6.6.3: Розподіл концентрацій в середньому за часом
- Page ID
- 1419
У стійкій обстановці\(\partial c/ \partial t = 0\) і\(c = C\). Повинен існувати баланс між висхідним транспортом турбулентністю та транспортом вниз зі швидкістю падіння. Інтеграція Eq. 6.6.2.6 по глибині (при нульовому вертикальному потоці біля поверхні води) призводить до:
\[w_s C(z) + v_{t,s} (z) \dfrac{dC(z)}{dz} = 0\label{eq6.6.3.1}\]
Це рівняння вказує на рівновагу між низхідним транспортом зі швидкістю падіння\(w_s C(z)\) і чистим рухом зерен вгору по турбулентності.
Як уже згадувалося вище, локальна турбулентність у товщі води призводить до висхідного і низхідного обміну відкладеної рідиною ділянок. Оскільки концентрація осаду більша близько до шару, більше зерен буде транспортуватися у напрямку вгору, ніж у напрямку вниз. Це призводить до турбулентного перенесення осаду, який залежить від градієнта концентрації над вертикаллю. Ось чому його називають транспортом градієнтного типу. В середньому турбулентність переносить осад від рівнів високих концентрацій до рівнів менших концентрацій, тобто від нижчих рівнів у товщі води до більш високих рівнів.
Як правило, зважений осад дещо тонший, ніж матеріал шару. Отже, для обчислення постійної швидкості падіння часто використовується менший діаметр зерна, ніж при обчисленні транспорту навантаження на пласт.
Припущення про висхідний транспорт через турбулентну дифузію здається розумним для плоского ложа. Однак у ситуації рифленого ліжка можна очікувати, що висхідний транспорт здійснюється вихровими частинами, породженими брижами (див. Інтермеццо 6.1). Це когерентні рухи рідини, які за допомогою конвекції виводять осад вгору. У такому випадку вся концепція висхідного транспорту, пропорційного градієнту концентрації, більше не тримається. Іноді концепція дифузії трохи розтягується, припускаючи, що дифузійність осаду також враховує процеси конвекції.
Має сенс співвідносити турбулентну\(v_{t, s}\) дифузійність осадової маси з вихровою в'язкістю рідини через коефіцієнт\(\beta\):\(v_{t,s} = \beta v_t\). Значення\(\beta < 1\) відображає, що частинки осаду не можуть повністю реагувати на турбулентні коливання швидкості рідини (інерція). З іншого боку\(\beta > 1\) (підтримується лабораторними дослідами) вказує на більш ефективне змішування для частинок осаду, ніж для частинок води. Стверджено, що це результат більших відцентрових сил на частинки осаду у вихрових частинок, ніж на частинки рідини (через їх більш високу щільність). У наступному\(\beta = 1\) використовується.
З відповідним розподілом для\(v_{t, s}\) (на що існує багато кандидатів в літературі!) і нижня гранична умова, ур. \(\ref{eq6.6.3.1}\)може бути інтегрований як чисельно, так і аналітично. Аналітичні рішення можливі для простих розподілів дифузійності.
Інтеграція виконується від приліжкового еталонного рівня\(a\) до поверхні води. На еталонному рівні може використовуватися гранична умова\(a\) концентраційного типу. Оскільки в принципі\(z = a\) відповідає верхній частині шару навантаження ліжка, еталонна концентрація повинна бути якось пов'язана зі швидкістю транспортування навантаження ліжка, наприклад, за допомогою:
\[C_a = \dfrac{S_b}{ua}\]
де:
| \(S_b\) | перевезення вантажу ліжка | \(m^3/m/s\) |
| \(u\) | середня швидкість рідини в придонному шарі | \(m/s\) |
| \(a\) | товщина нижнього шару (порядок шорсткості дна\(r\)) | \(m\) |
Довідкова концентрація часто формулюється як функція усередненого за часом напруження зсуву шару і повинна враховувати посилене перемішування хвилями.
Найзагальніше рішення Eq. \(\ref{eq6.6.3.1}\)це:
\[C(z) = C_a \exp \left [-\int_{z = a}^{z} \dfrac{w_s}{v_{t, s} (z)} dz \right ]\]
де:
| \(C_a\) | середня за часом концентрація на рівні\(z = a\) | - |
| \(w_s\) | швидкість падіння | \(m/s\) |
| \(z\) | висота над ліжком | \(m\) |
Ейнштейн (1942, 1950) і Раус (1937) запропонували параболічний розподіл коефіцієнта дифузії по глибині води:
\[v_{t,s} (z) = \kappa u_* \dfrac{z}{h} (h - z)\]
де:
| \(\kappa\) | Константа фон Кармана = 0,4 |
Дифузійність параболічного осаду відповідає загальновизнаній параболічної вихрової в'язкості в товщі води (збільшується від нуля на «стінках» до максимуму від стінок, див. 5.5.5.17 і текст під ним).
Це призводить до наступного розподілу концентрацій (див. Рис. 6.16):
\[C(z) = C_a \left [\dfrac{h - z}{z} \dfrac{a}{h - a} \right ]^{z_*}\]
де:
| \(a\) | товщина нижнього шару | \(m\) |
| \(C_a\) | концентрація на еталонному рівні\(z = a\) | - |
| \(z_*\) | Число розрядів визначено як\(z_* = \dfrac{w_s}{\kappa u_*}\) | - |
Число Рауза - це нерозмірне число, яке не тільки визначає профіль концентрації осаду, але і визначає вид транспорту. Це відношення між низхідною швидкістю падіння осаду і висхідною швидкістю на представленому зерні\(\kappa u_*\). Для номерів Roose більше, ніж, скажімо, 2.5 (або\(w_s/u_* > 1\)) весь транспорт є транспортом навантаження ліжка. Для числа Ruse менше, ніж, скажімо, 0,8, ми маємо тільки навантаження на прання. Між цими крайнощами відбувається суспензія осаду. Якщо\(w_s/u_* > 1\) можна сказати, що осад грубий і реагує квазістійко на поле потоку. Для\(w_s/u_* < 1\) («дрібний» пісок у суспензії) немиттєві реакції осаду починають грати певну роль.