5.7.3: Розмноження припливів у басейни

У приливних басейнів ми, як правило, знаходимо основний канал, який транспортує більшість відливів і відливів. Саме уздовж цього основного русла в першу чергу поширюється приливна хвиля. Якщо ми вирішимо вирівняти\(x\) -вісь з віссю каналу, ми можемо наблизити поширення припливів за допомогою набору одновимірних рівнянь. Це рівняння балансу маси і імпульсу в\(x\) -напрямку.

Малюнок 5.61: Визначення параметрів поперечного перерізу.

Для виведення цих рівнянь схематизуємо\(A(x, t)\) перетин басейну шириною\(b\) на дві частини. Одна частина являє собою проточну несучу частину поперечного перерізу, що скидає весь потік, інша частина - накопичувальна частина, яка зберігає тільки воду без скидання, див. Рис. Частина зберігання являє собою приливні квартири, які покриті під час вищої води і піддаються під час нижньої води.

Проточно-несучий перетин має площу\(A_s (x, t)\), яка є твором проточної ширини\(b_s (x, t)\) і репрезентативної миттєвої глибини\(h(x, t)\). Ця глибина\(h(x, t)\) є сумою репрезентативної\(h_0(x, t)\) проточної глибини води щодо середнього горизонтального рівня води та рівня приливів\(\eta (x, t)\). Середня швидкість потоку в проточному перерізі (усереднена над загальним перерізом) вказується як\(u_s (x, t)\). Проточно-несучий перетин можна записати як\(A_s = b_s h = b_s (h_0 + \eta)\). Приливний розряд через цей перетин становить\(Q = A_s u_s\)

Виведено одновимірні рівняння балансу для нескінченно малого короткого перерізу в басейні. Масовий баланс (рівняння безперервності) дає:

\[\underbrace{\dfrac{\partial }{\partial x} (A_s u_s)}_{\text{volume change due to in- and outgoing transport}} + \underbrace{b \dfrac{\partial \eta}{\partial t} }_{\text{volume change due to water level change}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{b} \dfrac{\partial}{\partial x} (b_s h u_s) + \dfrac{\partial \eta}{\partial t} = 0\label{eq5.7.3.1}\]

Рівняння балансу маси може бути спрощено з\(b = b_s\) (відсутність міжприпливних зон зберігання) і за припущенням призматичного каналу (форма поперечного перерізу і розмір і ухил дна є постійними вздовж каналу, отже,\(b\) не залежить від\(x\)). Це дає:

\[\dfrac{\partial}{\partial x} (hu) = \dfrac{\partial \eta}{\partial t} = 0\label{eq5.7.3.2}\]

Зверніть увагу, що для зручності ми скинули індекс\(s\) для\(u\). Загальна глибина води може бути прийнята за межі\(x\) -похідної для невеликого співвідношення амплітуди припливів над глибиною води і призматичним каналом. Порівняйте це рівняння з еквалайзером. 3.8.3.3.

Баланс імпульсу говорить:

\[\underbrace{\dfrac{\partial }{\partial t}(A_s u_s)}_{\text{momentum change}} + \underbrace{\dfrac{\partial }{\partial x}(A_s u_s^2)}_{\text{in- and outflow of momentum}} + \underbrace{g A_s \dfrac{\partial \eta}{\partial x}}_{\text{pressure gradient}} + \underbrace{\dfrac{b_s}{\rho } \tau_0 = 0}_{\text{bottom friction}}\]

З\(b = b_s\) і під припущенням призматичного каналу (так, що\(A_s\) не змінюється з\(x\)), ми знаходимо вираз поширення припливів на мілководді 1D:

\[\dfrac{\partial u}{\partial t} + u \dfrac{\partial u}{\partial x} + g \dfrac{\partial \eta}{\partial x} + \dfrac{\tau_b}{\rho h} = 0\]

Тут ми знову скинули індекс\(s\) для\(u\).

Проводячи масштабний аналіз, можна показати, за яких умов які терміни мають схожий порядок, а якими термінами можна знехтувати. Для характерних порядків відношення амплітуди припливу до глибини води\(a/h = \mathcal{O} (10^{-1})\) і\(h \approx \mathcal{O} (10\ m)\) адвективним (другим) терміном на лівій стороні можна знехтувати.

Для простоти приймемо лінійний закон тертя\(\tau_b = \rho c_f |u| u \approx \rho r u\). Отримуємо:

\[\dfrac{\partial u}{\partial t} + g \dfrac{\partial \eta}{\partial x} + \dfrac{r}{h} u = 0\label{eq5.7.3.5}\]

Порівняйте наведене вище рівняння з Eqs. 3.8.3.1 та 3.8.3.2 та екв. 5.7.2.1.

Як і в Intermezzo 3.5, ми беремо рівняння\(\partial /\partial t\) неперервності (Eq. \(\ref{eq5.7.3.2}\)) і\(\partial /\partial x\) рівняння імпульсу (ур. \(\ref{eq5.7.3.5}\)). Для невеликого припливу (\(a/h\)невеликого) це призводить до:

\[\dfrac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - gh \dfrac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \dfrac{r}{h} \dfrac{\partial \eta}{\partial t} = 0\label{eq5.7.3.6}\]

Це рівняння має елементи класичного хвильового рівняння (ур. 3.8.1.4) та рівняння дифузії (останні два члени лівої сторони (LHS)).

Ми можемо реалізувати подальші спрощення залежно від відносної величини інерції (локального прискорення) та тертя. У багатьох неглибоких приливних басейнів переважає потік тертя. Тоді термін інерції може бути знехтований до першого наближення.

Потік, що переважає тертя

Розглянемо неглибокий лиман, для якого тертя домінує інерція. Басейн довгий, тобто вся приливна енергія розсіюється в басейні до того, як приплив досягне кінця басейну.

У прямому басейні ур. \(\ref{eq5.7.3.6}\)дійсний. Для потоку, що переважає тертя, Eq. \(\ref{eq5.7.3.6}\)зводиться до рівняння дифузії (останні два члени залишаються):

\[\dfrac{\partial \eta}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\]

в якому\(D = gh^2/r\) - коефіцієнт приливної дифузії. Розв'язок цього рівняння може бути показано таким:

\[\eta (x, t) = ae^{-kx} \cos (\omega t - kx) \ \text{ with } \ k = \sqrt{\dfrac{\omega}{2D}}\]

З підстановки в рівнянні неперервності, Eq. \(\ref{eq5.7.3.2}\), отримуємо:

\[u(x, t) = \dfrac{a}{h} \sqrt{\omega D} e^{-kx} \cos (\omega t - kx + \pi /4)\]

Амплітуди горизонтального і вертикального припливу поступово затухають з відстанню\(x\) від вхідного отвору. Крім того, швидкість призводить до висоти поверхні на 45°. Швидкість фази\(c = \omega /k\) задається по\(c = \omega /k = \sqrt{2 \omega D}\). Відзначимо, що це відрізняється від фазової швидкості лінійної прогресивної хвилі\(c = \omega /k = \sqrt{gh}\).

Зауважте, що при квадратичному законі тертя (замість простого лінійного наближення) коефіцієнт припливної дифузії залежить від величини потоку і тому сильно змінюється протягом припливного періоду. Цей нелінійний характер передбачає, що басейн деформує приливну хвилю під час дифузії і вона втрачає свій синусоїдальний характер. Симетрія між відливом і відливом порушена.

Навколо слабкої води потік не буде правильно описаний рівнянням припливної дифузії; під час тертя слабких вод не є домінуючим, приплив потім поширюється приблизно як незагашена хвиля (див. Прогресивне хвильове рішення класичного хвильового рівняння Intermezzo 3.5).

Малюнок 5.62: У приливної річці річковий і приливний скид мають однаковий порядок величини.

Голландський колишній Zuiderzee є прикладом приливного басейну такої довжини, що приливна хвиля в кінці басейну була майже затухла. Приливна хвиля, що надходить через Texel Inlet або Marsdiep та впуск Vlie, була значною мірою затухла в Амстердамі та берегах Велюве. Також у приливних річках (де швидкість течії річки та швидкість припливного потоку мають аналогічний порядок) ми виявляємо повільно демпфуючі розповсюджуючі приливні хвилі, наприклад Лек та Ваал у Нідерландах та річку Святого Лаврентія в Канаді. У цих приливних річках відбита приливна хвиля незначна, так що приплив має характер внутрішньої дифузійної хвилі. Див. Рис 5.62.

Інерція переважає потоку

Розглянемо тепер (в основному нереальний) випадок незначного тертя. Еквалайзер. \(\ref{eq5.7.3.6}\)зводиться до класичного хвильового рівняння другого порядку. Ми вже бачили це рівняння при обговоренні припливного поширення в морях і океанічних басейнів (ур. 3.8.1.4). Це рівняння дозволяє поширювати хвилі в двох напрямках (в позитивному і негативному напрямку вздовж осі каналу). Оскільки падаюча приливна хвиля не гасне тертям, вона відбивається на кінці басейну\(x = L_b\). Висота поверхні на вході\(x = 0\) повинна дорівнювати синусоїдальному припливу відкритого моря або океану\(\eta (0, t) = a \cos \omega t\). Це призводить до стоячої приливної хвилі:

\[\begin{array} {rcl} {\eta (x, t)} & = & {\dfrac{1}{2} \dfrac{a}{\cos k L_b} [\underbrace{\cos (\omega t - k(x - L_b))}_{\text{incident wave}} + \underbrace{\cos (\omega t + k(x - L_b))}_{\text{reflected wave}} ] =} \\ {} & = & {a \dfrac{\cos (k(L_b - x))}{\cos k L_b} \cos \omega t} \end{array}\label{eq5.7.3.10}\]

\[\begin{array} {rcl} {u (x, t)} & = & {\dfrac{1}{2} \dfrac{ac}{h \cos k L_b} [\cos (\omega t - k(x - L_b)) - \cos (k(x - L_b) +\omega t)] =} \\ {} & = & {-\dfrac{ac}{h} \dfrac{\sin (k(L_b - x))}{\cos k L_b} \sin \omega t} \end{array}\label{eq5.7.3.11}\]

В ур. \(\ref{eq5.7.3.11}\)\(c\)це швидкість фази\(c = \sqrt{gh}\). Рівень води та швидкість потоку знаходяться на 90° поза фазою, як видно з термінів\(\cos \omega t\) та\(\sin \omega t\) в Eqs. \(\ref{eq5.7.3.10}\)і\(\ref{eq5.7.3.11}\) відповідно. Це важлива характеристика малюнка стоячої хвилі.

Малюнок 5.63: Візерунок стоячої хвилі в приливному басейні.

Амплітуди уздовж басейну накреслені на рис.5.63. Амплітуда приливного піднесення уздовж лиману змінюється залежно від\(\cos (k (L_b - x)) = 0\). Отже, стояча хвиля має максимальну амплітуду (або антиноду) на висоті поверхні на, тобто на сухому кінці\(x = L_b\). Отже, амплітуда припливів на сухопутному кінці більша, ніж амплітуда на морському кінці. Антинода в поверхневій висоті відповідає мінімуму (або вузлу) в амплітуді швидкості; на сухопутному кінці швидкість дорівнює нулю. Це можна побачити з терміна\(\sin (k(L_b - x)) = \pi /2\) в Eq. \(\ref{eq5.7.3.11}\).

Якщо басейн досить довгий, вузол у висоті (нульова амплітуда) і антинод у швидкості (максимальна амплітуда) відбудеться для\(k(L_b - x) = \pi /2\). Чим довше таз, тим більше вузлів і антинодів він може вмістити.

Амплітуди як вертикального, так і горизонтального припливу обернено пропорційні\(\cos kL_b\). Якщо\(kL_b = \pi /2, 3\pi /2\),..., то\(\cos kL_b = 0\) це означає, що амплітуди\(\eta\) і\(u\) стають нескінченно великими. Зверніть увагу,\(kL_b = \pi /2\) що еквівалентно\(L_b = 1/4 L\). Так резонанс виникає для басейнів з довжиною басейну, рівною чверті довжини хвилі припливу\(L\) або нерівномірною кратною чверті довжини хвилі.

Резонанс виникає тому, що для\(kL_b = \pi /2\) падаючої і відбитої хвилі скасовують один одного в гирлі, або іншими словами ми маємо вузол поверхневого піднесення в гирлі. Тому амплітуда вертикального припливу в гирлі дорівнює нулю щодо амплітуди в басейні. При цьому у нас була умова, що приплив в гирлі дорівнював океанському припливу\(\eta (0, t) = a \cos \omega t\). Оскільки це повинно дорівнювати нулю щодо припливу в басейні, амплітуда в басейні повинна йти до нескінченності. Насправді цього не сталося б, оскільки тертя ліжка зменшувало б амплітуди.

Поки що ми розглядали синусоїдальний приливний рух і, отже, єдину частоту припливів. Насправді присутні більш приливні складові. Якщо природний період басейну близький до періоду однієї з приливних складових, ця складова буде посилюватися резонансом більше, ніж інші.

Поєднання тертя і інерції

У більшості приливних басейнів відіграють роль як тертя, так і інерція. Приливна хвиля може бути описана як суперпозиція вхідної та відбитої затухаючої хвилі. Без тертя вийде малюнок стоячої хвилі. При терті вхідна (і відбита) хвиля частково затухає, так що результатом є загальна картина піднесення поверхні, яка має частково поширюється і частково стоїть характер.

Малюнок 5.64: Приливне поширення в призматичному басейні (лінійне рішення). Змінна на горизонтальній осі - це довжина басейну в\(k_{r = 0}\) перерахунку\(s_2 = \omega L_b/\sqrt{gh} = k_{r = 0} L_b\) з числом хвилі для ситуації без тертя. Коефіцієнт посилення на вертикальній осі - це приливна амплітуда на кінці басейну над амплітудою припливу в гирлі. Показані коефіцієнти посилення для різних значень\(s_1 = r/(h\omega )\). Зверніть увагу, що\(s_2 = \pi /2\) і\(s_2 = 3\pi /2\) еквівалентні\(L_b =1/4 L_{r = 0}\) і\(3/4 L_{r = 0}\), відповідно,\(L_{r = 0}\) з довжиною хвилі припливу для ситуації без тертя. Такі умови резонансу, знайдені в попередньому пункті про інерційність домінуючого потоку.

На малюнку 5.64 показано відношення амплітуди гармонійної приливної складової в кінці басейну над амплітудою в гирлі. Зображено рішення 1D припливного поширення в призматичному басейні для різних значень\(s_1 = r/h\omega\). Перевірте з Eq. \(\ref{eq5.7.3.6}\)\(s_1\)тобто відношення між терміном тертя і терміном локального прискорення. Бо\(s_1 = r/h \omega = 0\) ми визнаємо ситуацію без тертя з резонансом для\(L_b = 1/4 L\) і\(3/4 L\). За великими значеннями\(s_1\) гасіння припливу через тертя можна розпізнати. Значення між ними є комбінацією обох ефектів.

Зближення ширини і мілководство

Поки ми розглядали лише призматичні басейни. У таких басейнів розсіювання енергії за рахунок тертя неминуче гасить амплітуду припливів.

У разі воронкоподібного лиману перетин є найбільшим на вході, а потім стає поступово меншим. Це дає збіжність енергії приливів, що збільшує амплітуду приливів по осі каналу. Баланс між протидіючими ефектами втрат енергії внаслідок тертя та зближення енергії внаслідок обмеження ширини визначає, чи збільшуються або зменшуються приливні амплітуди вздовж осі каналу. Відзначимо, що швидке зближення енергії для падаючої хвилі має на увазі швидке розбіжність енергії для відбитої хвилі.

Прогресивне обмілення басейну дає аналогічну концентрацію хвильової енергії, що протидіє гасінню тертям. Причина полягає в тому, що швидкість поширення стає меншою на меншій глибині води. Це ідентично феномену мілководства в вітрових хвиль (див. Розділ. 5.2.2).

У разі поступових змін ширини і глибини (відсутність відображення на боках або на підвіконні) і при відсутності тертя енергія зберігається по осі каналу. Аналог Eq. 5.2.3.2 у нас є:

\[Encb_s = \text{constant} \to \hat{\eta} \sqrt{gh} b_s = \text{constant} \to \dfrac{\hat{\eta}_2}{\hat{\eta}_1} \propto \left (\dfrac{h_1}{h_2} \right )^{1/4} \left (\dfrac{b_{s1}}{b_{s2}} \right )^{1/4} \]

Згідно з цим рівнянням, зменшення ширини має сильніший вплив на амплітуду припливів, ніж зменшення глибини.

Міркування щодо зберігання та короткі басейни

Короткий таз має довжину, коротку щодо довжини приливної хвилі:\(L_b \ll 1/4 L\), скажімо\(L_b < 1/10 L\) або\(L_b < 1/20 L\). Для такого короткого басейну ми можемо знайти рішення для припливної висоти та швидкості на основі одного лише рівняння неперервності. Давайте спочатку розглянемо загальне рівняння неперервності Eq. \(\ref{eq5.7.3.1}\). Його можна записати як:

\[-\dfrac{\partial Q}{\partial x} = b \dfrac{\partial \eta}{\partial t}\]

Інтеграція уздовж осі каналу від місця\(x\) до кінця басейну дає:

\[Q(t, x) = \int_{x}^{L_b} b \dfrac{\partial \eta}{\partial t} dx \label{eq5.7.3.13}\]

Це рівняння показує, що приливний скид в певному перерізі залежить від кількості води, необхідної для заповнення басейну на сушу розглянутого поперечного перерізу. Цей обсяг води (за винятком будь-якої прісної води), який повинен надходити і виходити через вхідний отвір протягом одного приливного циклу, називається приливної призмою. Таким чином, має сенс, що приливна призма емпіричним шляхом була знайдена для визначення рівноваги, або мінімальної стабільної площі поперечного перерізу каналу перерізу (Sect. 9.5.2).

У короткому басейні цю ситуацію можна спростити, оскільки ми можемо очікувати, що рівень води в басейні буде відразу слідувати за рівнем води в морі. Відсутня зміна амплітуди припливів по осі каналу:\(\partial \eta / \partial x = 0\). Для синусоїдального припливу на морській межі весь басейн таким чином коливається точно так само при першій гармоніці. Еквалайзер. \(\ref{eq5.7.3.13}\)потім дає:

\[Q(t, x) = A_s u_s = \dfrac{\partial \eta_0}{\partial t} \int_{x}^{L_b} b dx = \dfrac{\partial \eta_0}{\partial t} A_b \Leftrightarrow\]

\[u_s (x, t) = \dfrac{\partial \eta_0}{\partial t} \dfrac{A_b}{A_s}\]

в якому\(A_b\) знаходиться площа поверхні басейну вище за течією\(x\) і\(A_s\) є площею поперечного перерізу каналу в\(x\). У момент паводку в морі, всюди в басейні рівні води максимальні. Низька вода також зустрічається повсюдно одночасно. Тому швидкості дорівнюють нулю при високій і низькій воді. У момент середнього рівня води припливи і паводкові течії максимальні. Це відповідає швидкості, яка веде піднесення поверхні (по\(\varphi = -\pi /2 = -90^{\circ}\)). Швидкості в поперечному перерізі більші, якщо потрібно заповнити більшу площу поверхні вище за течією. Через рівномірно коливається рівня води таку ситуацію відносять до режиму накачування.

У разі вузької ущелини до малого басейну тертя може зменшити амплітуду всередині короткого басейну і змінити фазові відносини.