9.4: Як дивергенція пов'язана зі зміною площі повітряної посилки?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 38365

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми бачимо, що розбіжність є позитивною, коли площа ділянки зростає, і негативна, коли вона скорочується. Ми називаємо зростання «дивергенцією», а скорочується «конвергенцією». Ми хочемо знати, чи збираються повітряні посилки (сходяться) або поширюються (розходяться), або якщо площа посилок збільшується з часом (розбіжність) або зменшується з часом (конвергенція).

Давайте подивимося, як розбіжність в горизонтальних двох вимірах пов'язана зі зміною площі. Ми можемо зробити подібний аналіз, який пов'язує розбіжність у трьох вимірах зі зміною обсягу, але ми залишимося з двовимірним випадком, оскільки його легше візуалізувати, а також має важливі програми. Розглянемо коробку з розмірами Δx і Δy. Різні частини коробки рухаються з різною швидкістю (див. Малюнок нижче).

2019-09-26 8.20.51.png — Коробка, яка рухається з більшою швидкістю для частин, які знаходяться на більшій x і більшій y.

Кредит: Брюн W.

Площа коробки, A, задається:

\(A=\Delta x \Delta y\)

\[\begin{aligned} \frac{d A}{d t}=& \frac{d(\Delta x \Delta y)}{d t}=\Delta x \frac{d(\Delta y)}{d t}+\Delta y \frac{d(\Delta x)}{d t}=\\ & \Delta x[v(y+\Delta y)-v(y)]+\Delta y[u(x+\Delta x)-u(x)] \end{aligned}\]

розділити на\(A=\Delta x \Delta y\)

\[\frac{1}{A} \frac{d A}{d t}=\frac{v(y+\Delta y)-v(y)}{\Delta y}+\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\]

Нехай\(\Delta y \rightarrow 0, \Delta x \rightarrow 0\)

\[\frac{1}{A} \frac{d A}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial v}=\vec{\nabla}_{H} \bullet \vec{U}_{H}\]

Так ми бачимо, що дробове зміна площі дорівнює горизонтальної розбіжності. Зауважте, що розмірність розбіжності дорівнює часу ^—1, а одиницею СІ є s ^—1.

Ми можемо зробити цей самий аналіз для руху в трьох вимірах, щоб отримати рівняння:

\[\frac{1}{V} \frac{d V}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=\vec{\nabla}_{H} \cdot \vec{U}_{H}+\frac{\partial w}{\partial z}=\vec{\nabla} \cdot \vec{U}\]

де V - об'єм посилки. Таким чином, 3-D дивергенція - це всього лише дробова швидкість зміни об'єму повітряної посилки.

Вправа

Припустимо, що повітряна посилка має площу 10 000 км ² і вона зростає на 1 км ² кожну секунду. У чому полягає його розбіжність?

Клацніть для відповіді.

\(\frac{\Delta A}{\Delta t}=1 \mathrm{km}^{2} \mathrm{s}^{-}\), так

\(\left(\frac{1}{A}\right)\left(\frac{\Delta A}{\Delta t}\right)=\left(\frac{1}{10^{4}} \mathrm{km}^{2}\right)\left(1 \mathrm{km}^{2} \mathrm{s}^{-1}\right)=10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\)

Припустимо, що повітряна посилка має площу 10 000 км ² і має розбіжність —10 ^—4 с ^—1. Повітряна посилка зростає або скорочується?

Клацніть для відповіді.

розбіжність\(=\delta=\left(\frac{1}{A}\right)\left(\frac{\Delta A}{A t}\right),\) або

\(\frac{\Delta A}{A}=\delta \Delta t=\left(-10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\right)(1 \mathrm{s})=-10^{-4}\). Повітряна посилка скорочується.

Перегляньте це відео (1:33) для подальшого пояснення:

Площа розбіжності

Клацніть тут для стенограми відео про зону розбіжності.: Ми можемо використовувати дуже просту демонстрацію, щоб показати, як різниця в швидкості від одного кінця повітряної посилки до іншого може спричинити зміни площі. Давайте нехай це буде наша повітряна посилка тут, окреслена в темно-синьому кольорі. З цією повітряною посилкою може статися кілька речей. Один, він може перекладати. Таким чином, він може просто рухатися з певною швидкістю зліва направо. Друге, що він може зробити, це він може мати нульову швидкість тут і мати більш високу швидкість тут, на цьому кінці. І вона потім може вирости. І так ви бачите, що площа збільшується з часом. Таким чином, ми можемо об'єднати ці два рухи і подивитися, що станеться. І тому ми маємо деяку швидкість на посилку, але у нас є більша швидкість на правій стороні. І ми бачимо, що коли він рухається, він росте. Можливо також, що під час руху він зменшується, оскільки швидкість на цій стороні менша за швидкість на цій стороні. Потім, коли він рухається уздовж, ви побачите, що насправді площа скорочується. Ми можемо зробити той же вид аналізу в напрямку y. І з цього ми можемо показати, що насправді різниця в швидкості звідси сюди може призвести до зростання або скорочення площі посилки.

Вікторина 9-1: Як вітер дме.

Знайдіть практичну вікторину 9-1 in Canvas. Ви можете завершити цю практичну вікторину стільки разів, скільки хочете. Він не градуйований, але дозволяє перевірити свій рівень підготовленості, перш ніж приймати градуйовану вікторину.
Коли ви відчуєте, що готові, візьміть вікторину 9-1. Вам буде дозволено пройти цю вікторину лише один раз. Удачі!