5.3: Асиметрія хвиль і скошеність

У попередніх розділах обговорювалося лінійне поширення хвиль від глибокої до мілководдя. Розглянуто поширення та збереження об'ємної величини, енергії, в області мілководдя та зоні розриву без урахування будь-якого обміну енергією (або імпульсом) між різними хвильовими компонентами внаслідок нелінійних взаємодій. Локальні хвильові характеристики були описані лінійною хвильовою теорією.

Однак хвилі, що поширюються до берега, стають все більш асиметричними до точки розриву хвилі. Окрім збільшення висоти хвилі, процес мілководіння, як правило, характеризується:

• поступове пікірованіе гребеня хвилі і сплющення жолоба (ця асиметрія щодо горизонтальної осі називається косою);
• відносне закручування особи до виникнення розриву, в результаті чого утворюється нахилена вперед форма хвилі (цю асиметрію щодо вертикальної осі часто називають просто асиметрією).

Ці нелінійні ефекти не можуть бути описані лінійною теорією, і чим ближче ми підходимо до берега, тим більш очевидними стають відхилення від лінійної теорії. Для врахування складних нелінійних процесів були розроблені численні нелінійні теорії (теорія Стокса, теорія коніїдальних хвиль, рівняння Буссинеска, див. Інтермеццо 5.1 для огляду). Нелінійні ефекти мають вирішальне значення при визначенні величини хвилеіндукованого транспорту (див. Гл. 7). У наступному ми будемо там- надалі розглядати косу і асиметрію.

Перекіс

Малюнок 5.12: Перекошена хвиля (\(H/h = 0.5\)і\(L/h = 30\)) з на горизонтальній осі фазою\(S(x, t) = \omega t - kx\). Хвиля на мілководді обчислюється за допомогою теорії коніїдальних хвиль ^5-го порядку (Intermezzo 5.1). Як варіант, його можна обчислити за допомогою наближення Фур'є, для чого 20 гармонічних складових потрібно сходитися в бік коїдального розчину (див. Рис. Виробляється з використанням програмного забезпечення компанії Fenton (https://johndfenton.com/Steady-waves/Fourier.html).

На малюнку 5.12 показана хвиля з довгим плоским жолобом і вузьким, загостреним гребенем, як це можна спостерігати на мілководді.

Цей асиметричний профіль (щодо горизонтальної осі) може бути описаний лише сумою синусоїдальних хвиль з вищими гармоніками (частотами, кратними базисній\(\cos S, \cos 2S\) частоті: і т.д. з\(S = \omega t - kx\)). Давайте проілюструємо це за допомогою теорії ^2-го порядку Стокса. Вираз другого порядку для висоти поверхні можна записати так:

\[\eta = \hat{\eta}_1 \cos (\omega t - kx) + \hat{\eta}_2 \cos 2 (\omega t - kx)\label{eq5.3.1}\]

Малюнок 5.13: Хвиля Стокса другого порядку (суцільна лінія) складається з першого порядку (пунктирна лінія) та компонента другого порядку (штрихово-пунктирна лінія) відповідно до Eq. \(\ref{eq5.3.1}\)с\(\hat{\eta}_2/\hat{\eta}_1 = 0.2\). Фаза на горизонтальній осі - фаза\(S = \omega t - kx\) первинної гармоніки. Для отримання додаткової інформації про теорію Стокса див. Розділ 5.6.2 в Holthuijsen (2007).

Амплітуда корекції другого порядку невелика в порівнянні з компонентом першого порядку (якщо\(\hat{\eta}_1 = a\) вона досить мала). Хвиля Стокса начерчена на рис.5.13.

Видно, що отриманий профіль хвилі Стокса\(\eta_1 + \eta_2\) має гребені, які є nar- веслярні і більш пікі, ніж у косинусного профілю та корита, які ширші та плоскі; профіль перекошений. Другий термін\(\eta_2\) являє собою Стокса другого порядку

хвиля рухається з тією ж швидкістю, що і хвиля першого порядку\(\eta_1\) (отже, вона не підкоряється лінійному відношенню дисперсії). Оскільки дві складові рухаються з однаковою швидкістю, форма хвилі не змінюється; вона має постійну форму. Аналогічно в енергетичних спектрах мілководних хвиль можна знайти гармоніки спектрального піку, когерентні по фазі зі спектральним піком. Зверніть увагу, що з урахуванням більш високих термінів замовлення в Eq. \(\ref{eq5.3.1}\)змусить профіль наближатися до профілю рис.5.12 більше і більше (див. Також рис.5.18).

Оскільки вищі гармоніки залишаються фазовими і перебувають у фазі з первинною гармонікою, хвилі Стокса мають постійну форму. Це відрізняється від глибоководної ситуації, яку ми описали в гл. 3. Там ми розглядали нерегулярний стан моря в певному місці як суму лінійних, вільно рухаються хвиль з випадковими фазами. Через різні фазові швидкості різних компонентів (задовольняючи лінійне співвідношення дисперсії) ми не могли мати постійну форму.

Малюнок 5.14: Кількість\(\eta^3 /\hat{\eta}_1^3\) порівняно з\(\eta /\hat{\eta}_1\) для синусоїдальної хвилі (зліва) та хвилі Стокса другого порядку (праворуч) як функція фази\(S = \omega t - kx\) першої або первинної гармоніки. Відзначимо, що для синусоїдальної хвилі - середнє за часом\(\langle \eta^3 \rangle = 0\), тоді як для хвилі Стокса другого порядку\(\langle \eta^3 \rangle > 0\).

Статистичним показником для нахилу є нормалізований куб висоти поверхні\(\langle \eta^3 \rangle /\sigma^3\): усереднене за часом значення куба висоти поверхні, нормалізоване з кубом стандартного відхилення\(\sigma^3\). Дужки позначають усереднення часу. На малюнку 5.14 показана величина\(\eta^3\) для синусоїдальної хвилі і для хвилі Стокса ^2-го порядку. Видно, що для лінійної хвилі ⁴ усереднене за часом значення\(\langle \eta^3 \rangle\) дорівнює нулю, тоді як для хвилі Стокса це не так, як гребені важать важче, ніж жолоби. Знак визначає співвідношення гребенів до западин. Якщо це позитивно - як у випадку з хвилею Стокса - то гребені більші за жолоби. Зверніть увагу, що форми хвиль типу Стокса мають позитивні значення перекосу, але нульової асиметрії (навколо вертикальної осі), оскільки вони не нахилені вперед.

Лінійна теорія може бути використана для оцінки дисперсії (щільності енергії) прибережних хвиль. Однак його не можна використовувати для оцінки перекосу, оскільки лінійна суперпозиція випадкових хвиль має за визначенням нульову перекос над ансамблем.

Звичайно, перекошуються не тільки поверхневі висоти, але і орбітальні швидкості; орбітальні швидкості у напрямку руху хвилі («на суші») стають вищими, а орбітальні швидкості проти напрямку хвилі («офшор») стають меншими. Це природно означає, що тривалість наземного спрямованого орбітального руху стає меншою, а тривалість офшорного спрямованого орбітального сигналу стає більшою.

асиметрія

Малюнок 5.15: Асиметрична хвиля (суцільна чорна лінія), обчислюється як суперпозиція першого порядку (пунктирна лінія) та сигнал другого порядку, зсунутого фазою на 90° вперед (штрихово-пунктирна лінія). Фаза на горизонтальній осі - фаза\(S = \omega t - kx\) складової першого порядку (або первинної гармоніки). На лівому малюнку показано просторове відхилення в,\(t = 0\) а на правій фігурі показано часову зміну висоти водної поверхні в A (\(x/L = 0\)).

Вигнута вперед форма хвилі є результатом того, що на мілководді гребінь хвилі рухається швидше, ніж хвиля корита. Це може бути реалізовано зі швидкості поширення нелінійних мілководних хвиль\(c = \sqrt{g(h + \eta)}\). Зверніть увагу, що для малої амплітуди мілководних хвиль це зменшується до\(c = \sqrt{gh}\) (див. Інтермеццо 3.5). Хвильовий гребінь гармонічної хвилі з амплітудою\(a\) має більш високу швидкість поширення,\(c_{\text{crest}} = \sqrt{g(h + a)}\) ніж жолоб, який поширюється с\(c_{\text{through}} = \sqrt{g(h - a)}\). Це призводить до похилого вперед профілю або відносному закрученню грані хвилі, яке може бути представлено включенням другої гармоніки, яка є зміщеною по фазі вперед по відношенню до первинної гармоніки (див. Ліву панель рис.5.15). Хвильовий поїзд Стокса не може проявляти асиметрію хвиль; через малу амплітудну наближення теорії Стокса вища гармоніка залишається фазовою заблокованою до первинної гармоніки. На правій панелі рис.5.15 показаний часовий ряд похилої вперед (пилкоподібної) хвилі в одному місці, а саме розташування А\((x/L = 0)\) в лівій панелі рис.5.15.

На лівій панелі рис. 5.15 зображено швидко піднімається і повільно падає піднесення поверхні. Відзначимо, що для пилкоподібної хвилі рис.5.15 зсув фаз між першою і другою гармонікою такий, що асиметрія максимальна, а перекос дорівнює нулю.

Малюнок 5.16: Асиметрична хвиля ^2-го порядку, що генерується з використанням двох гармонічних складових, друга - 90° вперед зі зміщенням фази.

Пилкоподібна хвиля рис.5.15 також може бути зображена як функція\(S = \omega t - kx\). Це призводить на рис. 5.16. Порівняйте цю цифру з перекошеною хвилею рис.5.13.

Малюнок 5.17: Кількість в\(\eta^3/\hat{\eta}_1^3\) порівнянні з\(\eta /\hat{\eta}_1\) для косою хвилі (зліва) і асиметричною хвилею (праворуч). Відзначимо, що для косою хвилі - середній час\(\langle \eta^3 \rangle > 0\), тоді як для асиметричної хвилі\(\langle \eta^3 \rangle = 0\).

На малюнку 5.17 порівнюється величина\(\eta^3\) для перекошеної хвилі і асиметричної хвилі як функції фази\(S = \omega t - kx\) першої або первинної гармоніки. Видно, що для асиметричної хвилі усереднене за часом значення\(\langle \eta^3 \rangle \) дорівнює нулю, тоді як для перекошеної хвилі це не так, як гребені важать важче, ніж жолоби.

Обмілюючі хвилі спочатку стають поступово більш перекошеними, залишаючись досить симетричними щодо вертикальної осі - як приклад див. Вимірювання канавки на рис. B.2 в додатку. Б. Ближче до зони прибою фазове зміщення гармонік (ів) призводить до збільшення асиметрії хвиль і, врешті-решт, до зменшення перекосу хвиль. Зрештою, пітчинг вперед призводить до розриву хвилі.

Параметр Ursell\(U = HL^2/H^3\) може використовуватися в якості індикатора для перекосу і асиметрії. Doering and Bowen (1995) представили параметри перекосу швидкості та асиметрії на основі параметра Урселла. Вони в основному зосереджувалися на перекосі і асиметрії орбітальних швидкостей, через їх важливість для транспортування осаду.

Інтермеццо 5.1 Нелінійні хвильові теорії

Лінійну хвильову теорію отримують шляхом лінеаризації граничних умов вільної поверхні; граничні умови застосовуються до середньої водної поверхні\(z = 0\) замість миттєвої поверхні води\(\eta\). Нелінійністю можна знехтувати не надто крутими хвилями в глибокій воді (\(ak \ll 1\)для\(kh\) великих) або хвилями малої амплітуди на мілководді (\(a \ll h\)для\(kh\) малого).

Малюнок 5.18: Записи висот поверхні\(L/h = 30\), створені для\(H/h = 0.5\) і, що становить\(T\sqrt{g/h} = 26.29\) або\(h/(gT^2) = 1.45 \times 10^{-3}\) і\(H/gT^2 = 7.23 \times 10^{-4}\) на рис.5.19. Використовується як коїдальна хвильова теорія ^5-го порядку, так і метод числового наближення Фур'є (з 5, 10 і 20 гармонічними складовими). Близько 20 гармонічних складових потрібно для того, щоб наближення Фур'є сходилося до коїдального розв'язку. Виробляється з використанням програмного забезпечення компанії Fenton (https://johndfenton.com/Steady-waves/Fourier.html).

Для нелінійного розв'язку на вільній поверхні слід застосовувати граничні умови вільної поверхні\(\eta\). Ускладнення полягає в тому,\(\eta\) що невідомо. Серед інших були розроблені такі нелінійні теорії:

• Розширення серії Стокса. Стокс використав результат лінійної теорії, щоб знайти перше наближення до запущених нелінійних членів. Це призводить до корекції другого порядку до першого (лінійного) наближення розв'язку. Зверніть увагу, що корекція другого порядку може бути використана для отримання корекції третього порядку тощо. Нелінійні члени складаються з квадратичних членів, тому замість лінійного розв'язку\(a \cos S\) (з фазою\(S = \omega t - kx\)) розв'язок ^2-го порядку має додатковий член, пропорційний тому,\(a^2 \cos^2 S\) що призводить до члена\(a^2 \cos 2S\), пропорційного, гармоніка з половиною періоду лінійного рішення. Серія Стокса, таким чином, має форму,\(\eta = \hat{\eta}_1 \cos S + \hat{\eta}_2 \cos 2S + \hat{\eta}_3 \cos 3S + ...\) в якій перший член є лінійним розв'язком. Для збіжності кожен наступний коефіцієнт повинен бути малим порівняно з коефіцієнтом нижчого порядку, що буде мати місце лише для досить малих амплітуд\(\hat{\eta}_1 = a\). Теорія Стокса не сходиться на мілководді; якщо параметр Урселла\(U = HL^2/h^3\) is too large the series diverges.
• Теорія потокових функцій є альтернативою теорії Стокса. Це також додає більш високі гармоніки до лінійного рішення.

Малюнок 5.19: Відносна глибина на горизонтальній осі і крутизна хвилі на вертикальній осі окреслюють обґрунтованість різних теорій хвиль. Чорна точка вказує на хвилю рис.5.18. (За мотивами Камфуїса, 2000; Le Me`auteâ, 1976).

• Застосовується на мілководді - теорія конідальних хвиль. Розв'язки наведені через еліптичні інтеграли першого роду; розв'язки в глибокій воді ідентичні лінійній хвильовій теорії, а на мілководді - теорії одиночних хвиль. Остання являє собою одну хвилю без жолоба і маса води вище середнього рівня води, що повністю рухається в напрямку поширення хвилі.
• Моделі Boussinesq можна розглядати як розширення рівнянь на мілкій воді (див., наприклад, конспекти лекцій DUT CTB3350/CIE3310-09). Рівняння на мілководді описують нелінійні хвилі, які всі рухаються з однаковою швидкістю\(c = \sqrt{g(h + \eta)}\). Орбітальні швидкості рівномірні по глибині, а тиск гідростатичний. Оскільки немає вертикальної варіації хвильового поля, вертикаль не повинна бути вирішена. Моделі Буссінеска певною мірою враховують негідростатичний розподіл тиску та глибинну залежність орбітальних швидкостей. Перевага перед рівняннями мілководдя полягає в тому, що моделі Boussinesq включають частотну дисперсію. Оскільки рівняння все ще можуть бути інтегровані по вертикалі, рівняння є обчислювально-ефективними.

Огляд обґрунтованості різних хвильових теорій (до розриву хвиль) дається Le Me`hauteâ (1976). Див. також рис.5.19.

---

4. Аналогічно, в нерегулярному хвильовому полі, наближеному лінійним накладенням вільно рухаються хвиль, значення нахилу дорівнює нулю.