4.2: Округлення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 103262

Kelly Brooks
Eastern Gateway Community College

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми використовували десяткові числа протягом усього нашого життя, але давайте займемо деякий час, щоб формалізувати мову, щоб ми могли навчитися правильно округлити десяткові числа.

Читання десяткових чисел:

Дріб	Десяткова	Ім'я
\(\dfrac{1}{10}\)	0.1	Одна десята
\(\dfrac{1}{100}\)	0,01	Сотий
\(\dfrac{1}{1000}\)	0,001	Тисячна
\(\dfrac{1}{10000}\)	0,0001	Десятитисячний
\(\dfrac{1}{100000}\)	0,00001	Сто тисячна

Значення місця праворуч від десяткового числа задаються такі назви:

Десяті, соті, тисячні, десятитисячні, соті, мільйонні і т.д.

В результаті ми читаємо 5.643 як «п'ять і шестисоти-сорок тритисячні з тих пір, як остання цифра після коми закінчується на тисячному місці.

Приклади:

45.6 читається як «сорок п'ять і шість десятих»
У числі 543.7892, 8 в якому місці значення? Оскільки 8 - це дві цифри після десяткової крапки, значення місця дорівнює сотим часткам.
0.0143 читається як «сто сорок три десятитисячних

Для округлення десяткових знаків, округлення до найближчого знака після коми,

Розглянемо число праворуч від потрібного значення місця округлення
1. Якщо цифра менше 5 (4 або менше), обрізаємо на потрібному місці округлення значення, тобто скидаємо всі цифри після потрібного значення місця округлення
2. Якщо цифра дорівнює 5 і більше, округляємо, додавши 1 до потрібного значення місця округлення, перш ніж скинути всі інші цифри вправо

Приклади:

Округлюємо 32,784 до найближчої сотої. Так як 8 знаходиться в сотих місцях, вважаємо число відразу праворуч (в тисячних місці), так як 4 менше 5, всі цифри скидаємо після сотих місць, щоб отримати 32,78.
Округлюємо 32,786 до найближчої сотої. Так як 8 знаходиться в сотих місцях, вважаємо число відразу праворуч (в тисячних місці), так як 6 більше 5, додаємо 1 до 8 (в сотих місцях це називається округленням вгору) і опускаємо всі цифри після сотих місця, щоб отримати 32,79.
Округлюємо 6,48327 до найближчого тисячного. Починаємо з розгляду значення цифри відразу після тисячного місця, яке дорівнює 2, так як 2 менше 5, скидаємо всі цифри після тисячного місця, щоб отримати 6,483 як округлене число до найближчої тисячної.
Раунд 6.4592 до найближчого
1. Десятий\(\Rightarrow\) Оскільки 5 відразу слід за десятим місцем, ми округляємо 4 в десятому місці вгору на одне число до 5 (додаючи 1 до 4), щоб отримати 6,5 як округлене число до десятого місця.
2. Сотий\(\Rightarrow\) Оскільки 9 відразу слід за сотим місцем, округляємо 5 в сотих місцях до 6, щоб отримати 6,46 як округлене число до сотих.
3. Тисячний\(\Rightarrow\) Оскільки 2 відразу слід за тисячним місцем, ми округляємо 5 в сотих місцях до 6, щоб отримати 6,46 як округлене число до сотих.
Округлення 6.4597 до найближчої тисячної (до трьох знаків після коми) .Оскільки четверта цифра дорівнює 5 або вище, ми повинні округлити третю цифру після десяткового числа, додавши 1, але якщо ми додамо 1 до 9, ми отримаємо 10, тому ми думаємо 59 (другий і третій місця після десяткової коми і округлити його на 1, щоб отримати 60, отже, 6 .4597 округляється до трьох знаків після коми або найближча тисячна стає 6,460. Ми повинні записати нуль на тисячному місці в цьому випадку, щоб показати округлення до трьох знаків після коми, без нуля на кінці округлення було б неправильним.

Значні цифри

Значні цифри використовуються для забезпечення точності розрахунку на основі чисел, використовуваних в рамках розрахунку. Коли проблема не вказує, як округлити відповідь або вона не мається на увазі в її контексті (наприклад, гроші), ми використовуємо значні цифри.

Значущими вважаються наступні цифри:

Цифри між 1-9. Приклад: 875 складатиметься з трьох значущих цифр.
Будь-які нулі між ненульовими цифрами. Приклад: 20.07 і 5608 будуть складатися з чотирьох значущих цифр.
Кінцеві нулі в десятковому числі є значними

Наступні цифри представляють неоднозначні випадки, тому найкращим методом визначення значущих цифр є перетворення числа в наукові позначення:

Будь-які нулі в числах, які не містять десяткової крапки. Приклад: 530 000 залежно від ситуації, це може представляти дві значні цифри або шість значущих цифр, тому давайте перетворимо це в наукове позначення для отримання:\(5.3\ X\ {10}^4\) яке тепер представляло б дві значні цифри. Загалом, якщо нулі використовуються для знаходження десяткової крапки, вони не є значущими цифрами, тоді як якщо нулі використовуються для точності, вони включаються як значущі цифри.

Наступні цифри не є значущими:

Якщо число менше 1, нулі, що виникають після десяткової крапки, але перед ненульовою цифрою. Приклад: 0,0075 буде складатися з двох значущих цифр

При виконанні розрахунків кількість значущих цифр остаточної відповіді еквівалентно найменшій кількості значущих цифр, наведених при розрахунку.

Приклади:

Вкажіть кількість значущих цифр у кожному з наступних чисел
1. 3.402\(\Rightarrow\) 4 значущі цифри, ненульові цифри підраховуються, оскільки вони знаходяться між 1-9 і нулем підраховується, оскільки він знаходиться між двома ненульовими цифрами
2. 0.000472\(\Rightarrow\) 3 значущі цифри; це число менше 1, тому нулі після десяткової крапки, але перед ненульовими цифрами не рахуються, тому ми підраховуємо лише цифри між 1-9
3. \(8.0\ X\ {10}^4\)\(\Rightarrow\)2 значущі цифри; ми вважаємо десяткове значення (не ступінь 10), кінцевий нуль підраховує, оскільки воно використовується для показу точності числа
4. 452 000\(\Rightarrow\) неоднозначних випадків, від 3 до 6 значущих цифр залежно від контексту числа
Округляйте наступні числа до трьох значущих цифр
1. 89.0146\(\Rightarrow\) Оскільки нуль після десяткової крапки є значним, оскільки він знаходиться між двома ненульовими цифрами, округляємо до найближчої десятої в цьому випадку, щоб отримати 89.0
2. 0.005324\(\Rightarrow\) Оскільки це число менше 1, нулі відразу праворуч від десяткової крапки не є значними, тому для округлення до трьох значущих цифр округляємо до найближчої стотисячної для отримання 0,00532
3. 872.58\(\Rightarrow\) Так як всі цифри значущі, для округлення до трьох значущих цифр округляємо до найближчого цілого числа (три цифри зліва) до отримання 873.
4. 8723.158\(\Rightarrow\) Так як всі цифри значущі, для округлення до трьох значущих цифр округляємо до найближчої десяти (три цифри зліва), щоб отримати 8720.
5. 65 207\(\Rightarrow\) Так як всі цифри значущі, для округлення до трьох значущих цифр округляємо до найближчої сотні (три цифри зліва) або 65 200.
На підставі даних розрахунків викласти кількість значущих цифр відповіді, потім виконати розрахунок і округлити його виходячи зі значущих цифр
1. \((4.5)(2.33)(6.232)\)\(\Rightarrow\)Дві значні цифри, починаючи з 4.5, мають найменшу кількість значущих цифр. \[\left(4.5\right)\left(2.33\right)\left(6.232\right)=65.34252\,\,\, \text{which rounds to 65} \nonumber\]
2. \(\frac{(2.543)(3.516)}{0.01}\)\(\Rightarrow\)Одна значна цифра, починаючи з 0,01, має найменшу кількість значущих цифр. \[\frac{(2.543)(3.516)}{0.01}=\frac{8.941188}{0.01}=894.1188 \,\,\, \text{which rounds to 900}\nonumber \]