3.2: Більше практики та розуміння розв'язувача

Ми знаємо, що існує два підходи до вирішення задач оптимізації.

1. Аналітичні методи з використанням алгебри та числення (звичайні, паперові та олівцеві, з використанням методу Лагранжева): Ідея полягає в перетворенні обмеженої задачі оптимізації споживача в невимушену задачу, а потім вирішити її за допомогою стандартних методів необмеженого числення, тобто взяти похідні, встановлені рівні нуль, і вирішити систему рівнянь.

2. Чисельні методи за допомогою комп'ютера (Excel Solver): Налаштуйте проблему в Excel, ретельно організовуючи речі в меті, ендогенні змінні, екзогенні змінні та обмеження; потім використовуйте Excel Solver. Скористайтеся звітом про чутливість у діалоговому вікні «Результати розв'язання», щоб отримати\(\lambda\mbox{*}\).

У цьому розділі ми застосовуємо обидва методи для нової проблеми.

Квазілінійна задача практичної корисності

Функція корисності, яка складається з нелінійної функції одного блага плюс лінійної функції іншого блага, називається квазілінійною функціональною формою. Це квазі, або свого роду, лінійний, тому що один хороший збільшує корисність лінійним способом, а інший ні.

Нижче наведено загальний приклад і більш конкретний приклад квазілінійної корисності.

Якщо\(c < 1\), то квазілінійна функція корисності говорить, що корисність збільшується зі зменшенням зі\(x_1\) збільшенням, але корисність збільшується з постійною швидкістю у міру\(x_2\) збільшення.

Проблема оптимізації полягає в тому, щоб максимізувати цю функцію утиліти за умови звичайного обмеження бюджету. Він пишеться у вигляді рівняння так:\[\max\limits_{x_1,x_2,\lambda}x_1^c + x_2 \\ \textrm{s.t. } p_1x_1 + p_2x_2 = m\] ми вирішимо загальний варіант цієї задачі, з літерами, що представляють екзогенні змінні замість чисел, використовуючи метод Лагрангея.

1. Перепишіть обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю.

\(0 = m - p_1x_1 - p_2x_2\)

2. Сформувати функцію Лагрангея. \[\max\limits_{x_1,x_2,\lambda} {\large\textit{L}} = x_1^c + x_2 + \lambda(m -p_1x_1 - p_2x_2)\]Зауважте, що функція Лагрангева, L, має квазілінійну функцію корисності плюс множник Лагрангея\(\lambda\), разів переписане обмеження.

На відміну від конкретної задачі в попередньому розділі, в якій використовувалися числові значення, це загальна проблема з літерами, що позначають екзогенні змінні. Загальні проблеми, без числових значень для екзогенних змінних, важче вирішити, оскільки ми повинні відстежувати багато змінних і переконатися, що ми розуміємо, які з них є ендогенними порівняно з екзогенними. Якщо рішення можна записати як функцію екзогенних змінних, то часто легко побачити, як екзогенна змінна вплине на оптимальне рішення.

3. Візьміть часткові похідні щодо\(x_1\)\(x_2\), і\(\lambda\).

Пам'ятайте, що часткова похідна розглядає інші змінні як константи. Таким чином, часткова похідна квазілінійної корисної функції по відношенню до не\(x_1\) має в ній\(x_2\) змінної.

4. Встановіть похідні рівні нулю і вирішуйте\(x_2\mbox{*}\) for\(x_1\mbox{*}\), і\(\lambda\mbox{*}\).

Використовуємо той же метод розв'язання, що і раніше, переміщаючи лямбда-терміни в праву сторону і потім ділимо перше рівняння на друге, що дозволяє скасувати лямбда-терміни.

Скасувавши лямбда-терміни, ми зменшили три рівняння, три невідомі системи до двох рівнянь з двома невідомими.

Пам'ятайте, що не всі змінні однакові. Ендогенні змінні, невідомі, є\(x_1\) і\(x_2\). Інші букви є екзогенними змінними.

З першого рівняння ми можемо вирішити для оптимальної кількості хорошого 1 (див. Додаток до попереднього розділу, якщо ці кроки збивають з пантелику).

Зверніть увагу, що ми використовували правило, що\((x^a)^b = x^{ab}\). Тому що ми хотіли вирішити для\(x_1\), ми підняли обидві сторони до\(\frac{1}{c-1}\) влади так, щоб\(c - 1\) показник в\(x_1\) рази\(\frac{1}{c-1}\) дорівнював 1.

Зазвичай, коли у нас MRS дорівнює співвідношенню ціни, нам потрібно вирішити одну з змінних x з точки зору іншої і підставити її в бюджетне обмеження. Однак властивістю квазілінійної корисної функції є те, що MRS залежить тільки від\(x_1\); таким чином, вирішуючи for\(x_1\), ми отримуємо рішення зменшеної форми. При вирішенні задачі в загальних рисах відповідь повинен бути виражений як функція тільки екзогенних змінних (ніяких ендогенних змінних) і це називається скороченою формою.

Щоб отримати\(x_2\), ми просто підставляємо\(x_1\) в бюджетні обмеження і вирішуємо для\(x_2\).

Це трохи брудно, але це відповідь. У нас є вираз для оптимальної величини\(x_2\), що є функцією екзогенних змінних поодинці.

Щоб отримати оптимальне значення лямбда, ми можемо використовувати другу умову першого порядку, яка просто говорить про це\(\lambda \mbox{*} = \frac{1}{p_2}\). Якщо використовувати першу умову, підставляючи в значенні оптимальне\(x_1\), буде потрібно трохи попрацювати, але ви отримаєте той же результат.

Практика з MRS =\(\frac{p_1}{p_2}\) Логіка

Економісти підкреслюють граничне мислення. Ідея полягає в тому, що з будь-якої позиції ви можете рухатися і бачити, як все змінюється. Якщо є поліпшення, продовжуйте рух. Оптимальне рішення - на рівному місці, де поліпшення неможливо.

Коли ми переміщаємо лямбда-терміни на праву сторону і ділимо перше рівняння на друге рівняння, ми отримуємо вирішальне твердження того факту, що поліпшення неможливо і ми оптимізуємо.

Знайоме MRS дорівнює виразу співвідношення ціни, поряд з третім умовою першого порядку, яке говорить про те, що споживач повинен бути на бюджетній лінії (виснажуючи весь дохід), є математичним способом опису граничного мислення.

Умова MRS говорить нам, що якщо MRS не дорівнює співвідношенню ціни, є дві можливості, зображені на малюнку 3.7.

Малюнок 3.7: MRS не дорівнює співвідношенню ціни.

У панелі А нахил кривої байдужості в точці А більше нахилу бюджетної лінії (в абсолютному значенні). Цей споживач повинен повзти вниз по бюджетній лінії, досягаючи більш високих кривих байдужості, поки MRS не зрівняється ціновому співвідношенню. У цей момент нахил кривої байдужості буде в точності дорівнює нахилу бюджетної лінії і крива байдужості споживача якраз торкнеться бюджетної лінії. Споживач не може досягти вищої кривої байдужості і залишитися на бюджетних обмеженнях. Це найкраще рішення.

У панелі B історія така ж, але зворотна. Нахил кривої байдужості в точці В менше нахилу бюджетної лінії. Цей споживач повинен повзти вгору по бюджетній лінії, досягаючи більш високих кривих байдужості, поки MRS не зрівняється ціновому співвідношенню. У цей момент нахил кривої байдужості буде в точності дорівнює нахилу бюджетної лінії і крива байдужості споживача якраз торкнеться бюджетної лінії.

Чисельний підхід до задачі квазілінійної практики

КРОК Відкрийте книгу Excel OptimalChoicePractice.xls, прочитайте аркуш вступу, а потім перейдіть до аркуша QuasilinearChoice, щоб побачити, як числовий підхід може бути використаний для вирішення цієї проблеми.

Легко помітити, що споживач не може дозволити собі пачку 5,20, враховуючи ціни та дохід на аркуші. Якщо вона купує п'ять одиниць\(x_1\), який максимум\(x_2\) вона може купити?

КРОК Введіть цю суму в осередок В12. Чи підтверджує діаграма та комірка B21, що ви правильно зрозуміли?

Якщо ви ввели 13 в В12, то графік оновлюється і показує, що споживач зараз знаходиться на бюджетній рядку. Крім того, комірка обмеження, B21, тепер дорівнює нулю.

Без запуску Solver або робити будь-які розрахунки взагалі, вона максимізує 5,13?

Відповідь полягає в тому, що вона не є. Важко побачити на графіку, чи крива байдужості скорочує бюджетну лінію, але інформація під графіком показує, що MRS не дорівнює співвідношенню ціни. Це говорить вам про те, що крива байдужості насправді не дотична до бюджетної лінії, тому споживач не оптимізує. Оскільки MRS більше, ніж співвідношення цін (в абсолютному значенні), ми також знаємо, що споживач повинен купувати більше\(x_1\) і менше\(x_2\), рухаючись вниз по бюджетній лінії, поки гранична умова не буде виконана. Давайте знайдемо оптимальне рішення.

КРОК Запустіть розв'язувач. Виберіть Звіт про чутливість, щоб отримати\(\lambda\mbox{*}\).

Як відповідь Excel порівнюється з нашою аналітичною відповіддю? Нагадаємо, що ми знайшли:

КРОК Створіть формули в Excel для обчислення цих двох рішень (використання осередків C11 і C12 має сенс). Це вимагає певної обережності з дужками. Ось формула хорошого 1: = (p1_/ (c_*p2_)) (1/ (c_-1)).

Ви повинні виявити, що Excel Solver досить близький до точно правильного рішення, 6.25, 12.75. Зроблено висновок, що два методи, аналітичний і числовий, суттєво узгоджуються.

Це правда, однак, що Solver коли-небудь так трохи не обчислюється аналітичний результат. Загалом, існує дві причини незначних розбіжностей між двома методами.

1. Excel не може відобразити алгебраїчний результат до нескінченної кількості десяткових знаків. Якщо рішення є повторюваним десятковим або ірраціональним числом, Excel не може впоратися з ним. Навіть якщо число може бути виражено десятковим числом, Наприклад, одна половина дорівнює 0,5 похибка точності може виникнути під час обчислення остаточної відповіді. Це не є джерелом розбіжності в даному випадку.

2. Розв'язувач Excel часто пропускає точно правильну відповідь невеликими сумами. Розв'язувач має критерій збіжності (який ви можете встановити за допомогою кнопки Параметри у діалоговому вікні «Параметри розв'язання»), який визначає, коли він припиняє пошук кращої відповіді. Рисунок 3.8 пропонує графічне зображення алгоритму Розв'язувача в однозмінному випадку.

Малюнок 3.8: Розв'язувач в дії.

Стилізований графік (що означає, що він представляє ідею без використання фактичних даних) на малюнку 3.8 показує, що Solver працює, намагаючись різні значення і бачачи, наскільки відбувається поліпшення. Шляхи змінної вибору (по осі x) визначається алгоритмом внутрішньої оптимізації Solver. За замовчуванням він використовує метод Ньютона (найкрутіший алгоритм спуску), але ви можете вибрати альтернативу, натиснувши кнопку Параметри у діалоговому вікні Розв'язування.

Коли Solver робить крок, який дуже мало покращує значення цільової функції, визначається критерієм збіжності (регулюється за допомогою кнопки Options), він припиняє пошук і оголошує про успіх. На малюнку 3.8, Solver бракує оптимального рішення трохи, тому що, якщо ми збільшимо, цільова функція буде майже плоскою вгорі. Розв'язувач не може відрізнити додаткове поліпшення.

Коли ми говоримо, що аналітичний метод погоджується з Solver, ми маємо на увазі не те, що два методи точно узгоджуються, а просто те, що вони відповідають, в практичному сенсі. Якщо Solver вимкнено точну відповідь у 15-му знаку після коми, тобто згода, для всіх практичних цілей.

Крім того, легко зробити висновок, що Solver повинен дати точну відповідь, оскільки він відображає стільки знаків після коми. Це невірно. Дисплей розв'язувача є прикладом помилкової точності. Неправда, що багато цифр надають корисну інформацію. Точна відповідь - 6,25 і 12,75. Те, що ви бачите, - це шум Solver. Ви повинні навчитися інтерпретувати результати Розв'язувача як неточні і не повідомляти про всі десяткові розряди.

Є ще один спосіб, за допомогою якого Solver може підвести нас, і це набагато серйозніше, ніж неправильно інтерпретувати результати.

Розв'язувач поводиться погано

КРОК Почніть з\(x_1 = 1, x_2 = 20\) того, щоб побачити демонстрацію того, що Solver не є ідеальним. Після установки осередків B11 і B12 на 1 і 20, відповідно, запустіть Solver. Що відбувається?

Жалюгідний результат (фактичний, технічний термін в літературі числових методів) виникає, коли алгоритм повідомляє, що не може знайти відповідь або відображає свідомо помилкове рішення. На малюнку 3.9 наведено приклад жалюгідного результату. Solver чітко оголошує, що не може знайти відповідь.

Малюнок 3.9: Жалюгідний результат.

Якщо ви уважно подивитеся на електронну таблицю (натисніть скасувати або ОК, якщо потрібно повернутися до аркуша), ви побачите, що Solver підірвався, коли він спробував від'ємне значення для\(x_1\). Клітинка цільової функції, B7, відображає помилку #NUM! тому що Excel не може прийняти квадратний корінь негативного числа.

Щоб було зрозуміло, коли ми починаємо з 1,20, Excel намагається рухатися вліво і перетинає вісь у на негативну територію x. Оскільки функція утиліти є\(x_1^{0.5}\), вона намагається взяти квадратний корінь від'ємного числа, видаючи помилку та збиваючи алгоритм.

Коли Solver не вдається, існує три основні стратегії вирішення проблеми:

1. Спробуйте різні початкові значення (в змінних осередках). Якщо ви приблизно знаєте, де лежить розчин, почніть біля нього. Завжди уникайте починаючи з нуля або порожньої комірки.

2. Додайте більше структури до проблеми. Включіть ненегативні обмеження на ендогенні змінні, якщо це доречно. У випадку теорії споживачів, якщо ви знаєте, що покупець не може купити негативні суми, додайте цю інформацію.

3. Повністю реорганізувати проблему. Замість безпосередньої оптимізації, ви можете поставити Solver працювати над рівняннями, які повинні бути виконані. У цій проблемі ви знаєте, що\(= \frac{p_1}{p_2}\) потрібна MRS. Ви можете створити комірку, яка є різницею між MRS та співвідношенням ціни, і розв'язувач знайде значення змінної вибору, які змушують цю комірку дорівнювати нулю.

Спробуємо другу стратегію.

КРОК Скиньте початкові значення до 1 і 20, потім запустіть Solver (перейдіть на вкладку Data і натисніть Solver) і натисніть кнопку Add (вгорі складених кнопок праворуч).

Розв'язувач відповідає, вискакуючи діалогове вікно «Додати обмеження».

КРОК Виберіть обидві ендогенні змінні в поле Cell Reference\(>=\), виберіть і введіть 0 в поле Обмеження, щоб діалогове вікно виглядало як малюнок 3.10. Натисніть «ОК».

Малюнок 3.10: Жалюгідний результат.

Ви повернетеся до головного діалогового вікна «Параметри розв'язання», але ви додали обмеження, що клітинки B11 та B12 повинні бути невід'ємними.

Ви можете помітити, що ви могли просто натиснути кнопку Зробити невід'ємні змінні без обмежень, але додавання обмеження показує, як працювати з обмеженнями.

КРОК Повертаючись до головного діалогового вікна «Параметри розв'язання», натисніть кнопку «Вирішити».

Цього разу Solver вдається. Додавання обмеження не-негативності не дозволило вирішувач спробувати негативні\(x_1\) значення та видавати помилку.

Досконалий доповнює практичну проблему

Нагадаємо, що Г-подібні криві байдужості являють собою досконалі доповнення, які відображаються за допомогою наступної математичної функції:

\[u(x_1,x_2) = min{ax_1,bx_2}\]Припустимо,\(a = b = 1\) і бюджетна лінійка є\(50 = 2x_1 + 10x_2\).

По-перше, ми хочемо вирішити цю проблему аналітично.

Метод Лагрангеана не може бути застосований, оскільки функція не диференційовна на розі Л. Метод Лагрангеана, однак, не є єдиним аналітичним методом. На малюнку 3.11 видно, що при a = b = 1 оптимальне рішення повинно лежати на промені від початку з ухилом +1.

Малюнок 3.11: Оптимальна лінія рішення з ідеальними доповненнями.

Оптимальне рішення має бути на розі Г-образних кривих байдужості, оскільки некутова точка (або на вертикальній, або горизонтальній частині кривої байдужості) передбачає, що споживач витрачає гроші на більшу частину одного з товарів, не отримуючи додаткового задоволення. Таким чином, ми знаємо, що оптимальне рішення повинно лежати на лінії\(x_2 = x_1\).

Ми можемо поєднати це оптимальне рівняння рішення з бюджетним обмеженням, щоб знайти оптимальне рішення. Два рівняння, дві невідомі системи можуть бути легко вирішені шляхом підміни.

Звичайно, ми знаємо,\(x_2 = x_1\) що так\(x_2\) оптимально також\(4 \frac{1}{6}\). Чи може Excel зробити цю проблему, і чи отримаємо ми таку ж відповідь? Давайте дізнаємося.

КРОК Перейдіть до аркуша PerfectComplements, щоб побачити, як ми налаштовуємо електронну таблицю в Excel. Натисніть на комірку B7, щоб побачити функцію утиліти.

КРОК Запустіть розв'язувач і отримайте звіт про чутливість. Розв'язувач може бути використаний для генерації значення множника Лагрангея (через Звіт про чутливість), хоча ми не могли використовувати метод Лагрангея в нашій аналітичній роботі.

Як і з попередньою задачею (з квазілінійною корисністю), ми виявляємо, що Solver і аналітичний підхід суттєво згодні. Відповідь є повторюваною десятковою, тому Excel не може отримати точну відповідь\(4 \frac{1}{6}\), але вона дійсно близька.

Раніше ми бачили, що Solver може дати збій і дати жалюгідний результат. Тепер давайте дізнаємося, що Solver дійсно може погано себе вести.

КРОК Починаючи з\(x_1 = 1, x_2 = 1\), запускаємо Solver. Що відбувається?

Ви бачите приклад катастрофічного результату, який виникає, коли алгоритм повідомляє, що знайшов відповідь, але це неправильно. Очевидної помилки немає, і користувач цілком може прийняти відповідь як правдиву.

Solver повідомляє про успішний результат, але відповідь, яку він дає, дорівнює 1,1, і ми знаємо правильну відповідь\(4 \frac{1}{6}\) для обох товарів.

Катастрофічні результати включають елемент інтерпретації. У цьому випадку ми можемо помітити, що 1,1 знаходиться в межах бюджетного обмеження, і, отже, алгоритм зазнав невдачі. Воістину плачевний результат виникає, коли немає можливості самостійно протестувати або перевірити неправильну відповідь алгоритму.

Жорсткі і катастрофічні результати чітко визначені, технічні терміни в математичній літературі з числових методів. Катастрофічні результати набагато небезпечніші, ніж жалюгідні результати. Останні засмучують, оскільки комп'ютер не може дати відповідь, але катастрофічні результати змушують користувача повірити відповідь, яка насправді є неправильною. У світі числової оптимізації вони є фактом життя. Чисельні методи не досконалі. Ніколи не варто повністю довіряти будь-якому алгоритму оптимізації.

Розуміння SolverBe скептично

Цей розділ дозволив практикувати вирішення проблеми обмеженої оптимізації споживача з двома різними функціями корисності, квазілінійною функцією та досконалими доповненнями. В обох випадках ми виявили, що Excel Solver погодився, практично кажучи, з аналітичним методом.

Можливість вирішувати завдання оптимізації двома незалежними методами означає, що ми можемо бути дійсно впевнені, що знайшли оптимальне рішення, коли вони дають однакові відповіді.

Крім того, ми досліджували, як насправді працює Solver. Він оцінює цільову функцію для різних значень змінних вибору. Він продовжує пошук кращого рішення, поки не може значно покращитися (сума, визначена критерієм збіжності).

Розв'язувач може зазнати невдачі, повідомивши, що він не може знайти рішення (називається жалюгідним результатом) або ще гірше, повідомивши про неправильну відповідь без очевидної помилки (що є катастрофічним результатом).

Нескладно повірити, що результат, що відображається комп'ютером, гарантовано буде правильним. Не бути необережним і довіритичисельним методам можна і зовсім провалитися, іноді ефектно.

Цей момент заслуговує ретельного повторення. Ви запускаєте Solver, і він радісно оголошує, що рішення знайдено і пропонує 15 або 16-значний номер для вашої перевірки. Проблема, однак, полягає в тому, що рішення є далеко. Чи не в мільйонному або навіть десятому знаку після коми, а зовсім, абсолютно неправильно. Як це може статися, забирає нас занадто далеко в землю числової оптимізації, але достатньо сказати, що ви завжди повинні запитати себе, чи має відповідь здоровий глузд.

Розв'язувач дійсно є потужним способом вирішення проблем оптимізації, але він не ідеальний. Про це потрібно завжди пам'ятати. Після запуску Solver відформатуйте результати з поглядом на простоту розуміння і подумайте про сам результат. Не бездумно приймайте результат Solver. Будьте уважні, навіть якщо Solver стверджує, що потрапив платити бруд, це може бути катастрофічним результатом!

Додаткові пояснення щодо розв'язувача доступні у файлі SolverInstructions.doc у папці SolverCompStaticSwizard.

Вправи

1. У квазілінійному прикладі в цьому розділі використовуйте перше рівняння в умовах першого порядку, щоб знайти\(\lambda\mbox{*}\). Покажіть свою роботу.

2. Використовуйте аналітичні методи, щоб знайти оптимальне рішення для тієї ж задачі досконалих доповнень, яка представлена в цьому розділі, крім того\(a = 4\) і\(b = 1\). Покажіть свою роботу.

3. Намалюйте графік (за допомогою інструментів малювання Word) оптимального рішення для попереднього питання.

4. Скористайтеся програмою Excel Solver, щоб підтвердити правильну відповідь. Сфотографуйте клітини, які містять вашу мету, ендогенні змінні та екзогенні змінні.

Посилання

Оскільки економіка стала більш математичною, народився новий курс - Math Econ. Курс потребував книг, а математичний аналіз для економістів Р.Г. Аллена (вперше опублікований у 1938 році) став класичним підручником. Як сказав Е.Шнайдер, рецензент, «Ця книга заповнює давнє бажання. Нарешті ми маємо книгу, яка представляє математичний апарат, необхідний для серйозного вивчення економіки у формі, що відповідає потребам економіста». Див. Економічний журнал, Том 48, № 191 (вересень 1938), стор. 515. Епіграф зі сторінки 2 Математичного аналізу для економістів, оскільки Аллен обговорює, як і чому математику можна застосовувати для вивчення економіки.