочете сконцентруватися на тому, як ваші власні одиниці зміни і пружність ближче до миттєвих швидкостей зміни, ніж$\Delta p_1$ у стовпцях F і G аркуша CS2, тому що у вас є менші зміни,$p_1$ і ми маємо справу з нелінійним відносини.

Урок зрозумілий: всякий раз, коли крива попиту не є лінією,$x_1 \mbox{*}$ тобто нелінійною в$p_1$, то не$\Delta p_1$ буде точно рівною$dp_1$. Оскільки розмір дискретної зміни ціни стає меншим, результат числового методу буде наближатися до результату на основі похідної.

Хоча ці два методи можуть не зовсім погодитися, вони, як правило, досить близькі. Наскільки близько залежить від кривизни відносин і розміру дискретного удару. Це означає, що ви завжди можете перевірити свою аналітичну роботу, зробивши ручний$\Delta$ шок і обчислюючи зміну з однієї точки в іншу.

Зверніть увагу також, що крива споживання цін є похилою вгору, а еластичність ціни менше одиниці (в абсолютному значенні).

Отримання попиту з проблеми максимізації комунальних послуг споживача

Основна мета цього розділу полягала в тому, щоб надати додаткову практику отримання попиту з різними функціями корисності. Зрозуміло, що на криву попиту сильно впливає функція корисності, яка максимізується з урахуванням бюджетних обмежень.

Два приклади були використані для демонстрації того, як аналітичний та числовий методи пов'язані між собою. Обчислення засноване на ідеї нескінченно малих змін. Ви можете побачити обчислення в дії, використовуючи CSWiz, щоб прийняти менші зміни в ціні, що призводить числовий метод все ближче до результату на основі похідних.

Вправи

Поверніться до листа QuasilinearChoice і натисніть кнопку. Тепер змініть показник на хороший 1 з 0,5 на 0,75. Використовуйте майстер порівняльної статики, щоб отримати криву попиту для цієї утиліти функції.
Працюючи з тією ж функцією корисності, що і в першому питанні, вивести попит за$x_1 \mbox{*}$ допомогою аналітичних методів. Використовуйте редактор рівнянь Word, якщо потрібно. Покажіть свою роботу.
Використовуючи свої результати з питань 1 і 2, обчислити власну еластичність ціни за допомогою числових та аналітичних методів. Чи згодні вони? Чому чи чому ні? Покажіть свою роботу та робіть знімки екрана за потребою.

Посилання

Епіграф взято зі сторінки 63 бестселера, підручника бакалаврату Гала Варіана, Проміжна мікроекономіка (7-е видання, 2006). У передмові Варіан вирішує голову з питання обчислення. «Багато студентів спеціальностей з економіки є студентами, які повинні знати обчислення, але не принаймні не дуже добре. З цієї причини я тримав обчислення поза основною частиною тексту».

Книга, яку ви читаєте в цей момент, має інший підхід. Обчислення широко використовується, але воно стає доступним шляхом послідовного повторення разом із суттєвою підтримкою числових методів. Якщо ви студент, який бореться з аналітичними методами, у вас ніколи не буде кращої можливості освоїти числення та алгебру. Робіть проблеми практики з обережністю та відповідати аналітичному та числовому підходам у кожній заявці.