4.1: Наукові позначення
- Page ID
- 103258
Наукові позначення використовуються для того, щоб зробити дуже великі числа, такі як 4 895 000 000 або дуже малі числа, такі як 0.0000073 простішими у використанні. У водній промисловості ми використовуємо дуже великі числа, коли йдеться про обсяг води у великих резервуарах або дуже малих кількостях, коли йдеться про забруднювачі на галон води.
Форма наукової позначення:
\[\underbrace{(a\ decimal)}_{between\ 0\ and\ 10\ \left(not\ including\ 10\right)} \times {10}^{power}\]
Перетворення з наукового позначення в дійсне число
- Для додатного показника на 10 перемістіть десятковий розряд вправо еквівалентну кількість пробілів як потужність
- Для від'ємного показника на 10 перемістіть десятковий розряд вліво еквівалентну кількість пробілів як абсолютне значення степені
Перетворіть наукове позначення в дійсне число:\(8.735 \times {10}^7\)
Рішення
Оскільки сила 10 позитивна 7, ми перемістимо десятковий розряд 7 одиниць вправо, щоб отримати: 87,350 000
Перетворіть наукове позначення в дійсне число:\(2.356 \times {10}^{-4}\)
Рішення
Оскільки сила 10 від'ємна 4, ми перемістимо десятковий розряд 4 одиниці вліво, щоб отримати: 0.2356
Перетворення додатного числа в наукові позначення
- Перемістіть десятковий знак праворуч від першої ненульової цифри. Це буде десяткова частина наукового позначення.
- Якщо десятковий розряд був переміщений вліво, використовуйте додатну силу 10 на основі кількості знаків, які було переміщено після коми
- Якщо десятковий розряд був переміщений вправо, використовуйте негативну силу 10, виходячи з кількості знаків, які було переміщено після коми
Перетворіть 567,900,000 на наукові позначення.
Рішення
В даний час під десятковим знаком розуміється після останньої цифри, оскільки це ціле число, тому перемістіть десяткове число вліво 8 знаків, так що десяткова кома знаходиться між 5 і 6, отже, наукове позначення\(5.679 \times {10}^8\)
Перетворіть 0.00032 в наукові позначення.
Рішення
Перемістіть десяткове число вправо 4, так що десяткове число між 3 і 2, щоб створити десяткове число 3,2, а сила 10 буде від'ємною 4, так як ми перемістили десяткове число вправо 4. Наукове позначення було б\(3.2 \times {10}^{-4}\)
Числа, які більші за 1, матимуть позитивну силу 10 у науковому позначенні, а числа, які менше 1 (але все ще позитивні) матимуть негативну силу 10 в науковому позначенні.
Відображення наукових позначень на наукових калькуляторах
Щоб помножити і ділити числа в наукових позначеннях, ми можемо помножити (або розділити) десяткові числа і помножити (або розділити) степені 10, потім спростити, переписуючи в належну форму наукового позначення. Для цього нам потрібно буде розібратися в деяких правилах показників.
Правило експонентів
1. При множенні виразів з однаковою базою зберігаємо базу і додаємо експоненти:
\[a^x\cdot a^y=a^{x+y}\]
2. При діленні виразів з однаковою базою зберігаємо базу і віднімаємо показники:
\[\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\]
3. Негативні показники стають додатними показниками, якщо перемістити вираз на протилежну сторону дробу:
\[a^{-x}=\frac{1}{a^x} \,\,\, \text{and} \,\,\, \frac{1}{a^{-x}}=a^x\]
4. Ненульовий вираз, піднятий до показника нуля, еквівалентний 1:
\[a^0=1\]
Помножте та спростіть за допомогою наукових позначень:\((2.45\times {10}^6)(3.23\times {10}^{-15})\)
Рішення
По-перше, ми можемо переставити множення, щоб отримати:
\[\left(2.45\times {10}^6\right)\left(3.23\times {10}^{-15}\right)\]
\[=\left(2.45\right)\left(3.23\right)\times ({10}^6)({10}^{-15})\]
Далі ми можемо помножити десяткові числа, а потім помножити степені 10, використовуючи правило показника:
\[=7.9135\times {10}^{6+\left(-15\right)}\]
\[=7.9135\times {10}^{-9}\]
Оскільки десяткове значення 7,9135 знаходиться в межах від 0 до 10 (не включаючи 10), то це належна форма наукового позначення.
Помножте та спростіть за допомогою наукових позначень:\((8.7\times {10}^{-6})(2.5\times {10}^{12})\)
Рішення
По-перше, ми можемо переставити множення, щоб отримати:
\[(8.7\times {10}^{-6})(2.5\times {10}^{12})=\left(8.7\right)\left(2.5\right)\times ({10}^{-6})({10}^{12})\]
Далі ми можемо помножити десяткові числа, а потім помножити степені 10, використовуючи правило показника:
\[=21.75\times {10}^{-6+12}\]
\[=21.75\times {10}^6\]
Оскільки десяткове значення 21,75 не знаходиться між 0 і 10 (не включаючи 10), нам потрібно перетворити його в належну форму наукового позначення і спростити подальше
\[21.75\times {10}^6=\left(2.175\times {10}^1\right)\times {10}^6\]
\[\ \ \ \ \ \ =2.175\times {10}^{1+6}\]
\[=2.175\times {10}^7\]
Розділіть і спростіть за допомогою наукових позначень:\(\frac{4.125\times {10}^{13}}{7.5\times {10}^{-2}}\)
Рішення
Спочатку ділимо десяткові числа, потім ділимо степені 10, використовуючи правило показника:
\[\frac{4.125\times 10^{13}}{7.5\times 10^{-2}}=\frac{4.125}{7.5} \times \frac{10^{13}}{10^{-2}}\]
\[=0.55\times {10}^{13-\left(-2\right)}\]
\[=0.55\times {10}^{15}\]
Оскільки десяткове значення 0,55 не знаходиться між 0 і 10 (не включаючи 10), нам потрібно перетворити його в належну форму наукового позначення і спростити подальше
\[0.55\times {10}^{15}=\left(5.5\times {10}^{-1}\right)\times {10}^{15}\]
\[=5.5\times {10}^{-1+15}\]
\[=5.5\times {10}^{14}\]