Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Наукові позначення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    101645

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У багатьох дисциплін науки та техніки необхідно керувати дуже великими і дуже малими числовими величинами. Деякі з цих величин вражають своїм розміром, або надзвичайно малими, або надзвичайно великими. Візьмемо для прикладу масу протона, однієї зі складових частинок ядра атома:

    Протонна маса = 0.00000000000000000000000167 грам

    Або розглянемо кількість електронів, що проходять повз точку в ланцюзі кожну секунду при сталому електричному струм 1 ампер:

    1 ампер = 6 250,000,000,000,000 електронів в секунду

    Багато нулів, чи не так? Очевидно, що це може стати досить заплутаним, щоб обробляти стільки нульових цифр у таких цифрах, як це, навіть за допомогою калькуляторів та комп'ютерів.
    Зверніть увагу на ці два числа та відносну розрідженість ненульових цифр у них. Для маси протона все, що ми маємо, - це «167», яким передують 23 нулі перед десятковою крапкою. Для кількості електронів в секунду в 1 ампер ми маємо «625», а потім 16 нулів. Ми називаємо проміжок ненульових цифр (від першої до останньої), плюс будь-які нульові цифри, які не просто використовуються для розміщення, «значущі цифри» будь-якого числа.

    Значущі цифри в реальному вимірі, як правило, відображають точність цього вимірювання. Наприклад, якщо ми повинні були сказати, що автомобіль важить 3000 фунтів, ми, мабуть, не маємо на увазі, що автомобіль, про який йде мова, важить рівно 3000 фунтів, але що ми округлили його вагу до значення, зручніше сказати і пам'ятати. Ця округла цифра 3000 має лише одну значну цифру: «3» спереду - нулі лише служать заповнювачами. Однак, якби ми сказали, що автомобіль важив 3,005 фунтів, той факт, що вага не округлена до найближчої тисячі фунтів, говорить нам, що два нулі в середині не просто заповнювачі, але що всі чотири цифри числа «3,005» є важливими для його репрезентативної точності. Таким чином, число «3,005», як кажуть, має чотири значущі цифри.

    Подібним чином, числа з багатьма нульовими цифрами не обов'язково є представниками реальної кількості аж до десяткової крапки. Коли це, як відомо, так, таке число може бути записано своєрідною математичною «стенографією», щоб полегшити справу. Ця «стенографія» називається науковим позначенням.
    При науковому позначенні число записується шляхом представлення його значущих цифр у вигляді величини від 1 до 10 (або -1 і -10, для від'ємних чисел), а нулі «заповнювачі» обліковуються множником степень-десять. Наприклад:

    1 ампер = 6 250 000 000 000 000 електронів в секунду

    . може бути виражений як.

    1 ампер = 6,25 х 10 18 електронів в секунду від

    10 до 18-го ступеня (10 18) означає 10 помножене на себе 18 разів, або «1», за яким слідують 18 нулів. Помножений на 6,25, він виглядає як «625», за яким слідують 16 нулів (візьміть 6,25 і пропустіть десяткову крапку 18 знаків праворуч). Переваги наукового позначення очевидні: число не настільки неповоротке, коли написано на папері, а значущі цифри просто ідентифікувати.
    Але як бути з дуже маленькими цифрами, як маса протона в грамах? Ми все ще можемо використовувати наукові позначення, за винятком негативної сили десяти замість позитивної, щоб зсунути десяткову крапку вліво, а не вправо:

    Протонна маса = 0.00000000000000000000000167 грам

    . може бути виражена як.

    Протонна маса = 1,67 х 10 -24 грама

    10 до -24-го ступеня (10 -24) означає зворотну (1/х) 10 помножену на себе 24 рази, або «1» перед десятковою крапкою і 23 нулями. Помножений на 1,67, він виглядає як «167», якому передує десяткова крапка і 23 нулі. Так само, як і у випадку з дуже великою кількістю, людині набагато простіше мати справу з цим «скороченим» позначенням. Як і в попередньому випадку, значущі цифри в цій кількості чітко виражені.
    Оскільки значущі цифри представлені «самостійно», далеко від множника потужності десяти, легко показати рівень точності, навіть коли число виглядає круглим. Беручи наш приклад автомобіля 3000 фунтів, ми могли б висловити округлене число 3,000 в науковому позначенні як таке: вага

    автомобіля = 3 х 10 3 фунтів

    Якщо автомобіль насправді важив 3,005 фунтів (з точністю до найближчого фунта), і ми хотіли бути здатний висловити, що повна точність вимірювання, наукова цифра позначення може бути записана так: вага

    автомобіля = 3,005 х 10 3 фунтів

    Однак, що робити, якщо автомобіль насправді важить 3000 фунтів, точно (до найближчого фунта)? Якби ми писали свою вагу в «нормальній» формі (3000 фунтів), не обов'язково було б зрозуміло, що це число дійсно було точним до найближчого фунта, а не просто округлено до найближчої тисячі фунтів, або до найближчої сотні фунтів, або до найближчих десяти фунтів. Наукові позначення, з іншого боку, дозволяють показати, що всі чотири цифри є значними без непорозумінь: вага

    автомобіля = 3.000 х 10 3 фунтів

    Оскільки не було б сенсу додавати зайві нулі праворуч від десяткової точка (розміщення нулів непотрібне з науковим позначенням), ми знаємо, що ці нулі повинні бути значними для точності фігури.