4.1: Криві Енгеля

Теорія поведінки споживачів побудована на оптимізаційній задачі: максимізувати корисність за умови бюджетного обмеження. Він пишеться у вигляді рівняння так:\[\max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) \\ \textrm{s.t. } p_1x_1 + p_2x_2 = m\]

Ця задача може бути вирішена аналітично або за допомогою числових методів і рішення може бути відображено канонічним графіком, як на малюнку 4.1. Але виявляється, що це лише перший крок у тому, як думають економісти.

Малюнок 4.1: Відображення оптимального рішення.

Матеріал в цій главі потрапляє в суть економічного підходу: ми досліджуємо, як оптимальне рішення реагує на шок, зміну екзогенної змінної, утримуючи все інше постійним. Це називається порівняльною статикою.

Найважливіша порівняльна статична вправа заснована на зміні ціни, що дозволяє нам вивести криву попиту. Ми починаємо, однак, з шокуючих доходів і відстеження відповіді. Це створює криву Енгеля. Починаючи тут, ви можете поглинути і освоїти логіку порівняльної статики, перш ніж зануритися в криву попиту.

Початковий, Шок, Новий, Порівняти

Щоб зробити порівняльний статичний аналіз, ми дотримуємося чотириетапної процедури.

1. Знаходимо початкове рішення.

2. Ми змінюємо єдину екзогенну змінну, звану шоком, утримуючи всі інші екзогенні змінні постійними. Економісти використовують латинську фразу, ceteris paribus, як стенографія. Це буквально означає, що при інших рівних речах і економісти використовують цю фразу, щоб означати все інше, що тримається постійним.

3. Знаходимо нове оптимальне рішення.

4. Нарешті, ми порівнюємо нове з початковим рішенням, щоб побачити, як оптимальне рішення відреагувало на шок.

Порівняльна статика є основоположною методологією економіки. Це дає рамки для тлумачення спостережуваної поведінки. Цим рамкам дано багато назв, включаючи: метод економіки, економічний підхід, економічний спосіб мислення та економічне міркування.

Хоча порівняльна чітко вказує на порівняння нового та початкового рішення, значення статики (не плутати зі статистикою) менш очевидне. Це означає, що ми будемо зосереджуватися на позиціях спокою і не турбуватися про шлях рішення, коли воно рухається від початкової до нової точки.

Є кілька ускладнень та додаткових проблем, про які слід знати при проведенні порівняльного статичного аналізу. Аналітичні та числові методи можуть бути використані, але вони не завжди точно узгоджуються. Крім того, у нас є кілька способів порівняння нових і початкових рішень. Якісне порівняння фокусується лише на напрямку (вгору або вниз), тоді як кількісні порівняння обчислюють величини зміни відповіді (як різниця, так і процентна зміна). Нарешті, ми можемо відобразити порівняльний статичний аналіз у самому канонічному графіку або окремій діаграмі. Ці три питання будуть продемонстровані на прикладі.

Основи еластичності

Еластичність - це чисте число (воно не має одиниць), яке вимірює чутливість або чуйність однієї змінної при зміні іншої. Еластичність, чуйність і чутливість - синоніми. Число пружності виражає вплив однієї змінної на іншу. Чим ближче пружність до нуля, тим більш нечутливі або нееластичні відносини.

Еластичність часто виражається як «щось еластичність чогось», як цінова еластичність попиту. Перше щось, ціна, завжди є екзогенною змінною; друге щось, в даному випадку попит (сума, придбана), - це відповідь або оптимальне значення, що відстежується.

Менш поширений, але, можливо, більш простий спосіб - сказати, «пружність чогось щодо чогось». Еластичність попиту щодо ціни чітко показує, що попит залежить від ціни та реагує на неї.

На відміну від різниці між новими і початковими значеннями, еластичність обчислюється як відношення процентних змін значень. Ендогенна або змінна відповіді завжди йде в чисельнику, а екзогенна або ударна змінна завжди знаходиться в знаменнику.

Відсоток зміни,\(\frac{new - initial}{initial}\), - це зміна (або різниця)\(new - initial\), розділена на початкове значення. Це впливає на одиниці в обчисленні. Одиниці в чисельнику та знаменнику відсотка змінюються, і нам залишається відсоток як одиниці. Якщо обчислити процентне зміна яблук від 2 до 3 яблук, то отримаємо 50%. Зміни, однак, є\(+1\) яблуком.

Якщо розділити одну процентну зміну на інший, відсотки скасовуються, і ми отримаємо безстрокове число. Таким чином, еластичність - це чисте число без одиниць. Так що якщо цінова еластичність попиту на яблука є\(-1.2\), немає ні яблук, ні доларів, ні відсотків, ні будь-яких інших одиниць. Це просто\(-1.2\).

Відсутність одиниць у мірі еластичності означає, що ми можемо порівнювати дико різні речі. Незалежно від базових одиниць змінних, ми можемо поставити безрозмірне число пружності на загальному мірку та інтерпретувати його.

На малюнку 4.2 показані можливі значення, які може приймати пружність, поряд з іменами, які ми даємо конкретні значення.

Малюнок 4.2: Еластичність на числовій лінії.

Емпірично еластичності, як правило, низькі числа навколо одиниці (в абсолютному значенні). Еластичність\(+2\) є надзвичайно чуйною або еластичною. Це означає, що збільшення екзогенної змінної на 1% генерує збільшення ендогенної змінної на 2%.

Знак пружності вказує напрямок (якісне твердження про зв'язок між двома змінними). Нуль означає, що немає відносин, тобто, що екзогенна змінна взагалі не впливає на змінну відповіді. Таким чином,\(-2\) надзвичайно чуйний\(+2\), як, але змінні обернено пов'язані, тому збільшення екзогенної змінної на 1% призводить до зменшення ендогенної змінної на 2%.

Один (як позитивний, так і негативний) є важливим маркером на рядку числа пружності, оскільки він повідомляє вам, якщо задана зміна відсотка екзогенної змінної призводить до меншої зміни відсотка (коли еластичність менше одиниці), рівну процентну зміну (еластичність дорівнює одиниці) або більше процентна зміна (еластичність більше одиниці) в ендогенної змінної.

Еластичність - заплутана частина економіки. Нижче наведено шість поширених помилок та питань, що оточують еластичність. Читання цих типових помилок допоможе вам краще зрозуміти це фундаментальне, але легко неправильно витлумачене поняття.

1. Еластичність - це зв'язок між двома змінними, а не тільки зміна однієї змінної. Таким чином, не плутайте негативну еластичність як означає, що змінна відповіді повинна зменшуватися. Негативний означає, що дві змінні рухаються в протилежних напрямках. Отже, якщо вікова еластичність часу занять спортом негативна, це означає, що час занять спортом падає зі збільшенням віку, а час занять спортом зростає зі зменшенням віку.

2. Еластичність - явище місцеве. Еластичність зазвичай змінюється, якщо проаналізувати інше початкове значення екзогенної змінної. Таким чином, будь-яка одна міра пружності - це локальне або точкове значення, яке застосовується лише до зміни розглянутої екзогенної змінної з цієї початкової точки. Ви не повинні думати про цінову еластичність попиту\(-0.6\) як застосовну до всієї кривої попиту. Натомість це твердження про рух ціни від одного значення до іншого значення, близьке до, скажімо, $3.00/одиниця до $3.01/одиниця. Цінова еластичність попиту від $4,00/одиниця до $4.01/одиниця може бути різною. Існують постійні функції еластичності, де еластичність однакова по всій функції, але вони є особливим випадком.

3. Еластичність може бути розрахована на різні зміни розміру. Щоб обчислити\(x\) еластичність\(y\), ми можемо перейти від однієї точки до іншої\(\frac{\%\Delta y}{\%\Delta x}\), або використовувати нескінченно малу зміну похідної в точці,\(\frac{dy}{dx}\frac{y}{x}\). Ці формули будуть пояснені нижче, але справа зараз полягає в тому, що економісти неохайні у своїй мові і не спромоглися розрізнити еластичність, розраховану в точці за допомогою обчислення (для нескінченно малої зміни) і еластичність, розраховану на скінченну відстань від однієї точки до іншої. Якщо функція нелінійна, ці два методи дають різні результати. Якщо економіст згадує точкову еластичність, вона, ймовірно, обчислюється за допомогою обчислення як нескінченно мала зміна.

4. Еластичність завжди ставить змінну відгуку в чисельник. Не плутайте чисельник і знаменник при обчисленні. У x еластичності y x - екзогенна або ударна змінна, а y - ендогенна або змінна відповіді. Студенти часто обчислюють зворотну правильну еластичність. Уникайте цієї поширеної помилки, завжди перевіряючи, щоб переконатися, що змінна в чисельнику відповідає або керується змінною в знаменнику.

5. Ви це вже знаєте, але пам'ятайте, що еластичність безмежна. Еластичність х у 0,2 не становить 20%. Вона дорівнює 0,2. Це означає, що збільшення x на 1% призводить до збільшення у на 0,2%.

6. Мабуть, найголовніше, що потрібно пам'ятати про еластичність: не плутайте еластичність з нахилом. Це може бути найпоширеніша плутанина з усіх і заслуговує ретельного розгляду.

Економісти, на відміну від хіміків або фізиків, часто замацують одиниці змінних і результатів. Якщо уважно розглянути задіяні одиниці, ми можемо переконатися, що різниця між нахилом і пружністю кристально чиста.

Нахил - це кількісна міра в одиницях двох порівнюваних змінних. Якщо\(Q\mbox{*} = \frac{P}{2}\), то ухил,\(\frac{dQ\mbox{*}}{dP} = \frac{1}{2}\). Це говорить про те, що збільшення P на $1/одиницю призведе до збільшення\(Q\mbox{*}\) одиниці.\(\frac{1}{2}\) Таким чином, нахил буде вимірюватися в одиницях в квадраті за долар (так що, помноживши на ціну, ми отримуємо лише одиниці Q).

Еластичність, з іншого боку, є кількісною мірою, заснованою на процентних змінам, і, отже, є безроздільною. Еластичність Р\(Q\mbox{*}\) = 1 говорить про те, що збільшення P на 1% призводить до збільшення на 1%\(Q\mbox{*}\). Це нічого не говорить про фактичне, числове $/одиницю зростання P, але говорить про процентне збільшення P. Аналогічно еластичність фокусується на процентному зміні\(Q\mbox{*}\), а не на зміні кількості одиниць.

Таким чином, еластичність і нахил - це два різних способи вимірювання чуйності змінної як зміни іншої змінної. Еластичність використовує процентні зміни\(\frac{\%\Delta y}{\%\Delta x}\), при цьому ухил не робить,\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Вони є двома різними способами вимірювання ефекту шоку, і змішування їх є поширеною помилкою.

Порівняльна статика аналізу мінливих доходів

КРОК Відкрийте книгу Excel EngelCurves.xls, прочитайте аркуш вступу та перейдіть до аркуша OptimalChoice.

Ми запустили Solver і початкове рішення,\(x_1\mbox{*} \approx 25\) і\(x_2\mbox{*} \approx 16 \frac{2}{3}\), відображається.

Наша перша спроба порівняльного статичного аналізу проста: зміна доходу, інші рівні, і обчислити відповідь в\(x_1\mbox{*}\) і\(x_2\mbox{*}\).

КРОК Змініть комірку B18 на 150 (це шок), а потім запустіть Solver, щоб знайти нове оптимальне рішення.

Бюджетна лінія зміщується, і споживач користується перевагами шляхом повторної оптимізації та переходу на нову, найвищу досяжну криву байдужості.

КРОК Порівняйте початкові і нові значення\(x_1 \mbox{*}\) і\(x_2 \mbox{*}\) враховуючи 50$ збільшення доходу.

У якісному вираженні ми б сказали, що збільшення доходів призвело до збільшення оптимального споживання двох товарів.

У кількісному відношенні ми можемо обчислити відповідь як зміну власних одиниць двох змінних.

Власні одиниці твердження порівняльної статики для\(x_1 \mbox{*}\) є\(\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\).

Дохід виріс на 50 доларів, а оптимальне споживання кожного товару зросло на 12,5 одиниць. Ми обчислюємо\(\frac{37.5 - 25}{150 - 100}\) так, ми говоримо, що отримуємо збільшення\(\frac{1}{4}\) одиниці за кожне збільшення доходу в $1.

Еластичність - ще один спосіб представити кількісний порівняльний статичний результат. Використовуємо формулу, яка множить ухил на початкові значення.

Еластичність доходів\(x_1 \mbox{*} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}} = [\frac{37.5 - 25}{150 -100}][\frac{100}{25}] = 1\). Ця еластичність одиниця еластична. Це означає, що 1% зміна доходу призводить до 1% зміни оптимальної покупки хорошого 1. Ми мали 50% збільшення доходу, і це призвело до 50% збільшення\(x_1 \mbox{*}\).

Формула еластичності здається загадковою, але вона легко виводиться з визначення співвідношення процентних змін. \[\frac{\% \Delta x_1 \mbox{*}}{\% \Delta m} = \frac{\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{x_1 \mbox{*}}}{\frac{\Delta m}{m}} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{x_1 \mbox{*}}\frac{m}{\Delta m} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\]Алгебра вище показує, як пов'язані нахил і пружність. Множення нахилу на початкове положення - це те саме, що обчислення процентної зміни.

Хоча, звичайно, можна зробити порівняльний статичний аналіз, запустивши Solver, щоб знайти початкове рішення, змінивши параметр на аркуші, знову запустивши Solver, щоб знайти нове рішення, а потім порівнюючи початкові та нові рішення, нудність цього ручного підходу очевидна.

На щастя, є кращий спосіб. Він передбачає використання майстра порівняльної статики Excel надбудови.

КРОК Натисніть кнопку, щоб переконатися, що ви починаєте з початкових значень параметрів.

КРОК Встановіть майстер порівняльної статики надбудови, CSWIZ.xla, з архіву MicroExcel.

Інструкції та документація доступні у файлі CompStatics.doc у папці SolverCompStaticSwizard. Ви можете побачити, які надбудови встановлені, відкривши діалогове вікно диспетчера надбудов (У програмі Excel 2019, Файл: Параметри Excel: Надбудови: Перейти).

КРОК Після того, як Майстер порівняльної статики надбудова встановлена, з OptimalChoice аркуша, перейдіть на вкладку надбудови на стрічці, а потім клацніть майстер і Comp Statics (у попередніх версіях виконати Інструменти: Майстер: Comp Statics), щоб викликати головне діалогове вікно CSwiz додати- в, показані на малюнку 4.3.

Малюнок 4.3: Перший крок у майстрі порівняльної статики.

КРОК Натисніть на кнопку і дайте відповідь на три поставлені питання.

Ви надаєте Excel інформацію, необхідну для організації результатів. Зрозуміло, що мета - клітина B7, тому ви натиснете на комірку B7, коли з'явиться запит на перше запитання. Excel вводить абсолютне посилання на цю комірку ($B$7) у діалоговому вікні та натисніть кнопку OK. Дотримуйтесь тієї ж процедури для наступних двох питань. Ендогенні змінні знаходяться в комірках B11: B12, а екзогенні змінні знаходяться в клітинок B16: B20, тому можна натиснути і перетягнути, щоб вибрати ці клітини.

Зверніть увагу, як Майстер порівняльної статики надбудова припускає, що ви правильно організували і налаштувати проблему в електронній таблиці.

КРОК Після того, як ви надали мету, ендогенні та екзогенні змінні клітини, натисніть кнопку.

Крок 2 використовує Excel Solver для пошуку початкового рішення. Він тимчасово приховує майстер порівняльної статики і виховує Solver, щоб ви могли використовувати його, щоб знайти оптимальне рішення.

КРОК На екрані Крок 2 натисніть кнопку, щоб відкрити діалогове вікно Розв'язувач. Натисніть Вирішити, щоб розв'язувач знайшов початкове рішення.

Прочитайте повідомлення у вікні після запуску Solver. Це пояснює, що ви зробили до цих пір.

Знайшовши початкове рішення, ми готові ввести шок.

КРОК На екрані Крок 3 натисніть кнопку.

Як і на першому екрані, вам задають три питання. Перше питання задається для самої ударної змінної. У цьому випадку натисніть на осередок B18 (значення змінної доходу, а не ярлик). Друге питання - сума змін. Введіть 50. Третє питання - кількість поштовхів. Значення за замовчуванням — 5. Прийміть це значення натисканням кнопки OK.

Ви попросили Excel змінити дохід, утримуючи інші змінні постійними, від 100 до 150 до 200 до 250 до 300 до 350 - п'ять стрибків по 50 кожен з початкового значення 100.

КРОК. Переконавшись, що ви правильно ввели інформацію про шок, натисніть кнопку, щоб продовжити.

Екран Крок 4 є серцем надбудови. Ви надали мету, ендогенну та екзогенну змінну інформацію, Solver знайшов початкове рішення, і ви сказали Excel, яку змінну шокувати і як. Excel готовий запускати проблему знову і знову для кожного з наведених вами значень ударних змінних. Це, по суті, ручний підхід, але Excel робить всю нудну роботу.

КРОК Натисніть кнопку. На панелі відображається прогрес Excel через повторювані проблеми оптимізації. Він запускає Solver при кожному значенні доходу, але це дуже швидко.

КРОК. Натисніть кнопку, прочитайте інформацію в віконці, і натисніть кнопку.

Excel переносить вас на аркуш, який він вставив у книгу з усіма результатами порівняльної статики. Цей лист схожий на лист CS1. Зверніть увагу, як влаштовані результати. Він починається з початкових значень параметрів (розширити стовпець А при необхідності), потім виводиться таблиця з доходом в стовпці А, за якою слід максимальна корисність і оптимальні значення двох товарів.

Результати, отримані Майстром порівняльної статики, можуть бути додатково оброблені, як показано на аркуші CS1.

КРОК. Приступаємо до листа CS1. Колони F і G містять розрахунки ухилу і пружності. Натисніть на осередки, щоб побачити формули.

Зверніть увагу, що ви повинні бути обережними з дужками, виконуючи обчислення процентних змін у Excel. Просто ввівши «= C14 - C13/C13», не буде робити те, що ви хочете, оскільки правило порядку операцій Excel розділить C13 на C13 (що є 1) і відніме це з C14.

Споживання доходів та криві Енгеля

На аркуші CS1 є два графіки. Вони здаються однаковими, але це не так. Один графік - це крива споживання доходів, а інший - крива Енгеля. Вони пов'язані між собою і розуміння їх зв'язку важливо.

Ернст Енгель (не плутати з благодійником і другом Карла Маркса Фрідріхом Енгельсом) був німецьким статистиком 19 ^{століття}, який аналізував дані про споживчі витрати. Він виявив, що закупівлі продуктів харчування зростали в міру зростання доходів, але зі зменшенням темпів. Це стало відомо як Закон Енгеля. Графік кількості, необхідної для блага як функція доходу, за інших рівних сторін, називається кривою Енгеля.

Крива споживання доходів (ICC) показує ефект збільшення доходу в канонічному графіку кривих байдужості та бюджетних обмежень. Іншими словами, ICC показує порівняльний статичний аналіз на базовому канонічному графіку. Панель А на малюнку 4.4 показує криву споживання доходів.

Малюнок 4.4: Відображення результатів шоку в доходах.

Панель B показує, що крива Енгеля для\(x_1\) малює взаємозв'язок між доходом і оптимальним\(x_1\). Цей графік презентації показує тільки оптимальне значення ендогенної змінної (\(x_1\)) як функції ударної змінної (m) і приховує все інше. Існує графік кривої Енгеля\(x_2\), але він не відображається.

КРОК Використовуйте результати порівняльної статики, щоб скласти криві споживання Енгеля та доходу. Це допоможе вам зрозуміти взаємозв'язок між двома кривими.

Для кривої Енгеля виберіть дані в m (у стовпці A) та\(x_1\) (у стовпці C). Для ICC потрібно вибрати\(x_1\) і\(x_2\) (в графах C і D). Після вибору даних перейдіть на вкладку «Вставка» на стрічці та виберіть тип діаграми Scatter у групі «Діаграми».

Нахил кривої Енгеля виявляє, чи добре нормальне чи неповноцінне. Звичайне благо, як на малюнку 4.4, має позитивно похилу криву Енгеля: коли дохід зростає, так само і оптимальне споживання. Неповноцінний товар має негативно похилу криву Енгеля, збільшення доходу призводить до зниження оптимального споживання товару. На малюнку 4.5 показаний цей випадок.

Малюнок 4.5:\(x_1\) як неповноцінне благо.

Гамбургер - класика поступається хорошому прикладу. У міру зростання доходу ідея полягає в тому, що ви їсте менше м'яса гамбургерів і більше кращих шматочків яловичини. Приклад також служить для того, щоб вказати на те, що товари не є ні нормальними, ні неповноцінними через якусь вроджену характеристику, але що стосунки є місцевим явищем. На малюнку 4.6 показано, як споживач може реагувати на весь діапазон доходу. Ви розумієте історію, яку розповідає цей графік?

Малюнок 4.6: Гіпотетична крива Енгеля для омбре.

Малюнок 4.6 показує, що гамбургер є нормальним при низьких рівнях доходу (зі збільшенням споживання в міру зростання доходу), але поступається при більш високих рівнях доходу. Наша корисна функція Кобба-Дугласа не може генерувати цю складну криву Енгеля.

Аналітичний порівняльний статичний аналіз мінливих доходів

Ми можемо вивести криву Енгеля для проблеми в робочій книзі EngelCurves.xls за допомогою аналітичних методів.

Як завжди, переписуємо обмеження і формуємо лагрангейське, потім беремо похідні, і вирішуємо систему рівнянь. Новинка цього разу полягає в тому, що ми залишаємо m як букву, щоб наша остаточна відповідь була функцією доходу. Це дозволяє нам вивести криву Енгеля.

1. Перепишіть обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю.

\(0 = m - 2x_1 - 3x_2\)

2. Сформувати функцію Лагрангея.

Беремо похідні і ставимо їх рівними нулю.

Для вирішення оптимальних значень\(x_1\) і\(x_2\), перемістіть лямбда-терміни в двох верхніх рівняннях в праву сторону і розділіть перше рівняння на друге, щоб усунути лямбда (і дати знайоме MRS =\(\frac{p_1}{p_2}\) умова. Тоді вирішуйте для\(x_2\) оптимальних з точки зору\(x_1\).

Заставте цей вираз\(x_2\) на третю умову першого порядку і вирішіть для оптимального\(x_1\).

Ми можемо оцінити цей вираз при будь-якому значенні для m. Якщо ми підставимо\(m = 100\), ми\(x_1 \mbox{*} = 25\) отримаємо те, що ми отримали, коли ми вирішили цю проблему з доходом 100 доларів.

Наш скорочений вираз форми для\(x_1 \mbox{*}\) узгоджується зі значеннями в стовпцях A і C аркуша CS1, який ми створили за допомогою числового підходу за допомогою Майстра порівняльної статики. Чисельний метод вибирає окремі точки від кривої функції Енгеля, яку ми вивели тут.

Існує також крива Енгеля для\(x_2 \mbox{*}\). Це є\(x_2 \mbox{*} = \frac{1}{6}m\).

Звичайно, ці криві Енгеля призначені для цього конкретного споживача, з цією особливою функцією корисності та набором екзогенних змінних. Різні переваги дадуть різні криві Енгеля.

Якщо зробити задачу більш загальною, в сенсі підміни букв на цифри в лагрангейском, то ці екзогенні змінні з'являться в скороченому вигляді вираження. Іншими словами, одна чверть і одна шоста константи в кривих Енгеля будуть змінені на вираз з екзогенними змінними. Оцінювання цього виразу при поточних значеннях екзогенних змінних дасть одну чверть і одну шосту.

Якщо ви зміните екзогенну змінну, відмінну від доходу, ви більше не будете рухатися по кривій Енгеля. Замість цього ви змістите всю криву Енгеля.

Щоб обчислити власну реакцію одиниць при\(x_1 \mbox{*}\) заданому зміні доходу, ми можемо просто взяти похідну по відношенню до m, яка є просто\(\frac{1}{4}\). Це означає, що ухил зменшеної форми постійний при будь-якому значенні м.

Еластичність при заданому значенні m можна обчислити за такою формулою:\[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dm}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\] Оскільки вона обчислюється в певній точці, це називається точковою еластичністю, на відміну від пружності, виміряної від однієї точки до іншої. Економісти зазвичай обчислюють і повідомляють точкові еластичності, але вони часто опускають прикметник і просто називають результат еластичністю.

Зверніть увагу, як формула еластичності точки схожа на формулу еластичності від однієї точки до іншої,\(\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\). Ми просто замінили дельту на d, це показує, що дві формули однакові, за винятком розміру зміни в m. Замість дискретної зміни розміру формула пружності точки заснована на нескінченно малій зміні m.

При m = 100 точкова еластичність доходу\(x_1 \mbox{*} = (\frac{1}{4})(\frac{100}{25}) = 1.\) Good\(x_2\) також має постійну еластичність одиничного доходу. Промені від походження завжди мають постійну одиницю пружності.

Функція корисності відіграє вирішальну роль у результатах порівняльної статики. Функції корисності Кобба-Дугласа завжди дають лінійні криві Енгеля з постійною пружністю одиничного доходу. Ми не віримо, що в реальному світі криві Енгеля завжди лінійні та пружні одиниці доходу. Хоча є й інші службові функції з менш обмежувальними результатами, з ними складніше працювати математично. Легкість алгебраїчної маніпуляції допомагає пояснити популярність функціональної форми Кобба-Дугласа.

Крива Енгеля - порівняльний статичний аналіз

У цій главі представлений порівняльний статичний аналіз. Вона зосереджена на відстеженні оптимального рішення в міру зміни доходів. Це називається кривою Енгеля.

Порівняльний статичний аналіз, включаючи еластичність, може бути здійснений за допомогою чисельних та аналітичних методів. Майстер порівняльної статики обробляє більшу частину стомлюючої роботи в числовому підході.

Ми можемо обчислити еластичність двома способами: в точці і з однієї точки в іншу. Перший використовує похідну, а другий заснований на дискретній змінній розміру екзогенної змінної. Точкова еластичність - це одна, заснована на похідній. Обидві пружності засновані на процентних змінях, але похідна використовує нескінченно малі зміни екзогенної змінної.

Ми будемо часто порівнювати два методи. У цьому випадку два способи узгоджені ідеально. Це не завжди буде правдою.

Вправи

1. Змініть ціну хорошого 1 з 2 на 3 в аркуші OptimalChoice робочої книги EngelCurves.xls. За\(m = 100\) допомогою Майстра порівняльної статики створіть графік кривої Енгеля для хорошого 1. Заголовок графіка і позначте осі. Сфотографуйте свій графік і вставте його в документ Word.

2. Чому нахил вашого графіка відрізняється від того, що на аркуші CS1?

3. Обчислити еластичність доходу попиту на благо 1 від\(m = 100\) до 200. Покажіть свою роботу.

4. Обчислити еластичність доходу попиту на благо 1 ат\(m = 100\). Покажіть свою роботу.

5. Чому ваші відповіді в питанні 3 і 4 однакові?

Посилання

Епіграф з H.S. Houthakker, «Закон Енгеля», в J.Eatwell, M.Milgate і P.Newman (ред.) Новий словник економіки Палгрейв, (Лондон: Макміллан, 1987), стор. 143-144.

Palgrave - це набагато більше, ніж простий словник. Це довідковий ресурс зі статтями за конкретними термінами або фразами. Версія 2008 року Словник Палгрейв редагується Стівен Н. Дурлауф і Лоуренс Е. Блюм. Він доступний в Інтернеті за адресою www.dictionaryofeconomics.com.