Зрозумійте, як графіки показують зв'язок між двома або більше змінними, і поясніть, як графік з'ясовує природу відносин.
Визначте нахил кривої.
Розрізняють рух вздовж кривої, зсув кривої та обертання в кривій.
Значна частина аналізу в економіці стосується взаємозв'язків між змінними. Змінна - це просто величина, значення якої може змінюватися. Графік - це образотворче зображення зв'язку між двома або більше змінними. Ключем до розуміння графіків є знання правил, які застосовуються до їх побудови та інтерпретації. Цей розділ визначає ці правила та пояснює, як малювати графік.
Креслення графіка
Щоб побачити, як будується графік з числових даних, розглянемо гіпотетичний приклад. Припустимо, в кампусі коледжу є лижний клуб, який організовує одноденні автобусні поїздки до гірськолижної зони приблизно в 100 милі від кампусу. Клуб орендує автобус і стягує 10 доларів з пасажира за поїздку в обидва кінці до зони катання. Окрім доходу, який клуб збирає від пасажирів, він також отримує грант у розмірі 200 доларів від студентського самоврядування школи на кожен день, коли доступна автобусна поїздка. Таким чином клуб отримає 200 доларів, навіть якщо жоден пасажир не хотів їздити в певний день.
Таблиця на малюнку 21.1 показує взаємозв'язок між двома змінними: кількістю студентів, які їздять на автобусі в конкретний день, і доходом, який клуб отримує від поїздки. У таблиці кожній комбінації присвоюється буква (А, Б і т.д.), ці літери ми будемо використовувати при перенесенні інформації з таблиці на графік.
Малюнок 21.1 Доходи лижного клубу Гірськолижний клуб отримує $10 від кожного пасажира, який їде на своєму автобусі для поїздки до та з гірськолижної зони плюс оплата 200 доларів від студентського самоврядування за кожен день, коли автобус доступний для цих поїздок. Доходи клубу з будь-якого дня, таким чином, дорівнюють $200 плюс $10 разів більше кількості пасажирів. Таблиця пов'язує різні комбінації кількості пасажирів і клубних доходів.
Ми можемо проілюструвати співвідношення, наведене в таблиці за допомогою графіка. Процедура показу зв'язку між двома змінними, як і на малюнку 21.1, на графіку проілюстрована на малюнку 21.2. Давайте подивимося на кроки, які беруть участь.
Малюнок 21.2 Побудова графіка
Тут ми бачимо, як показати інформацію, наведену на малюнку 21.1 на графіку.
Крок 1. Намалюйте та позначте осі
Дві змінні, наведені в таблиці, - це кількість пасажирів, які беруть автобус у певний день, і дохід клубу від цієї поїздки. Ми починаємо наш графік на панелі (а) малюнка 21.2, малюючи дві осі, щоб сформувати прямий кут. Кожна вісь буде представляти змінну. Осі повинні бути ретельно марковані, щоб відобразити те, що вимірюється на кожній осі.
Незалежну змінну прийнято розміщувати на горизонтальній осі, а залежну змінну - на вертикальній. Нагадаємо, що, коли дві змінні пов'язані, залежна змінна - це та, яка змінюється у відповідь на зміни незалежної змінної. Пасажири отримують дохід, тому ми можемо розглядати кількість пасажирів як незалежну змінну, а дохід клубу як залежну змінну. Кількість пасажирів таким чином йде по горизонтальній осі; дохід клубу від поїздки йде по вертикальній осі. У деяких випадках змінні на графіку не можуть вважатися незалежними або залежними. У цих випадках змінні можуть бути розміщені на будь-якій осі; ми зіткнемося з таким випадком у розділі, який представляє модель виробничих можливостей. В інших випадках економісти просто ігнорують правило; ми зіткнемося з цим випадком у розділі, який вводить модель попиту та пропозиції. Правило про те, що незалежна змінна йде по горизонтальній осі, а залежна - по вертикалі, зазвичай тримається, але не завжди.
Точка, в якій осі перетинаються, називається початком графіка. Зверніть увагу, що на малюнку 21.2 походження має нульове значення для кожної змінної.
При малюванні графіка, що показує числові значення, нам також потрібно поставити цифри на осях. Для осей в Panel (a) ми вибрали числа, які відповідають значенням у таблиці. Кількість пасажирів коливається до 40 для поїздки; доходи клубу від поїздки коливаються від 200 доларів (оплата, яку клуб отримує від студентського самоврядування) до 600 доларів. Ми розширили вертикальну вісь до 800 доларів, щоб дозволити деякі зміни, які ми розглянемо нижче. Ми вибрали інтервали 10 пасажирів на горизонтальній осі і 100 доларів на вертикальній осі. Вибір конкретних інтервалів - це головним чином питання зручності при малюванні та читанні графіка; ми вибрали ті тут, оскільки вони відповідають інтервалам, наведеним у таблиці.
Ми провели вертикальні лінії від кожного зі значень на горизонтальній осі і горизонтальні лінії від кожного зі значень на вертикальній осі. Ці лінії, звані сітчастими лініями, допоможуть нам у кроці 2.
Крок 2. Побудуйте точки
Кожен з рядків в таблиці на малюнку 21.1 дає комбінацію кількості пасажирів в автобусі і клубного доходу від конкретної поїздки. Ми можемо побудувати ці значення в нашому графіку.
Починаємо з першого ряду, А, відповідного нулю пасажирам і доходу клубу в 200 доларів, виплати від студентського самоврядування. Ми зчитуємо від нуля пасажирів на горизонтальній осі до $200 на вертикальній осі і відзначаємо точку А. Ця точка показує, що нульові пасажири призводять до клубних доходів $200.
Друга комбінація, B, говорить нам, що якщо 10 пасажирів їздять на автобусі, клуб отримує 300 доларів доходу від поїздки - 100 доларів від плати за 10 доларів за пасажира плюс 200 доларів від студентського самоврядування. Ми починаємо з 10 пасажирів на горизонтальній осі і слідуємо за сіткою вгору. Коли ми подорожуємо вгору на графіку, ми подорожуємо щодо значень на вертикальній осі. Подорожуємо вгору на 300 доларів і відзначаємо пункт B.
Окуляри на графіку мають особливе значення. Вони пов'язують значення змінних на двох осях один з одним. Читаючи ліворуч від точки Б, ми бачимо, що вона показує 300 доларів клубного доходу. Читаючи вниз з точки Б, бачимо, що вона показує 10 пасажирів. Ці значення - це, звичайно, значення, наведені для комбінації B в таблиці.
Ми повторюємо цей процес, щоб отримати точки C, D і E. Перевірте, щоб переконатися, що ви бачите, що кожна точка відповідає значенням двох змінних, заданих у відповідному рядку таблиці.
Графік в панелі (b) називається діаграмою розсіювання. Діаграма розкиду показує окремі точки, що пов'язують значення змінної на одній осі зі значеннями змінної на іншій.
Крок 3. Намалюйте криву
Останнім кроком є накреслення кривої, яка показує взаємозв'язок між кількістю пасажирів, які їздять на автобусі, і доходами клубу від поїздки. Термін «крива» використовується для будь-якої лінії на графіку, яка показує зв'язок між двома змінними.
Проводимо лінію, яка проходить через точки А через Е. Наша крива показує клубні доходи; ми будемо називати її R1. Зверніть увагу, що R1 - це похила вгору пряма лінія. Зверніть увагу також, що R1 перетинає вертикальну вісь в $200 (точка A). Точка, в якій крива перетинає вісь, називається перехопленням кривої. Ми часто маємо на увазі вертикальне або горизонтальне перехоплення кривої; такі перехоплення можуть відігравати особливу роль в економічному аналізі. Вертикальний перехоплення в цьому випадку показує дохід, який клуб отримає в день, коли він запропонував поїздку, і ніхто не їхав на автобусі.
Щоб перевірити ваше розуміння цих кроків, ми рекомендуємо вам спробувати побудувати точки та намалювати R1 для себе на панелі (а). А ще краще намалюйте осі для себе на аркуші графського паперу і намалюйте криву.
Нахил кривої
У цьому розділі ми побачимо, як обчислити нахил кривої. Нахили кривих розповідають важливу історію: вони показують швидкість, з якою одна змінна змінюється щодо іншої.
Нахил кривої дорівнює відношенню зміни значення змінної на вертикальній осі до зміни значення змінної на горизонтальній осі, виміряної між двома точками на кривій. Можливо, ви чули це під назвою «підйом над бігом». У формі рівняння ми можемо записати визначення ухилу як
Рівняння 21.1
На малюнку 21.3 наведено короткий огляд роботи з рівняннями. Матеріал в цьому тексті набагато сильніше спирається на графіки, ніж на рівняння, але ми будемо використовувати рівняння час від часу. Важливо, щоб ви розуміли, як ними користуватися.
Малюнок 21.3 Читання та використання рівнянь Багато рівнянь в економіці починаються у вигляді Рівняння 21.1, з твердженням, що одна річ (в даному випадку нахил) дорівнює іншій (вертикальна зміна ділиться на зміну горизонталі). У цьому прикладі рівняння пишеться словами. Іноді ми використовуємо символи замість слів. Основна ідея, хоча, завжди однакова: термін, представлений на лівій стороні знака дорівнює терміну на правій стороні. У рівнянні 21.1 є три змінні: нахил, зміна вертикалі та зміна горизонталі. Якщо ми знаємо значення двох з трьох, ми можемо обчислити третій. Наприклад, при обчисленні нахилів, які слідують, ми будемо використовувати значення для двох змінних у правій частині рівняння для обчислення нахилу.
На малюнку 21.4 показано R1, а обчислення його нахилу між точками B і D точка B відповідає 10 пасажирам автобуса; точка D відповідає 30. Зміна горизонтальної осі, коли ми йдемо від B до D, таким чином, дорівнює 20 пасажирам. Точка Б відповідає клубним доходам $300; точка D відповідає клубним доходам $500. Зміна вертикальної осі дорівнює $200. Схил, таким чином, дорівнює $200/20 пасажирів, або $10/пасажир.
Малюнок 21.4 Обчислення нахилу кривої
Виділіть дві точки; ми вибрали точки B і D.
Нахил дорівнює зміні вертикалі, розділеної на зміну горизонталі між двома точками.
Між точками B і D нахил дорівнює $200/20 пасажирів = $10/пасажир.
Ухил цієї кривої - це ціна за пасажира. Той факт, що він позитивний, говорить про позитивну залежність між виручкою за поїздку і кількістю пасажирів, що їздять на автобусі. Оскільки нахил цієї кривої становить $10/пасажир між будь-якими двома точками на кривій, взаємозв'язок між доходом клубу за поїздку та кількістю пасажирів є лінійним.
Ми застосували визначення нахилу кривої для обчислення нахилу R1 між точками B і D. Це ж визначення дано в рівнянні 21.1. Застосовуючи рівняння, ми маємо:
Нахил цієї кривої говорить нам про суму, на яку зростають доходи зі збільшенням кількості пасажирів. Не дивно, що ця сума дорівнює ціні на одного пасажира. Додавання пасажира додає 10 доларів до доходів клубу.
Зверніть увагу, що ми можемо обчислити нахил R1 між будь-якими двома точками на кривій і отримати однакове значення; нахил постійний. Розглянемо, наприклад, точки А і Е. Вертикальна зміна між цими точками становить $400 (ми переходимо від доходів $200 при А до доходів $600 при E). Горизонтальна зміна становить 40 пасажирів (від нуля пасажирів при А до 40 у Е). Таким чином, нахил між А і Е дорівнює $400/ (40 пасажирів) = $10/пасажир. Ми отримуємо однаковий нахил незалежно від того, яку пару точок ми вибираємо на R1, щоб обчислити нахил. Ухил R1 можна вважати постійним, що говорить про те, що це пряма лінія. Коли крива, що показує зв'язок між двома змінними, має постійний нахил, ми говоримо, що між змінними існує лінійна залежність. Лінійна крива - це крива з постійним ухилом.
Той факт, що нахил нашої кривої дорівнює $10/пасажир говорить нам щось інше про криву - $10/пасажир є позитивним, а не негативним значенням. Крива, нахил якої позитивний, є похилою вгору. Коли ми рухаємося вгору і вправо вздовж R1, ми рухаємося в напрямку збільшення значень для обох змінних. Позитивний зв'язок між двома змінними - це та, в якій обидві змінні рухаються в одному напрямку. Позитивні відносини іноді називають прямими відносинами. Існує позитивна залежність між доходами клубу і пасажирами в автобусі. Ми розглянемо графік, що показує негативний зв'язок між двома змінними в наступному розділі.
Графік, що показує негативний зв'язок
Негативний зв'язок - це та, при якій дві змінні рухаються в протилежних напрямках. Негативні відносини іноді називають зворотним. Нахил кривої, що описує негативний зв'язок, завжди негативний. Крива з негативним нахилом завжди є похилою вниз.
Як приклад графіка негативних відносин розглянемо вплив скасування ігор Національною баскетбольною асоціацією під час трудового спору 1998—1999 років на заробіток одного гравця: Шакіла О'Ніла. Під час сезону 1998—1999, О'Ніл був центром Лос-Анджелеса Лейкерс.
О'Ніл 's зарплата з Лейкерс в 1998—1999 було б близько $17,220,000 якби 82 заплановані ігри регулярного сезону були зіграні. Але контрактна суперечка між власниками і гравцями призвела до скасування 32 ігор. Зарплата містера О'Ніла склала приблизно 210 000 доларів за гру, тому трудовий спір коштував йому набагато більше 6 мільйонів доларів. Імовірно, він зміг заробити на життя своїм нижчим доходом, але скасування ігор коштувало йому багато чого.
Ми показуємо взаємозв'язок між кількістю скасованих ігор та баскетбольними заробітками О'Ніла у 1998—1999 роках графічно на малюнку 21.5. Скасування ігор зменшило його заробіток, тому кількість скасованих ігор є незалежною змінною і йде по горизонтальній осі. Заробітки О'Ніла є залежною змінною і йдуть по вертикальній осі. Графік передбачає, що його заробіток склав би 17 220 000 доларів, якби ігри не були скасовані (точка А, вертикальний перехоплення). Якщо припустити, що його заробіток впав на 210 000 доларів за скасовану гру, його заробіток за сезон скоротився до $10 500 000 за рахунок скасування 32 ігор (точка Б). Ми можемо провести межу між цими двома пунктами, щоб показати взаємозв'язок між скасованими іграми та доходами О'Ніла 1998—1999 років від баскетболу. У цьому графіку ми вставили розрив у вертикальній осі біля початку. Це дозволяє розширити масштаб осі в діапазоні від $10 000 000 до $18 000 000. Це також запобігає великому порожньому простору між походженням та доходом у розмірі 10 500 000 доларів - немає значень нижче цієї суми.
Малюнок 21.5 Скасування ігор та зменшення доходів Шакіла О'Ніла
Якби жодна гра не була скасована протягом баскетбольного сезону 1998—1999, Шакіл О'Ніл заробив би 17 220 000 доларів (очко А). Якщо припустити, що його зарплата за сезон знизилася на $210 000 за кожну скасовану гру, скасування 32 ігор під час суперечки між гравцями НБА і власниками знизило заробіток О'Ніла до $10 500 000 (точка Б).
Що таке ухил кривої на малюнку 21.5? У нас є дані для двох очок, A і B. У A баскетбольна зарплата О'Ніла становила б 17 220 000 доларів. У B це 10 500 000 доларів. Зміна по вертикалі між точками A і B дорівнює -6 720 000$. Зміна горизонтальної осі - від нульових ігор, скасованих на A до 32 ігор, скасованих на B.
Зверніть увагу, що цього разу нахил негативний, звідси і похила крива вниз. Коли ми подорожуємо вниз і вправо вздовж кривої, кількість скасованих ігор зростає, а зарплата О'Ніла падає. У цьому випадку нахил говорить нам про швидкість, з якою О'Ніл втрачав дохід, оскільки ігри були скасовані.
Нахил кривої зарплати О'Ніла також постійний. Це означає, що існувала лінійна залежність між скасованими іграми та його баскетбольними заробітками 1998—1999 років.
Зсув кривої
Коли ми малюємо графік, що показує зв'язок між двома змінними, ми робимо важливе припущення. Ми припускаємо, що всі інші змінні, які можуть вплинути на зв'язок між змінними в нашому графіку, незмінні. Коли одна з цих інших змінних змінюється, відносини змінюються, і крива, що показує, що відносини змінюються.
Розглянемо, наприклад, лижний клуб, який спонсорує автобусні поїздки в зону катання. Графік, який ми намалювали на малюнку 21.2, показує взаємозв'язок між доходами клубу від певної поїздки та кількістю пасажирів у цій поїздці, припускаючи, що всі інші змінні, які можуть вплинути на доходи клубу, не змінюються. Давайте змінимо один. Припустимо, студентський уряд школи збільшує виплату, яку він робить клубу до 400 доларів за кожен день, коли поїздка доступна. Оплата становила 200 доларів, коли ми намалювали оригінальний графік. Панель (а) на малюнку 21.6 показує, як збільшення платежу впливає на таблицю, яку ми мали на малюнку 21.1; Панель (b) показує, як змінюється крива. Кожне з нових спостережень в таблиці було позначено простим: A′, B′ і т.д. крива R1 зміщується вгору на 200 доларів в результаті збільшення платежу. Зсув кривої передбачає нові значення однієї змінної при кожному значенні іншої змінної. Нова крива позначена R2. Наприклад, з 10 пасажирами дохід клубу становив 300 доларів у точці B на R1. Зі збільшенням оплати від студентського самоврядування його дохід з 10 пасажирами зростає до 500 доларів у пункті B′ на R2. У нас є зсув в кривій.
Малюнок 21.6 Зсув кривої: збільшення доходів
Таблиця в Панелі (а) показує новий рівень доходів, які отримує лижний клуб з різною кількістю пасажирів внаслідок збільшення оплати від студентського самоврядування. Нова крива показана темно-фіолетовим кольором на панелі (b). Стара крива показана світло-фіолетовим кольором.
Важливо розрізняти зсуви в кривих і рухи по кривих. Рух по кривій - це зміна від однієї точки кривої до іншої, що відбувається, коли залежна змінна змінюється у відповідь на зміну незалежної змінної. Якщо, наприклад, студентський уряд платить клубу $400 кожен день це робить лижний автобус доступним і 20 пасажирів їздити на автобусі, клуб працює в точці C′ на R2. Якщо кількість пасажирів збільшиться до 30, клуб буде знаходитися в точці D′ на кривій. Це рух по кривій; сама крива не зміщується.
Тепер припустимо, що замість того, щоб збільшити свою виплату, студентське самоврядування скасовує свої виплати лижному клубу за автобусні поїздки. Єдиний дохід клубу від поїздки зараз надходить від його 10 доларів за пасажира. Ми знову змінили одну зі змінних, які ми тримали без змін, тому ми отримуємо ще один зрушення в нашій кривій доходів. Таблиця в панелі (а) на малюнку 21.7 показує, як зменшення оплати студентського самоврядування впливає на доходи клубу. Нові значення відображаються у вигляді комбінацій від А до Е «на новій кривій, R3, на панелі (b). Ще раз маємо зсув кривої, на цей раз від R1 до R3.
Малюнок 21.7 Зсув кривої: скорочення доходів
Таблиця в панелі (а) показує вплив на доходи лижного клубу усунення підтримки студентського самоврядування для поїздок на лижних автобусах. Єдиний дохід клубу зараз надходить від $10, які він стягує з кожного пасажира. Нові комбінації відображаються як A″ — E». На панелі (b) ми бачимо, що початкова крива, що стосується доходу клубу до кількості пасажирів, змістилася вниз.
Зсуви на малюнку 21.6 та рисунку 21.7 залишили нахили кривих виручки без змін. Це тому, що нахил у всіх цих випадках дорівнює ціні за квиток, а ціна квитка залишається незмінною. Далі ми побачимо, як змінюється нахил кривої, коли ми обертаємо її навколо однієї точки.
Обертання кривої
Обертання кривої відбувається, коли ми змінюємо її нахил, з фіксованою однією точкою на кривій. Припустимо, наприклад, гірськолижний клуб змінює ціну своїх поїздок на автобусі до зони катання на 30 доларів за поїздку, а оплата від студентського самоврядування залишається 200 доларів за кожен день поїздки. Це означає, що доходи клубу залишаться 200 доларів, якщо у нього немає пасажирів у певній поїздці. Дохід, однак, буде відрізнятися, коли в клубі є пасажири. Оскільки нахил нашої кривої доходу дорівнює ціні за квиток, нахил кривої доходу змінюється.
Панель (а) на малюнку 21.8 показує, що відбувається з вихідною кривою доходу, R1, коли ціна за квиток підвищується. Пункт А не змінюється, дохід клубу з нульовими пасажирами незмінний. Але з 10 пасажирами дохід клубу зросте з $300 (точка B на R1) до $500 (точка B′ на R4). З 20 пасажирами дохід клубу тепер дорівнюватиме 800 доларів (точка C′ на R4).
Малюнок 21.8 Обертання кривої
Кажуть, що крива обертається, коли одна точка залишається фіксованою, тоді як інші точки на кривій рухаються; обертання завжди змінює нахил кривої. Тут збільшення ціни на пасажира до 30 доларів обертало б криву доходу від R1 до R4 в панелі (а). Ухил R4 становить 30 доларів на одного пасажира.
Нова крива доходу R4 крутіша, ніж вихідна крива. Панель (b) показує обчислення нахилу нової кривої між точками B′ і C′. Ухил збільшується до 30 доларів за пасажира — нова ціна квитка. Чим більше нахил позитивно похилої кривої, тим крутіше він буде.
Зараз ми бачили, як намалювати графік кривої, як обчислити її нахил, а також як зсунути і обертати криву. Ми розглянули як позитивні, так і негативні відносини. Наша робота до цих пір була з лінійними відносинами. Далі ми перейдемо до нелінійних.
Ключові виноси
Графік показує зв'язок між двома або більше змінними.
Похила вгору крива передбачає позитивний зв'язок між двома змінними. Похила вниз крива передбачає негативний зв'язок між двома змінними.
Нахил кривої - це відношення зміни вертикалі до зміни горизонталі між двома точками на кривій. Крива, нахил якої постійний, передбачає лінійну залежність між двома змінними.
Перехід від однієї точки кривої до іншої створює рух вздовж кривої на графіку. Зсув кривої передбачає нові значення однієї змінної при кожному значенні іншої змінної. Обертання кривої передбачає, що одна точка залишається фіксованою, поки нахил кривої змінюється.
Спробуйте!
Наступна таблиця показує взаємозв'язок між кількістю галонів бензину, які люди в громаді бажають і можуть купувати за тиждень і ціною за галон. Покладіть ці точки в наданій сітці і позначте кожну точку літерою, пов'язаною з комбінацією. Зверніть увагу, що є розриви як у вертикальній, так і в горизонтальній осях сітки. Намалюйте лінію через нанесені вами точки. Ваш графік передбачає позитивний чи негативний зв'язок? Що таке ухил між А і В? Між B і C? Між А і С? Чи є відносини лінійними?
Тепер припустимо, вам надається наступна інформація про взаємозв'язок між ціною за галон і кількістю галонів на тиждень АЗС в громаді готові продати.
Помістіть ці точки в наданій сітці і проведіть криву через намальовані вами точки. Ваш графік передбачає позитивний чи негативний зв'язок? Що таке ухил між D і E? Між Е і F? Між D і F? Чи лінійна ця залежність?
Відповідь, щоб спробувати!
Ось перший графік. Схил кривої вниз говорить нам, що існує негативний зв'язок між ціною та кількістю бензину, який люди бажають і можуть купувати. Ця крива, до речі, є кривою попиту (наступна - крива пропозиції). Незабаром ми вивчимо попит і пропозицію; ви будете використовувати ці криві багато. Нахил між A та B становить −0,002 (нахил = зміна вертикалі/зміна горизонталі = −0,20/100). Нахил між B і C і між A і C однаковий. Це говорить нам, що крива лінійна, що, звичайно, ми можемо бачити - це пряма лінія.
Ось крива пропозиції. Його висхідний нахил говорить нам, що існує позитивна залежність між ціною за галон та кількістю галонів на тиждень АЗС, які готові продавати. Нахил між D і E дорівнює 0,002 (нахил дорівнює зміні вертикалі /зміна горизонталі = 0,20/100). Оскільки крива лінійна, нахил однаковий між будь-якими двома точками, наприклад, між E та F та між D та F.
