3.1: Початкове рішення

Що ви знаєте досі:

1. Обмеження бюджету показує можливі пучки споживання споживача. Стандартне, лінійне обмеження є\(p_1x_1 + p_2x_2 = m\). Є багато інших ситуацій, таких як субсидії та нормування, які дають більш складні обмеження з перегинами та горизонтальними/вертикальними сегментами.

2. Карта байдужості показує переваги споживача. Стандартна ситуація являє собою набір опуклих, похилих вниз кривих байдужості. Існує багато альтернативних переваг, таких як ідеальні замінники та ідеальні доповнення. Уподобання фіксуються службовими функціями, які точно відображають форму кривих байдужості.

Наша робота полягає в тому, щоб об'єднати ці дві частини, одна виражаючи те, що є доступним, а інша - бажаним, щоб знайти комбінацію (або пучок), яка максимізує задоволення (як описано картою байдужості або функцією корисності), враховуючи бюджетні обмеження. Відповідь буде в плані того, скільки споживач буде купувати в одиницях кожного товару.

Оптимальне рішення зображено канонічним графіком на малюнку 3.1. Слово канонічний використовується тут для позначення стандартного, умовного або ортодоксального. В економіці канонічний графік - це основний, істотний графік, який розуміють усі економісти, наприклад графік попиту та пропозиції.

Без перебільшення можна сказати, що малюнок 3.1 є одним з найбільш фундаментальних і важливих графіків в економіці. Це основа теорії поведінки споживачів, і з її допомогою ми виведемо криву попиту.

Малюнок 3.1: Канонічний графік оптимального рішення.

Однією серйозною інтелектуальною перешкодою з малюнком 3.1 є те, що вона дуже абстрактна. Нижче ми працюємо над конкретною проблемою, з фактичними числами, щоб пояснити, що відбувається в цьому фундаментальному графіку.

Перш ніж зануритися, нам потрібно обговорити стратегії вирішення. Є два способи знайти оптимальне рішення:

1. Аналітичні методи з використанням алгебри і калькуля.Це звичайний, паперовий і олівцевий підхід, який використовується вже давно.

2. Числові методи з використанням комп'ютера, наприклад, Excel Solverце сучасна стратегія рішення, яка використовує комп'ютер для виконання більшої частини роботи.

Аналітичний підхід

На жаль, проблеми обмеженої оптимізації важче вирішити, ніж нестримані проблеми. Додаток до цього розділу пропонує короткий огляд числення разом з кількома загальними правилами похідних та алгебри. Якщо матеріал нижче не має сенсу, перейдіть до додатку, а потім поверніться сюди.

Оскільки це обмежена задача оптимізації, аналітичний підхід використовує метод, розроблений Джозефом Луї Лагранжем. Його геніальна ідея заснована на перетворенні обмеженої задачі оптимізації в невимушену задачу, а потім вирішенні за допомогою стандартних методів обчислення. В процесі створюється нова ендогенна змінна. Він може мати змістовну економічну інтерпретацію.

Лагранж дав нам рецепт, який вимагає чотирьох кроків:

1. Перепишіть обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю.

2. Сформувати функцію Лагрангея.

3. Візьміть часткові похідні щодо\(x_1\)\(x_2\), і\(\lambda\).

4. Встановіть похідні рівні нулю і вирішіть\(x_1\mbox{*}\) for\(x_2\mbox{*}\), і\(\lambda\mbox{*}\).

Конкретний приклад

Припустимо, споживач має функцію корисності Кобба-Дугласа з показниками як рівних 1, так і бюджетним обмеженням\(2x_1 + 3x_2 = 100\) (що означає, що ціна добра 1 - $2/одиниця, ціна хорошого 2 - $3/одиниця, а дохід - 100 доларів).

Проблема полягає в тому, щоб максимізувати корисність з урахуванням (s.t.) бюджетних обмежень. Він пишеться у вигляді рівняння так:\[\max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2)=x_1x_2 \\ \textrm{s.t. } 100 = 2x_1 + 3x_2 \nonumber \]

Ця проблема не вирішується безпосередньо. Вона спочатку трансформується в невимушену проблему, а потім вирішується ця невимушена проблема. Ось як ми застосовуємо рецепт, розроблений Лагранжем.

1. Перепишіть обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю.

\(0 = 100 - 2x_1 - 3x_2\)

2. Сформувати функцію Лагрангея.

Більшість математичних книг використовують фантазійний сценарій L для Lagrangean\(\mathcal{L}\), як це, але це важко зробити в редакторі рівнянь Word (який ви будете використовувати), тому дуже великий L буде працювати так само добре. Також багато книг пишуть лагранжейців з i, лагранжа, але обидва написання прийнятні.

Зверніть увагу, що функція Лагрангева, L, складається з оригінальної цільової функції (в даному випадку корисної функції) плюс нова змінна, грецька літера лямбда\(\lambda\), разів переписане обмеження. Називається множником Лагранжа,\(\lambda\) є новою ендогенною змінною, яка вводиться як частина стратегії рішення Лагранжа.

Наступний крок в рецепті Лагранжа може бути страхітливим. Це не час кидатися і перевертати сторінку. Зверніться до додатка в кінці цього розділу, якщо все починає збиватися з пантелику.

3. Візьміть часткові похідні щодо\(x_1\)\(x_2\), і\(\lambda\).

Використовувана тут похідна є частковою похідною\(\partial\), позначається, що є альтернативним способом написання малої грецької літери d (саме тому\(\delta\) використовується і більш поширений символ для літери). Символ часткової похідної зазвичай читається як буква d, тому перше рівняння, прочитане вголос, буде «d L d x один дорівнює x два мінус два рази лямбда». Також прийнято читати похідну в першому рівнянні як «часткову L часткову x одиницю».

Часткова похідна є природним продовженням регулярної похідної. Розглянемо функцію\(y = 4x^2\). Похідна від y по відношенню до x є\(\frac{dy}{dx} = 8x\). Припустимо, однак, що у нас була більш складна функція, як це:\(y = 4zx^2\). Ця багатоваріантна функція говорить про те, що y залежить від двох змінних, z і x. Ми можемо досліджувати швидкість зміни цієї функції вздовж осі x, розглядаючи її як часткову функцію, тобто ми тримаємо постійну змінну z. Тоді часткова похідна y по відношенню до x дорівнює\(\partial y/ \partial x = 8zx\). Якщо ми тримаємо постійну x і варіюємо z, то часткова похідна y по відношенню до z є\(\partial y/ \partial z = 4x^2\).

Застосовуючи цю логіку до лагрангейського на кроці 2, коли ми беремо часткову похідну щодо\(x_1\), перший член полягає в\(x_2\) тому, що це так, ніби ми мали "x 4" і взяли похідну щодо x, отримуючи 4.

Якщо помножити\(\lambda\) через дужковий вираз в лагрангейському, то отримаємо:\[\lambda (100 - 2x_1 - 3x_2)\\ \lambda 100 - \lambda 2x_1 - \lambda 3x_2 = 0\] Перший і третій члени з лівого боку не мають\(x_1\) так що похідна по відношенню до\(x_1\) дорівнює нулю (так само, як похідна константи дорівнює нулю). Похідна по відношенню до середнього\(x_1\) терміну виробляє\(- \lambda 2\), яка написана конвенцією як\(- 2 \lambda\).

Чи можете ви зробити дві інші похідні на кроці 3?

4. Встановіть похідні рівні нулю і вирішіть\(x_1\mbox{*}\) for\(x_2\mbox{*}\), і\(\lambda\mbox{*}\).

Існує безліч способів вирішення цієї системи рівнянь, які відомі як умови першого порядку. Іноді, це найскладніша частина методу Лагрангея. Залежно від функції корисності та обмеження аналітичного рішення може не бути.

Загальна стратегія передбачає переміщення\(\lambda\) термінів перших двох рівнянь в праву сторону, а потім ділення першого рівняння на друге.

\[ x_2 = 2 \lambda \\ x_1 = 3 \lambda \\ \frac{x_2}{x_1}=\frac{2 \lambda}{3 \lambda}\]Потім\(\lambda\) терміни скасовуються, залишаючи нам два рівняння (одне вище та третє рівняння з початкових трьох умов першого порядку) та двома невідомими (\(x_1\)і\(x_2\)). \[\begin{gathered} %star suppresses line # \frac{x_2}{x_1} = \frac{2}{3}\\ 100 - 2x_1 - 3x_2 = 0\end{gathered}\]Верхнє рівняння має приємну економічну інтерпретацію. У ньому йдеться про те, що при оптимальному рішенні MRS (нахил кривої байдужості) повинен дорівнювати ціновому співвідношенню (нахил бюджетного обмеження).

З верхнього рівняння ми можемо вирішити для\(x_2\). \[x_2=\frac{2}{3}x_1\]

Потім ми можемо замінити цей вираз у нижнє рівняння (бюджетне обмеження), щоб отримати оптимальне значення\(x_1\).

Потім\(x_1\mbox{*}\) підставляємо в вираз\(x_2\) для отримання\(x_2\mbox{*}\). \[x_2=\frac{2}{3}[25]\]\[x_2\mbox{*}=16\frac{2}{3}\]Зірочка використовується для представлення оптимального рішення для змінної вибору. Ця робота говорить про те, що цей споживач повинен придбати 25 одиниць хорошого 1 та\(16 \frac{2}{3}\) одиниць хорошого 2, щоб максимізувати задоволення, враховуючи бюджетні обмеження. Ми можемо використовувати рівняння 1 або 2 з початкових умов першого порядку, щоб знайти оптимальне значення\(\lambda\). Так чи інакше, ми отримуємо\(\lambda\mbox{*} = 8 \frac{1}{3}\).

Для багатьох задач оптимізації нам було б цікаво знати числове значення максимуму шляхом оцінки цільової функції (в даному випадку функції корисності) при оптимальному рішенні. Але нагадаємо, що корисність вимірюється тільки до порядкової шкали і фактичне значення корисності не має значення. Ми хочемо максимізувати корисність, але нас не хвилює її фактичне максимальне значення. Той факт, що корисність порядкова, а не кардинальна, також пояснює, чому оптимальне значення лямбда не має сенсу. Загалом, множник Лагрангея говорить нам про те, як змінюється максимальне значення цільової функції в міру розслаблення обмеження. З корисністю як об'єктивною функцією це тлумачення непридатне.

Чисельний підхід

Замість числення (методом Лагранжа) і олівця і паперу ми можемо використовувати числові методи, щоб знайти оптимальне рішення.

Щоб скористатися числовим підходом, нам потрібно виконати деяку попередню роботу. Ми повинні налаштувати проблему в Excel, ретельно організовуючи речі в мету, ендогенні змінні, екзогенні змінні та обмеження. Після того, як у нас все організовано, ми можемо використовувати Excel Solver, щоб отримати рішення.

КРОК Відкрийте книгу Excel OptimalChoice.xls, прочитайте аркуш вступу, а потім перейдіть до аркуша OptimalChoice, щоб побачити, як числовий підхід може бути використаний для вирішення проблеми, над якою ми працювали вище.

Рисунок 3.2 відтворює дисплей, який ви бачите при першому надходженні на аркуш OptimalChoice.

Малюнок 3.2: Початкове відображення в аркуші OptimalChoice.

Джерело: OptimalChoice.xls! Оптимальний вибір

Зверніть увагу, як аркуш організований відповідно до трьох компонентів задачі оптимізації: мета, ендогенні та екзогенні змінні. У комірці обмеження відображається, яка частина бюджету споживача залишається доступною для покупки товарів. Споживач на малюнку 3.2 не використовує весь наявний дохід, тому ми знаємо, що задоволення не може бути максимізовано в точці 20,10.

КРОК Нехай споживач купує\(x_2\) з рештою $30. За $3/одиницю\(x_2\) можна придбати 10 додаткових одиниць. Введіть 20 в\(x_2\) осередку (B13) і натисніть клавішу Enter. Діаграма оновлюється, щоб відобразити точку 20,20, яка знаходиться на бюджетному обмеженні, і малює три нові криві байдужості.

Хоча 20,20 і вичерпують наявний дохід, це не оптимальне рішення. Хоча ви знаєте, що відповідь 25\(16 \frac{2}{3}\), є ще один спосіб сказати, що споживач може зробити краще.

КРОК Подивіться уважно на дисплей під діаграмою. Він виявляє, що MRS не дорівнює співвідношенню ціни. Це відразу говорить нам про те, що тут щось не так.

MRS\(> p_1/ p_2\) говорить нам, що нахил кривої байдужості в цій точці більше, ніж нахил бюджетного обмеження. Споживач не може змінити нахил бюджетного обмеження, але MRS можна змінити, вибравши іншу комбінацію товарів. Цьому споживачеві потрібно знизити MRS (в абсолютному значенні), щоб вони були рівними. Це можна зробити, зрушивши вниз бюджетне обмеження.

Якщо споживач купує ще 10 товарів 1 (так 30 одиниць від\(x_1\) загальної кількості), споживання\(x_2\) повинно впасти на\(6 \frac{2}{3}\) одиниці до\(13 \frac{1}{3}\).

КРОК Введіть 30 в осередок B12 і формулу\(=13 + 1/3\) в B13. Тепер ви знаходитесь на іншій стороні оптимального рішення. MRS менше співвідношення ціни.

Можна, звичайно, продовжити коригування осередків вручну, але є більш швидкий спосіб.

КРОК Перейдіть на вкладку Дані в стрічці Excel (у верхній частині екрана) і натисніть кнопку Розв'язувач (згруповані під Аналіз вкладка) або виконати Інструменти: Розв'язувач в старих версіях Excel, щоб викликати параметри розв'язання діалогове вікно (відображається на малюнку 3.3).

Малюнок 3.3: Інтерфейс Excel Solver.

Якщо у вас немає доступного засобу вирішення як вибір, відкрийте діалогове вікно «Менеджер надбудов» і переконайтеся, що розв'язувач вказано у списку та позначено. Якщо Solver немає в списку, його необхідно встановити. Розв'язувач входить в стандартну установку Excel. Щоб отримати допомогу, спробуйте support.office.com або www.solver.com.

Зверніть увагу, як Excel Solver включає інформацію про цільову функцію (цільову комірку), змінні вибору (змінні комірки) та обмеження бюджету. Ці всі були заповнені для вас, але ви навчитеся робити це самостійно в подальшій роботі.

КРОК Оскільки вся інформація була введена в діалоговому вікні «Параметри розв'язання», просто натисніть кнопку Вирішити в нижній частині діалогового вікна.

Excel Solver працює, намагаючись різні комбінації\(x_1\)\(x_2\) та оцінюючи поліпшення цільової комірки, намагаючись залишатися в межах обмеження. Коли він не може покращити набагато більше, він вважає, що знайшов відповідь і відображає повідомлення, як показано на малюнку 3.4.

Малюнок 3.4: Розв'язувач повідомляє про успіх.

Хоча Solver отримує правильну відповідь у цій проблемі, ми побачимо в майбутніх програмах, що Solver не є ідеальним і не заслуговує сліпої довіри.

КРОК Клацніть на Чутливість варіант під Звіти і натисніть кнопку OK; Excel поміщає рішення вирішувача в комірки B12 і B13. Він також вставляє новий аркуш у робочу книгу зі звітом про чутливість.

КРОК Натисніть на осередки B12 і B13. Зверніть увагу, що Excel не отримав рівно 25 і\(16 \frac{2}{3}\). Він підійшов вкрай близько і ви, звичайно, можете інтерпретувати результат як підтвердження аналітичного рішення, але вихід Solver вимагає інтерпретації і критичного мислення з боку користувача. На питанні точно правильної відповіді ми зупинимося пізніше.

КРОК Перейдіть до аркуша звіту про чутливість (вставлений Solver), щоб підтвердити, що цей числовий метод дає практично те саме абсолютне значення для множника Лагрангея, яке ми знайшли за допомогою методу Лагрангея (\(8 \frac{1}{3}\)). Ми відкладаємо пояснення цього, оскільки порядкова шкала корисності робить інтерпретацію лагрангейського множника безглуздим. Поки що просто відзначимо, що Solver може повідомляти про оптимальну лямбду і її результати узгоджені з методом Лагрангеана.

Ви можете помітити, що Excel повідомляє про значення множника Лагрангея -8.33 (з ще кількома кінцевими 3 секундами), але наша аналітична робота не дала негативного числа. Виходить, що ми ігноруємо ознаку\(\lambda^{*}\). Якщо ми встановимо Lagrangean як об'єктивну функцію мінус (замість плюс) лямбда раз обмеження або перепишемо обмеження як\(0 = 2x_1 + 3x_2 - 100\) (замість\(0 = 100 - 2x_1 - 3x_2\)), ми отримаємо негативне значення для\(\lambda^{*}\) нашої аналітичної роботи. Те, як ми пишемо обмеження або ми додаємо або віднімаємо обмеження є довільним, тому ми ігноруємо знак\(\lambda^{*}\).

Щоб бути зрозумілим, на відміну від знака, величина\(\lambda^{*}\) може бути значущою, але це не в цьому додатку, тому що корисність не кардинальна. Однак ми побачимо приклади, де цінність\(\lambda^{*}\) корисна та має економічну інтерпретацію.

Використання аналітичних та числових методів для пошуку оптимального рішення

Існує два способи вирішення завдань оптимізації:

1. Традиційний спосіб використовує олівець і папір, похідні, алгебру. Метод Лагрангеана використовується для вирішення обмежених задач оптимізації, таких як проблема вибору споживача.

2. Досягнення комп'ютерів призвели до створення числових методів вирішення задач оптимізації. Excel Solver є прикладом числового алгоритму, який можна використовувати для пошуку оптимальних рішень.

У наступних розділах ми продовжуватимемо використовувати як аналітичний, так і числовий підходи. Ви побачите, що жоден метод не є ідеальним і обидва мають сильні та слабкі сторони.

Вправи

Функція\(U = 10x - 0.1x^2 + y\) корисності має квазілінійну функціональну форму. Використовуйте цю функцію утиліти, щоб відповісти на запитання нижче.

1. Припустимо, бюджетна лінійка є\(100 = 2x + 3y\). Використовуйте аналітичний метод, щоб знайти оптимальне рішення. Покажіть свою роботу.

2. Припустимо, споживач вважає пачку 0,33.33, купуючи no x і витрачаючи весь дохід на у. Використовуйте MRS порівняно з логікою співвідношення цін, щоб пояснити, що буде робити споживач і чому.

3. Цю утиліту функцію можна записати в більш загальному вигляді буквами замість цифр, ось так:\(U = ax - bx^c + dy\). Якщо збільшується, що відбувається з оптимальним споживанням\(x\mbox{*}\)? Поясніть, як ви прийшли до вашої відповіді.

Посилання

Епіграф взятий зі сторінки 421 Короткий звіт про історію математики (вперше опублікований у 1888 році). Звичайно, існує безліч книг з історії математики, але ця класика весела і легко читається. Він змішує історії про людей з реальним математичним змістом.

Вся ця книга (і багато інших) знаходиться у вільному доступі на books.google.com. Ви можете прочитати його в Інтернеті або завантажити у вигляді pdf-файлу.

Додаток: Похідні та оптимізація

Похідна - це математичний вираз, який розповідає вам, як\(y = f(x)\) змінюється y у функції, враховуючи нескінченно малу зміну x. Графічно це нахил або швидкість зміни функції при цьому конкретному значенні x.

Лінійні функції мають постійний нахил і, отже, постійне значення для похідної. Для лінійної функції\(y = 6 + 3x\) записується похідна y по відношенню до x\(\frac{dy}{dx}\) (вимовляється «d y d x») і її значення дорівнює 3. Це говорить вам, що кожен раз, коли змінна x йде вгору, y змінна піднімається втричі. Так, якщо х збільшиться на 1 одиницю, y збільшиться на 3 одиниці. Це легко помітити на малюнку 3.5.

Малюнок 3.5: Лінійна функція.

Нелінійні функції мають мінливий нахил і, отже, похідну, яка приймає різні значення при різних значеннях x. Розглянемо функцію\(y = 4x - x^2\). На малюнку 3.6 графіки цієї функції. Його похідне є\(\frac{dy}{dx} = 4 - 2x\). При оцінці в певній точці, наприклад\(x = 1\), похідною є нахил дотичної лінії в цій точці.

Малюнок 3.6: Нелінійна функція з дотичною лінією в\(x=1\).

На відміну від попереднього випадку, ця похідна має в ньому x. Це означає, що ця функція нелінійна. Ухил залежить від величини х. В\(x=1\), похідна дорівнює 2, але при\(x=2\), вона дорівнює нулю (\(4-2[2]\)) і at\(x=3\), вона дорівнює -2 (\(4-2[3]\)).

Крім того, оскільки він нелінійний, розмір зміни x впливає на виміряну швидкість зміни. Наприклад, зміна у від\(x = 1\) до\(x = 2\) дорівнює 1 (тому що ми переходимо від\(y = 3\) до, коли\(y = 4\) ми збільшуємо x на 1). Якщо ми збільшимо х на меншу величину, скажімо 0,1 (з 1 до 1,1), то\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3.19-3}{1.1-1} = 1.9\). Беручи меншу зміну в х, ми отримуємо іншу міру швидкості зміни.

Якщо обчислити швидкість зміни через похідну, оцінюючи\(4 - 2x\) при x = 1, отримаємо 2. Похідна обчислює швидкість зміни для нескінченно малої зміни в x. Чим менше зміна x, тим ближче\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) до\(\frac{dy}{dx}\). Ви можете бачити, що це відбувається, як\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) перейшов від 1 до 1.9, як\(\Delta x\) впав з 1 до 0,1. Якщо ми йдемо ще менше, зробивши\(\Delta x\) = 0,01 (йде від 1 до 1,01), то\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3.0199-3}{1.01-1} = 1.99\).

Оптимізація за допомогою похідної

Проблема оптимізації зазвичай вимагає знайти значення ендогенної змінної (або змінних), яка максимізує або мінімізує певну цільову функцію. Ми можемо використовувати похідні, щоб знайти оптимальне рішення. Це називається аналітичним підходом.

Якщо ми намалюємо дотичні лінії при кожному значенні x на малюнку 3.6, лише одна буде горизонтальною (з похідною та нахилом нуля), і це буде вгорі. Це дає нам стратегію розв'язку: щоб знайти максимум, знайти значення x з плоскою дотичною лінією. Це еквівалентно знаходженню значення x, де похідна дорівнює нулю.

Розв'язуючи для значення x де\(\frac{dy}{dx} = 0\), знаходимо оптимальне рішення. Для\(y = 4x - x^2\), це легко. Ставимо похідну рівну нулю і вирішуємо для\(x\mbox{*}\). \[\frac{dy}{dx} = 4 - 2x\mbox{*} = 0\\ 4 = 2x\mbox{*}\\ x\mbox{*} = 2\]Рівняння, яке ви робите, коли встановлюєте першу похідну рівну нулю, називається умовою першого порядку. Умова першого порядку відрізняється від похідної тим, що похідна сама по собі не дорівнює нічомуВи можете підключити будь-яке значення x і похідне вираз викачує відповідь, яка говорить вам, чи і наскільки функція зростає або падає в цей момент. Умова першого порядку - це особлива ситуація, в якій ви використовуєте похідну, щоб знайти горизонтальну дотичну лінію, щоб з'ясувати, де функція має плоску пляму.

Зменшена форма - це відповідь, яку ви отримуєте, коли похідна встановлена рівною нулю і вирішена для оптимального рішення. Це може бути число або функція екзогенних змінних. Він не може мати ніяких ендогенних змінних у виразі. Іноді ви не можете вирішити явно для\(x\mbox{*}\). Ми говоримо, що в цих випадках немає рішення закритої форми. Розв'язок може існувати (і числові методи можуть бути використані для його пошуку), але ми не можемо висловити відповідь як рівняння.

Друга похідна є похідною від першої похідної. Він повідомляє вам нахил функції нахилу. Наприклад, якщо функція має постійний нахил, ми побачили, що її перша похідна є постійною величиною (як 3 у першому прикладі вище). Тоді друга похідна дорівнює нулю.

Другі похідні корисні в оптимізації з наступної причини: коли ви знайдете значення ендогенної змінної, яка робить першу похідну рівною нулю, точка, яку ви розташували, може бути або максимумом, або мінімумом. Якщо ви хочете бути впевненим, який з них ви знайшли, ви можете перевірити другу похідну. Для\(y = 4x - x^2\), перша похідна є,\(4 - 2x\) а друга похідна, отже, -2. Оскільки друга похідна негативна, ми знаємо, що наша плоска пляма при x = 2 є максимумом, а не мінімумом.

У цій книзі ми не будемо використовувати другі похідні, щоб перевірити, чи наші рішення справді є максимумами чи мінімумами. Наші функції будуть (в основному) добре себе вести, і ми зосередимося на економіці проблеми, а не на математиці.

Підсумовуючи, похідні використовуються для вимірювання швидкості зміни функції на основі зникаючої невеликої зміни в x. Якщо встановити похідну рівну нулю, ми намагаємося знайти оптимальне рішення, знайшовши значення для x, де дотична пряма рівна. Ця стратегія рішення заснована на ідеї, що точка, де дотична лінія горизонтальна, повинна означати, що ми знаходимося у верхній частині функції (або внизу, якщо ми мінімізуємо).

Корисні математичні факти

Цей додаток завершується коротким переліком загальних правил прийому похідних і роботи з показниками. Ідея тут полягає в тому, щоб відточити свої математичні навички, щоб ви могли аналітично вирішувати проблеми оптимізації.

Похідну можна обчислити, безпосередньо застосовуючи визначення, тобто беручи межу зміни x у міру наближення до нуля та визначення зміни у. На щастя, однак, є більш простий спосіб. Розроблено правила диференціації, які роблять набагато менш виснажливим брати похідну. Більшість книг обчислення мають всередині обкладинки, які сповнені правил. Багато студентів ніколи не розуміють, що ці правила насправді є ярликами. Ось короткий список, з особливим акцентом на тих, які використовуються в економіці.

Похідні правила дотримуються кількох правил алгебри, що стосуються юридичних операцій на експонентах. Ми будемо часто використовувати ці правила, щоб знайти оптимальні рішення і звести складні вирази до більш простих кінцевих відповідей.

Читання цих рівнянь нудно і нудно, але може заощадити багато часу і сил в майбутньому (особливо якщо ваша математика іржава). Ви повинні розглянути питання про виписування прикладів для іншого числа, скажімо, 6. Отже, замість того\(x^4\), що таке похідна по відношенню до х для\(x^6\)?

Похідні правила

Дозвольте x бути змінною, а а бути постійною.

Коли ви берете похідну функції щодо змінної, ви застосовуєте правила до різних частин функції. Наприклад, якщо\(y = 4x - x^2\), то ви застосовуєте\(\frac{d}{dx}(ax) = a\) правило до\(4x\), отримуючи 4. Ви застосовуєте\(\frac{d}{dx}(x^a) = ax^{a-1}\) правило\(- x^2\) і отримуєте\(- 2x\). Таким чином, похідна y по відношенню до x дорівнює\(\frac{dy}{dx} = 4 - 2x\).

Звичайно, є й інші правила обчислення, такі як правило ланцюга, але ми пояснимо їх, коли вони потрібні.

Закони експонентів