3.5.2: Дисперсія хвиль

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1595

Judith Bosboom & Marcel J.F. Stive
Delft University of Technology via TU Delft Open

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

В принципі хвильовий рух можна описати рівнянням неперервності та рівняннями руху Нав'є-Стокса. Труднощі виникають, однак, коли робляться спроби вирішити ці рівняння. Однією з ускладнень є те, що гранична умова поверхні - це висота поверхні, яку ми намагаємося вирішити. Якщо ми лінеаризуємо цю граничну умову поверхні і припустимо горизонтальне дно, простим розв'язком рівнянь є єдина складова Фур'є, яку ми описали в Секті. 3.2. Потім ми отримуємо теорію хвиль Ейрі (App. А). Нехтування нелінійністю можна розглядати як хороше наближення для не надто крутих хвиль у глибокій воді (\(ak \ll 1\)для\(kh\) великих) або хвиль малої амплітуди на мілкій воді (\(a \ll h\)для\(kh\) малого). Відповідно до хвильової теорії Ейрі для лінійної синусоїди зв'язок між частотою\(\omega\) та хвильовим\(k\) числом задається:

\[\omega = \sqrt{gk \tanh kh}\]

і називається дисперсійним відношенням. Це функція місцевої глибини води та відновлювальної сили\(g\). Потім фазова швидкість\(c = \omega /k\) задається:

\[c = \dfrac{gT}{2\pi} \tanh kh = c_0 \tanh kh\]

Фазова швидкість (швидкість) - це швидкість, з якою будь-яка фаза хвилі (наприклад гребінь хвилі) поширюється в просторі. Його також називають швидкістю поширення (або швидкістю) або швидкістю хвилі. Характер гіперболічного тангенса показаний на рис.3.10.

2021-10-14 пнг — Малюнок 3.10: Природа гіперболічного тангенса.

Враховуючи той факт, що tanh\(kh\) дорівнює 1 for\(kh \gg 1\),\(c_0\) являє собою фазову швидкість глибокої води\(c_0 \approx 1.56T\) як функцію\(T\). Глибоководне (або короткохвильове) наближення може бути використано без занадто великої кількості помилок (близько 1%) для\(kh > \pi\) або\(h/L > 0.5\). Вітрові хвилі в океанічних водах можна розглядати як короткі хвилі, такі, що їх фазова швидкість лінійно залежить від хвильового періоду. Виражається через хвильнечисло в глибокій воді фазову швидкість\(c_0 = \sqrt{gL_0 /2\pi}\) і тому пропорційна квадратному кореню глибокої довжини хвилі води. Отже, довші хвилі поширюються швидше, ніж коротші хвилі. Можна очікувати, що незалежні гармонічні складові поля вітрової хвилі будуть рухатися з різною швидкістю. Поділ різних гармонічних компонентів через їх різну швидкість поширення називається частотною дисперсією. Океанічні вітрові хвилі відрізняються високою дисперсією.

Оскільки\(\tanh kh\) дорівнює\(kh\) for\(kh \to 0\), співвідношення дисперсії зводиться до\(c = \sqrt{gh}\) for\(kh \to 0\). Отже, якщо хвиля досить довга (\(kh < 0.31\)або\(h/L < 1/20\)), швидкість хвилі залежить лише від місцевої глибини води. Чим менше глибина води, тим менша швидкість поширення. Оскільки хвильова швидкість не залежить від хвильового періоду, хвиля називається недисперсійною. Це стосується припливу та загалом для хвиль цунамі. Довжини хвиль цунамі легко\(100\ km\) або більше ², що більш ніж в 20 разів більше, ніж середня глибина води в глибокому океані, який приблизно\(4000\ m\) глибокий. Потім цунамі поширюється зі швидкістю\(c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 200\ m/s\) або\(700\ km/h\). Поки вони не розсіюють свою енергію проти берега, цунамі можуть подорожувати з цими високими швидкостями протягом тривалого періоду часу і втрачати дуже мало енергії в процесі.

Якщо хвилі відповідають струму (у напрямку поширення хвилі або проти нього), це вплине на довжину хвилі, швидкість поширення та висоту хвилі. Швидкість поширення та довжина хвилі щодо фіксованого опорного кадру збільшаться у випадку струму в напрямку поширення. Висота хвилі зменшиться. У випадку протилежного струму це навпаки.

2. У секті. 3.2, періоди цунамі, як кажуть, коливаються від 5 хв до 60 хв. Як вправа: використовуйте таблицю A.3 для обчислення відповідних довжин хвиль на глибині 4000 м, а також обчислити діапазон хвильового періоду, для якого ця глибина класифікується як проміжна вода.