Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5.3: Хвильові групи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    1602

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ще одне цікаве явище в глибоководних хвиль полягає в тому, що гребені хвиль рухаються швидше, ніж хвильова енергія. Давайте спочатку розглянемо серію регулярних хвиль, що віддаляються від порушення в інакше нерухому воду. Ви можете думати про групу хвиль, що генерується хвильовою дошкою в хвилевому потоці і тепер віддаляються від хвильової дошки. Видно, що хвильовий фронт і група хвиль в цілому рухаються з певною швидкістю. Ця швидкість називається груповою швидкістю і є швидкістю, з якою рухається енергія хвиль. Однак фазова швидкість була визначена як швидкість гребеня хвилі. Слідуючи за гребенем хвилі, ми можемо побачити, як він бере початок у задній частині групи, потім рухається вперед через групу і, нарешті, зникає на передовій групи. Таким чином, фазова швидкість гребеня хвилі більша за швидкість хвильового фронту або групи (за винятком мілководдя, де групова швидкість дорівнює фазовій швидкості).

    2021-10-14 пнг
    Малюнок 3.11: Хвильова угруповання двох монохроматичних (однократних) хвиль з дещо іншим періодом. Або звичайна хвиля має амплітуду 1,5 м, тоді як періоди хвиль 6,2 с і 7,0 с Глибина води 20 м. На лівій панелі показано групування в просторі на\(t = 0\). На правій панелі показано групування в часі в місці А. Як вправа: обчислити співвідношення між кількістю хвиль у групі за часом і кількістю хвиль у групі в просторі і перевірити це співвідношення з малюнком.

    Тепер ми дивимося на нерегулярні хвилі. Вони з'являються більш-менш у групах, так що тепер у нас є ряд груп на відміну від однієї групи, як описано вище. Груповість викликана інтерференцією між хвилями різної довжини хвилі. Щоб продемонструвати це, розглянемо обмежувальний випадок лише двох трохи різних частот, що рухаються в одному напрямку. У нас глибина води 20 м і дві регулярні хвилі з амплітудою 1,5 м кожна. Періоди хвиль складають 6,2 с і 7,0 с відповідно. Два хвильових поїзда будуть заважати один одному, як показано на рис. 3.11. Довжину і період груп можна обчислити виходячи з відмінностей хвильових чисел і частот відповідно:

    \[k_{group} = \Delta k = k_2 - k_1 \to L_{group} = \dfrac{2\pi}{\Delta k}\]

    \[\omega_{group} = \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \to T_{group} = \dfrac{2\pi}{\Delta \omega}\]

    Чим ширший спектр, тим більш нерегулярні хвилі і тим менш чіткі групи можна виділити. Через вузького спектра угруповання виділяється в набухання (див. 3.5.4) і більш виражено, якщо набряк розсіюється більше. Як і у випадку з порушенням, енергія хвиль переноситься в групі, а не в кожній окремій хвилі.

    Співвідношення між груповою швидкістю і більшою фазовою швидкістю називається\(n\) і читається відповідно до хвильової теорії Ейрі:

    \[n = \dfrac{c_g}{c} = 0.5 \left (1 + \dfrac{2kh}{\sinh 2kh} \right ) \]

    На малюнку 5.3 показана\(n\) залежність від глибини води і (глибокої води) довжини хвилі. Для коротких хвиль в глибокій воді\(n\) знижується до 0,5. Тому групова швидкість становить половину швидкості поширення окремого гребеня хвилі. При розрахунку того, скільки часу знадобиться групі хвиль набухання, щоб подолати певну відстань, потрібно враховувати групову швидкість. Для довгих хвиль (або мілководді)\(n\) дорівнює 1 такий, що швидкість фази дорівнює групової швидкості. Частотна залежність групової швидкості порівнянна з частотою фазової швидкості. Отже, фронти довших періодів хвиль подорожують швидше.

    У розділі 3.4.4 ми вже бачили, що енергія на квадратний метр водної поверхні дорівнює\(E= \tfrac{1}{8} \rho g H_{rms}^2\). Ця енергія поширюється зі швидкістю групи хвиль\(c_g\), викликаючи тим самим потік енергії\(U\), з

    \[U = E c_g = Enc\]

    Виходячи з енергозбереження, морські хвильові умови можуть бути переведені на прибережну. Таким чином, енергетичний баланс є важливою концепцією в прибережній інженерії. Він детально описується в гл. 5.