3.1: Додавання, віднімання, множення та ділення властивостей рівності
- Page ID
- 103192
Властивості додавання, віднімання, множення та ділення рівності дозволяють нам додавати, віднімати, множити або ділити одне і те ж значення по обидва боки рівняння, це гарантує, що рівняння залишається істинним (зверніть увагу, ми не можемо ділити на нуль).
Концепція: Ми знаємо, що це справжнє твердження:\(5=5\)
Твердження залишиться true, якщо ми виконаємо одну і ту ж операцію з обох сторін рівняння.
- Додайте 4 з обох сторін рівняння, щоб отримати:\[\begin{align*} 5+4 &=5+4 \\[4pt] 9 &=9 \end{align*}\]
- Відніміть 10 з обох сторін вихідного рівняння, щоб отримати:\[\begin{align*} 5-10&=5-10 \\ -5&=-5 \end{align*}\]
- Помножте на 2 з обох сторін вихідного рівняння, щоб отримати:\[ \begin{align*} 5\cdot 2&=5\cdot 2 \\ 10&= 10 \end{align*} \]
- Розділіть на 15 з обох сторін вихідного рівняння, щоб отримати:\[\begin{align*} \frac{5}{15}&= \frac{5}{15}\\ \frac{1}{3}&=\frac{1}{3} \end{align*}\]
Ми використовуємо властивості додавання, віднімання, множення та ділення рівності для розв'язання рівнянь для заданої змінної або невідомої.
Процес розв'язання базового лінійного рівняння в однозмінній
- Ізолювати змінну шляхом «скасування» операції над змінною, тобто застосувавши протилежну операцію по обидва боки рівняння за допомогою Властивості рівності
Вирішити для х:\(x+2=9\)
Рішення
Оскільки 2 додається до x, щоб ізолювати x, нам потрібно «скасувати» додавання 2, протилежне додавання 2 віднімає 2, тому, використовуючи властивість віднімання рівності, давайте віднімаємо 2 з обох сторін рівняння, щоб отримати:
\[x+2-2=9-2\]
\[x=7\]
Вирішити для х:\(x-7=13\)
Рішення
Оскільки 7 віднімається з х, щоб ізолювати х, нам потрібно «скасувати» віднімання 7, протилежність віднімання 7 - це додавання 7, тому, використовуючи властивість додавання рівності, давайте додамо 7 по обидва боки рівняння, щоб отримати:
\[x-7+7=13+7\]
\[x=20\]
Вирішити для х:\(3x=12\)
Рішення
Оскільки х множиться на 3, щоб виділити х, нам потрібно «скасувати» множення на 3, протилежне множення на 3 ділиться на 3, тому, використовуючи властивість поділу рівності, давайте розділимо на 3 з обох сторін рівняння, щоб отримати:
\[\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\]
\[x=\frac{12}{3}=4\]
Вирішити для х:\(\frac{x}{8}=2\)
Рішення
Так як x ділиться на 8, для виділення х нам потрібно «скасувати» поділ на 8. Протилежність ділення на 8 множення на 8, тому, використовуючи властивість множення рівності, давайте помножимо на 8 по обидва боки рівняння, щоб отримати:
\[\frac{x}{8}\cdot 8=2\cdot 8\]
\[\frac{x}{8}\cdot \frac{8}{1}=2\cdot 8\]
\[x=16\]
Вирішити для х:\(\frac{1}{2}x=5\)
Рішення
Ми можемо підійти до цієї проблеми парою різних способів,
Варіант 1: Прочитайте проблему, оскільки x множиться на ½, отже, ми можемо розділити обидві сторони на ½, щоб ізолювати змінну, x.
\[\frac{\frac{1}{2}x}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}\]
\[x=\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{1}\cdot \frac{2}{1}=\frac{10}{1}=10\]
Варіант 2: Перепишіть задачу або подумайте про проблему як читається, оскільки x ділиться на 2, оскільки ½\(x\) еквівалентна\(\frac{x}{2}\), тому ми можемо помножити обидві сторони рівняння на 2, щоб ізолювати\(x\):
\[\frac{1}{2}x=5\]
\[\frac{x}{2}=5\]
\[\frac{x}{2}\cdot 2=5\cdot 2\]
\[x=10\]
Аналогічно, якщо у нас дріб раз змінна, скажімо x, то ми можемо помножити обидві сторони рівняння на зворотну дробу (переверніть дріб таким чином, щоб чисельник став знаменником, а знаменник став чисельником):
Вирішити для х:\(\frac{2}{3}x=7\)
Рішення
\[\frac{2}{3}x=7\]
\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot 7\]
\[x=\frac{3}{2}\cdot \frac{7}{1}=\frac{21}{2}\]
Процес розв'язання лінійного рівняння в одній змінній з декількома операціями
При вирішенні лінійного рівняння з декількома операціями ми змінюємо порядок операцій, оскільки ми «скасовуємо» початкові операції.
Приклад:
1. Вирішити для х:\(2x+5=15\)
Порядок операцій стан для виконання множення, потім додавання, тому при вирішенні ми змінимо цей порядок, тому ми спочатку «скасуємо» додавання, потім «скасуємо» множення
\[2x+5=15\nonumber \]
Крок 1: «Скасувати додавання на 5», віднімаючи 5 з обох сторін рівняння
\[2x+5-\boldsymbol{5}=15-\boldsymbol{5} \nonumber \]
\[2x=10\nonumber \]
Крок 2: «Скасувати множення на 2» шляхом ділення на 2 з обох сторін рівняння
\[\frac{2x}{\boldsymbol{2}}=\frac{10}{\boldsymbol{2}}\nonumber \]
\[x=5 \nonumber \]
Ми можемо перевірити нашу відповідь, підставивши значення для x у вихідне рівняння та перевіривши, що рівняння вірно:\(2\left(5\right)+5=10+5=15 \, ✓\)
2. Вирішити для х:\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7}\)
\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7}\nonumber \]
Крок 1: Відніміть з\(\frac{1}{5}\) обох сторін рівняння
\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}-\boldsymbol{\frac{1}{5}}=\frac{2}{7}-\boldsymbol{\frac{1}{5}}\nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{2}{7}-\frac{1}{5} \nonumber \]
Крок 2: Знайдіть РК-дисплей для віднімання дробів з правого боку:
\[\frac{2}{3}x=\frac{2}{7}\cdot \frac{5}{5}-\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{7}\nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{10}{35}-\frac{7}{35} \nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{3}{35}\nonumber \]
Крок 3: Помножте обидві сторони рівняння на зворотну\(\frac{2}{3}\), яка буде\(\frac{3}{2}\):
\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{3}{35}\nonumber \]
\[x=\frac{9}{70}\nonumber \]
Процес розв'язання лінійних рівнянь з дужками
Коли рівняння містить дужки, ми можемо очистити дужки, використовуючи розподільну властивість.
Розподільна власність:\(a\left(b+c\right)=ab+ac\)
Приклади
1. Вирішити для м:\(5\left(m+3\right)-2\left(7-m\right)=12\)
Крок 1: Застосуйте розподільну властивість, щоб очистити дужки:
\[5m+5\left(3\right)-2\left(7\right)-2(-m)=12 \nonumber \]
\[5m+15-14+2m=12 \nonumber \]
Крок 2: Поєднуйте подібні терміни
\[5m+2m+15-14+1=12\nonumber \]
\[7m+1=12 \nonumber \]
Крок 3: Ізолюйте змінну, віднімаючи 1 з обох сторін, а потім розділивши обидві сторони на 7
\[7m+1-\boldsymbol{1}=12-\boldsymbol{1}\nonumber \]
\[7m=11\nonumber \]
\[\frac{7m}{\boldsymbol{7}}=\frac{11}{\boldsymbol{7}}\nonumber \]
\[m=\frac{11}{7}\nonumber \]
2. Вирішити для х:\(-7\left(3-x\right)+11=2\left(x-3\right)\)
Крок 1: Очистіть дужки, використовуючи розподільну властивість
\[-21+7x+11=2x-6 \nonumber \]
Крок 2: Поєднуйте подібні терміни
\[-10+7x=2x-6 \nonumber \]
Крок 3: Ізолюйте змінну, віднімаючи з обох\(2x\) сторін рівняння та додаючи 10 з обох сторін рівняння
\[-10+\boldsymbol{10}+7x-\boldsymbol{2x}=2x-\boldsymbol{2x}-6+\boldsymbol{10}\nonumber \]
\[5x=4\nonumber\]
Тепер розділіть обидві сторони на 5:
\[\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{4}{\boldsymbol{5}}\nonumber \]
\[x=\frac{4}{5}\nonumber \]