1.2: Математичні операції

Додавання цілих і десяткових чисел

Додавання чисел з однаковими знаками

• Додайте абсолютні значення чисел і призначте загальний знак результату
• ПРИМІТКА: Коли знаки обидва позитивні, додайте значення

Приклад:\(23+18\)

Загальний знак - +, тому відповідь буде позитивною, тепер ми додаємо цифри, щоб отримати

\[23+18=41\]

Приклад:\(-17+(-31)\)

Загальний знак -, тому відповідь буде негативним, тепер складаємо абсолютні значення чисел для отримання:

\[-17+\left( -31\right) =\]

Спочатку обчислюємо суму абсолютних значень:

\[\left|-17\right|+\left|-31\right|=\ 17+31=48\]

Далі призначте результату загальний знак, тому остаточна відповідь буде: -48.

\[-17+\left(-31\right)=-48\]

Додавання чисел з протилежними знаками

• Візьміть абсолютне значення кожного числа
• Відніміть меншу кількість від більшого числа
• Призначте знак результату на основі знака числа з більшим абсолютним значенням
• ПРИМІТКА: Знак більшого абсолютного значення виграє. З практикою ці кроки почнуть відчувати себе безшовно.

Приклад:\(21+(-13)\)

Спочатку обчислимо абсолютне значення кожного числа:

\[\left|21\right|=21 \text{ and } \left|-13\right|=13\]

Далі відніміть меншу кількість з більшого числа:

\[21-13=8\]

Далі призначають знак числа, абсолютне значення якого було більше, в цьому випадку знак 21 є ознакою остаточної відповіді (позитивної), звідси

\[21+\left(-13\right)=8\]

Науковий калькулятор натискань клавіш:

Приклад:\(28+(-54)\)

Спочатку обчислимо абсолютне значення кожного числа:

\(\left|28\right|=28\)і\(\left|-54\right|=54\)

Далі відніміть меншу кількість з більшого числа:

\[54-28=26\]

Далі призначають знак числа, абсолютне значення якого було більше, в цьому випадку знак -54 є ознакою остаточної відповіді (негативної), звідси

\[28+\left(-54\right)=-26\]

Short-cut: Тепер, коли ми пройшли формальний процес додавання цілих чисел, давайте отримаємо загальне уявлення про процес:

• Якщо знаки однакові, об'єднайте цифри і збережіть знак
• Якщо ознаки різні, не враховуючи ознаки, відніміть меншу кількість з більшого числа, потім збережіть знак більшого числа

Приклад:\(13+(-29)\)

Оскільки 29 більше 13, віднімаємо 13 з 29, щоб отримати 16, і використовуємо знак 29, який є негативним: -16

Приклад:\(-28+(-54)\)

Так як знаки однакові, відповідь буде мати той же знак (негативний), тепер об'єднайте цифри 28 + 54 = 82, тому остаточний відповідь -82

Аналогічно з десятковими числами:

Приклад:\(-2.34+\left(-5.4\right)=\)

Так як знаки однакові, складаємо цифри: 2,34 + 5,4 = 7,74 і тримаємо загальний знак (негативний), щоб отримати — 7,74

Віднімання цілих і десяткових чисел

При відніманні цілого або десяткового числа додаємо протилежне числу після віднімання.

Приклад:\(15-7=\)

У цьому випадку ми можемо виконувати регулярне віднімання, однак ми також можемо застосувати правило віднімання додавання протилежного для отримання:

\[15+\left(-7\right)=8\]

оскільки 15 більше 7, віднімаємо і зберігаємо знак більшого числа, яке є позитивним

Приклад:\(3-12=\)

Пам'ятаючи додати протилежне 12, отримуємо

\[3+\left(-12\right)=-9\]

Оскільки знаки різні і 12 більше 3, віднімаємо,\(12 -3\) щоб отримати 9, але використовуємо знак 12, який є негативним, щоб отримати -9

Аналогічно з десятковими значеннями:

Приклад:\(8.23-(-1.2)=\)

Спочатку додаємо протилежне -1.2:\(8.23+1.2=\)

Далі ми поєднуємо числа, оскільки вони мають однакові знаки для отримання:

\[8.23-\left(-1.2\right)=8.23+1.2=9.43\]

Множення та ділення цілих і десяткових чисел

Для множення або поділу цілих і десяткових чисел використовуємо множення чисел і використовуємо такі правила для знака:

• Якщо два числа мають однакові ознаки, результат позитивний
• Якщо два числа мають різні (протилежні) знаки, результат негативний

Приклади:

1. \(\left(3\right)\left(-7\right)=\ -21\)
2. \(\left(-15\right)\left(-10\right)=150\)
3. \(\left(-5.2\right)\left(2\right)=-10.4\)
4. \(\left(2\right)\left(7\right)=14\)
5. \(\left(-25\right)\div \left(-5\right)=5\)
6. \(\left(-12.8\right)\div \left(4\right)=-3.2\)
7. \(\left(250\right)\div \left(-10\right)=-25\)
8. \(\left(48\right)\div \left(6\right)=8\)

Додавання, віднімання, множення та ділення цілих і десяткових чисел за допомогою наукового калькулятора

Існує багато типів наукових калькуляторів, доступних на роздрібному ринку, на наших персональних комп'ютерах і навіть на наших персональних пристроях, таких як мобільні телефони та планшети. В результаті давайте спочатку розмежовуємо два типи наукових калькуляторів: калькулятор дисплея та калькулятор без відображення. Деякі приклади калькуляторів відображення: TI30XIIS, TI-36X Pro, TI-30XS Multiview та Casio FX-350es PLUS. Деякі приклади калькуляторів, що не відображаються, - це TI-30xA, більшість калькуляторів стільникових телефонів та більшість калькуляторів на персональних комп'ютерах.

Для наших цілей ми визначимо, чи є калькулятор калькулятором «Відображення» або «непоказним» калькулятором, виконавши наступне:

Введіть 2 + 3 на калькуляторі.

• Якщо на вашому екрані відображається весь вираз 2 + 3, то у вас є калькулятор «Відображення».
• Якщо на екрані відображається тільки 3 після набору 2 + 3, то у вас є «непоказний» калькулятор.

На дисплеї калькуляторів ми зазвичай можемо ввести проблему так, як вона написана. На калькуляторі, що не відображається, ми зазвичай повинні вводити задачу в зворотному порядку операцій (див. розділ 2 для отримання додаткової інформації).

Давайте повернемося до деяких наших попередніх прикладів і розрахуємо їх на науковому калькуляторі. Для негативних чисел обов'язково використовуйте негативний символ (-), який зазвичай знаходиться внизу клавіатури на калькуляторі TI, а не символ віднімання, -, який зазвичай знаходиться в правій частині клавіатури. Кожен калькулятор відрізняється, тому вам, можливо, доведеться поекспериментувати з калькулятором, щоб визначити процес.

Для обчислення -17+ (-31) використовуйте наступну послідовність натискань клавіш для отримання -48:

Дисплей калькулятор:	Калькулятор без відображення:
(-) 17 + (-) 31 ВВЕСТИ	17 (-) + 31 (-) =
Введіть негативний знак перед числом	Введіть від'ємне число після знака

Для обчислення 8.23- (-1.2) = використовуйте наступну послідовність натискань клавіш, щоб отримати 9.43:

Дисплей калькулятор	Калькулятор без відображення:
8.23 - (-) 1.2 ВВЕСТИ	8.23 - 1.2 (-) =
Використовуйте клавішу віднімання, а потім введіть негативний знак перед числом	Використовуйте клавішу віднімання, а потім введіть негативний знак після числа

Для обчислення (-15) (-10) = використовуйте наступну послідовність натискань клавіш, щоб отримати 150:

Дисплей калькулятор	Калькулятор без відображення:
(-) 15 Х (-) 10 ВВЕДІТЬ	15 (-) Х 10 (-) =
Введіть негативний знак перед числом	Введіть негативний знак після числа

Для обчислення (250)\(\div\) (-10) = використовуйте наступну послідовність натискань клавіш для отримання -25:

Дисплей калькулятор	Калькулятор без відображення:
250\(\div\) (-) 10 ВВЕСТИ	250\(\div\) 10 (-) =
Введіть негативний знак перед числом	Введіть негативний знак після числа

Дроби

Дроби - це дійсні числа, які вказують на частину цілого. Дріб складається з чисельника і знаменника. Знаменник являє собою кількість рівних частин предмета, а чисельник - частину цих рівних частин. Наприклад, якщо труба розділена на 4 рівні частини, ¼ представлятиме 1 з 4 частин, 2/4 представлятиме 2 з 4 частин, ¾ представлятиме 3 з 4 частин, а 4/4 = 1 представлятиме всі 4 частини або всю трубу. Так само 0/4 представлятиме 0 з 4 частин або нічого, отже, 0/4 = 0.

Прямокутник внизу ділимо на дві рівні частини. Отже, 1 з шматків з 2 штук представлятиме 1/2.

Коло, показане нижче, ділиться на 8 рівних частин. 1 частина представляла б 1/8. 2 частини представляли б 2/8, що зменшилося б до ¼ з кількох причин:

1. якби ми повинні були затінювати 2 з 8 штук, що б також представляти 1 з 4 рівних частин і
2. 2/8 можна зменшити, розділивши як чисельник (2), так і знаменник (8) на одне і те ж число, яке в даному випадку дорівнювало б 2, отже:\(\frac{2}{8}=\frac{2\div 2}{8\div 2}=\frac{1}{4}\)

«Бар» у дробі також являє собою поділ, тому ¼ також означало б\(1\div 4\). Це можна трактувати як ціле, розділене на 4 рівні частини або 1 з 4 рівних частин.

Дроби мають безліч застосувань. Дроби також можуть бути використані для представлення одиниць, таких як милі на годину або\(\frac{miles}{hour}\). Дроби також можуть бути використані для позначення коефіцієнтів і пропорцій; ми побачимо використання дробів у цих додатках в більш пізній одиниці.

Множення та ділення дробів

Щоб помножити дроби:

Множимо чисельники і множимо знаменники.

Щоб спростити, зменшіть, діливши подібні множники (числа, які діляться на інші числа).

Приклади:

1. \(\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}\)

а Множимо чисельники і множимо знаменники.

\[\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{10}{21}\nonumber \]

Оскільки 10 і 21 не мають якихось загальних факторів, це спрощений або скорочений відповідь.

2. \(\frac{22}{63}\cdot \frac{9}{24}\)

а Множимо чисельники і множимо знаменники.

\[\frac{22}{63}\cdot \frac{9}{24}=\frac{108}{1512}\nonumber \]

b. спростити, зменшивши дріб (розділити чисельник і знаменник на однакові числа (и))

\[\frac{108}{1512}=\frac{108\div 12}{1512\div 12}=\frac{9}{126}=\frac{9\div 9}{126\div 9}=\frac{1}{14}\nonumber \]

Ще один варіант цієї проблеми - зменшити перед множенням:

\[\frac{12}{63}\cdot \frac{9}{24}\nonumber \]

а Зменшити чисельники і знаменники, розділивши кожен на одне і те ж число

\[\frac{12\div 12}{63\div 9}\cdot \frac{9\div 9}{24\div 12}=\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}\nonumber \]

b. множити чисельники і знаменники (помножити прямо поперек)

\[\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{14}\nonumber \]

3. \(\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{30}\)

Так як числа в дробах великі, давайте спочатку зменшимо, потім множимо.

Визначте числа, які діляться як на чисельник, так і на знаменник:

9 ділиться на 18 і 72; 6 ділиться на 24 і 30 АБО 6 ділиться на 18 і 30; 24 ділиться на 24 і 72

\[\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{31}=\frac{24\div 6}{72\div 9}\cdot \frac{18\div 9}{30\div 6}=\frac{4}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4\div 4}{8\div 4}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{2\div 2}\cdot \frac{2\div 2}{5}=\frac{1}{5} \nonumber \]

АБО

\[\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{31}=\frac{24\div 24}{72\div 24}\cdot \frac{18\div 6}{30\div 6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{3\div 3}\cdot \frac{3\div 3}{5}=\frac{1}{5} \nonumber \]

Для поділу дробів: Інвертуйте другий дріб і змініть операцію на множення і продовжуйте, як описано вище.

Приклад:\(\frac{3}{5}\div \frac{9}{10}\)

\[\frac{3}{5}\div \frac{9}{10}= \frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\nonumber \]

Приклад:\(\frac{15}{7}\div \frac{25}{21}\)

\[\frac{15}{7}\div \frac{25}{21}=\frac{15}{7}\cdot \frac{21}{25}=\frac{3}{1}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\nonumber \]

Додавання та віднімання дробів

З подібними знаменниками

Для додавання або віднімання дробів дроби повинні мати однаковий знаменник:

Крок 1: Переконайтеся, що дроби схожі на дроби (дроби з однаковим знаменником).

Крок 2: Додайте або відніміть чисельники і збережіть той самий знаменник.

Приклади:

1. \(\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}\)
2. \(\frac{14}{17}-\frac{5}{17}=\frac{14-5}{17}=\frac{9}{17}\)

З відмінними знаменниками

Крок 1: Перепишіть несхожі дроби (дроби з різними знаменниками) як подібні дроби (дроби з однаковим знаменником) з найменш загальним кратним як їх новий знаменник. Цей новий знаменник називається найменш загальним знаменником (РК).

Щоб визначити найменший спільний знаменник (РК), знайдіть найменший спільний кратний знаменників, іншими словами, знайдіть найменше число, на яке поділяють обидва знаменника

Перепишіть несхожі дроби як подібні дроби, множивши чисельник і знаменник кожного дробу на число, яке робить знаменник кожного найменш спільним знаменником.

Крок 2: Додайте або відніміть чисельники і збережіть загальний знаменник.

Приклади:

1. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\)

Спочатку знайдіть найменше число, на яке поділяться і 3, і 9, в цьому випадку це буде 9, тому 9 - це РК-дисплей.

Отже, нам потрібно помножити перший дріб на 3/3, щоб створити 9 в знаменнику:

\[\frac{3}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{6}{9}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}\nonumber \]

2. \(\frac{3}{7}+\frac{1}{4}=\)

Найменший спільний знаменник = 28 (так як 28 - це найменше число, яке можна розділити як на 7, так і на 4)

Далі помножте чисельник і знаменник 3/7 на 4/4, щоб створити знаменник 28 і помножте чисельник і знаменник ¼ на 7/7, щоб створити знаменник 28, нарешті, додайте чисельники і збережіть загальний знаменник.

\[\frac{4}{4}\cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{7}=\frac{12}{28}+\frac{7}{28}=\frac{19}{28}\nonumber \]

ПРИМІТКА: Ми додаємо, віднімаємо, множимо та ділимо від'ємні дроби аналогічно тому, як ми додавали, віднімали, множили та ділили від'ємні числа в Розділі ___.

Відсотки

Відсоток визначається як сума на основі 100. Якщо розділити слово на два слова, то маємо «per» і «cent». Per означає ділити на і цент означає 100, отже, розділити на 100 або з 100.

Приклад: 54% означає 54 з 100

Ми будемо використовувати відсотки для обчислення значень в одиниці ____.

Перетворення між різними типами чисел (дроби, десяткові та відсотки)

Щоб перетворити з дробу в десятковий, розділіть чисельник на знаменник.

Щоб перетворити з десяткового числа в дріб, визначте місце останньої цифри після десяткової, запишіть дріб як всі цифри після десяткового числа над останнім знаком десяткової.

Приклад: 0.547 являє собою 547 тисячних, оскільки остання цифра після десяткового числа знаходиться в тисячному місці, у нас 547/1000.

Перетворення з дробу в відсоток

Варіант 1: Перетворіть дріб у десятковий, а потім перетворіть десятковий у відсоток

Варіант 2: Використовуйте пропорцію, щоб написати дріб зі знаменником 100, тоді використовуючи визначення відсотка, відсоток буде заснований на чисельнику дробу зі знаменником 100. Ми вивчимо цей варіант більше в Unit ___, коли дізнаємося про пропорції.

Щоб перетворити з десяткового числа в відсоток, помножте десяткове число на 100 або перемістіть десятковий розряд на дві одиниці вправо.

Щоб перетворити з відсотка в десяткове число, розділіть число відсотків на 100 або перемістіть десятковий розряд на дві одиниці вліво.