9.2: Спостерігайте за переміщенням та зміною цих повітряних посилок.

Last updated
Save as PDF

Page ID: 38356

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Зображення водяної пари з супутника GOES 13, вище, вказує на різні повітряні маси над Сполученими Штатами. Як ми знаємо з Уроку 7, зображення водяної пари насправді показує верхню частину стовпа водяної пари, яка сильно поглинає в довжині хвиль каналу водяної пари, але не є поганим припущенням думати, що під шаром водяної пари є твердий стовп вологого повітря, який випромінює і спостерігається супутник. В одному знімку неможливо побачити, що відбувається з повітряними посилками з часом. Але якщо ми подивимося на петлю, то ми можемо побачити повітряні ділянки, що рухаються і змінюють форму, коли вони рухаються.

2019-09-25 5.32.00.png — Водяна пара в атмосфері над Північною Америкою демонструє поведінку різних повітряних посилок під час їх взаємодії. Кредит: NOAA

Дивитись петлю

Відвідайте цей веб-сайт, щоб побачити цикл. Виберіть будь-яку повітряну посилку з більшою кількістю водяної пари в першому кадрі, а потім спостерігайте, як вона розвивається з часом. Що він робить? Можливо, він рухається; він крутиться; він розтягується; він стрижеться; він росте. Можливо, це робить лише деякі з цих речей; можливо, це робить їх усі.

Ми можемо розбити складну поведінку кожної повітряної посилки на кілька основних типів потоків, а потім математично описати їх. Ми просто опишемо ці основні рухи тут і покажемо, як вони призводять до погоди.

2019-09-25 5.33.55.png — Кредит повітряної посилки: W. Brune

Припустимо, що у нас є повітряна посилка, як на малюнку вище. Ми зосереджуємося на русі в двох горизонтальних напрямках, щоб допомогти в візуалізації (і тому, що більшість руху в атмосфері є горизонтальним), але концепції стосуються і вертикального напрямку. Якщо повітряна посилка рухається і не змінює свою орієнтацію, форму або розмір, то вона тільки проходить переклад (див. Малюнок нижче).

2019-09-25 5.35.00.png — Повітряна посилка проходить переклад в х -напрямку (вгорі) і в 45 ^o (знизу). Чорні стрілки - це поле вітру; зелені стрілки - рух повітряної посилки. Орієнтація, форма та розмір повітряної посилки не змінюються у перекладі. Кредит: Брюн W.

Повітряна посилка може зробити більше, ніж просто перевести. Він може зазнати змін щодо перекладу, і його загальний рух тоді буде поєднанням перекладу та відносного руху. Припустимо, що різні частини повітряної посилки мають дещо різні швидкості. Ця ситуація зображена на малюнку нижче.

2019-09-25 5.35.54.PNG — Повітряна посилка з відносним рухом для двох різних точок повітряної посилки, розділених dx *у напрямку x* та dy у напрямку y та з різними швидкостями в кожній точці. Кредит: W. Brune, після Р. Najjar

Повітряна посилка з відносним рухом для двох різних точок повітряної посилки, розділених dx *у напрямку x* та dy у напрямку y та з різними швидкостями в кожній точці. Кредит: W. Brune, після Р. Najjar

Якщо розглядати дуже малі відмінності dx і dy, то ми можемо записати u і v в точці (x _o + dx, y _o+ dy) як розширення серії Тейлора у двох вимірах:

\[u\left(x_{o}+d x, y_{o}+d y\right) \approx u\left(x_{o}, y_{o}\right)+\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\]

\[v\left(x_{o}+d x, y_{o}+d y\right) \approx v\left(x_{o}, y_{o}\right)+\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y\]

Ми бачимо, що u (x _o, y _o) і v (x _o, y _o) є перекладом, а відносний рух виражається як градієнти u в х і y напрямки та градієнти v у напрямках x та y.

Існує чотири градієнти, представлені чотирма частковими похідними. Кожен може бути як позитивним, так і негативним для кожної часткової похідної.

\(\frac{\partial u}{\partial x}\)це наступна зміна швидкості в\(x\) напрямку:

2019-09-25 5.38.39.png — \(\frac{\partial v}{\partial y}\)це наступна зміна швидкості в\(y\) напрямку:

2019-09-25 5.39.13.PNG — \(\frac{\partial u}{\partial v}\)це наступна зміна швидкості в\(y\) напрямку:

2019-09-25 5.40.39.png — \ frac {\ partial v} {\ partial x}\ text {є наступною зміною швидкості в} x\ text {напрямку:}

2019-09-25 5.41.17.png

Зверніть увагу, що часткова похідна є позитивною, якщо позитивне значення стає більш позитивним або від'ємне значення стає менш негативним. Аналогічно, негативна часткова похідна виникає, коли позитивне значення стає менш позитивним або негативне значення стає більш негативним. Будьте впевнені, що ви з цим розібралися, перш ніж йти далі.

Перегляньте це відео (2:38) для подальшого пояснення:

Часткова відстань швидкості

Клацніть тут для стенограми відео про відстань часткової швидкості.: Я хочу переконатися, що ви розумієте часткові похідні швидкості u і v щодо x і y, тому що ми скоро будемо використовувати ці терміни багато. Почнемо з часткової похідної u по відношенню до x. розглянемо постійно зростаючу x, щоб зміна x була позитивною. Коли x збільшується, u стає спочатку менш негативним, отже, позитивна зміна; потім стає позитивною, ще однією позитивною зміною; а потім стає більш позитивною, ще однією позитивною зміною. Оскільки зміна u та зміна x завжди позитивні, часткова похідна додатна, більша за 0. Подивіться на випадок, коли часткова похідна менше 0, або негативна. Коли x збільшується, u стає менш позитивним, отже, негативна зміна. Потім стає негативним, черговим негативним зміною, потім стає більш негативним, ще одним негативним зміною. Оскільки зміна u завжди негативна при позитивній зміні x, часткова похідна завжди негативна. Та ж логіка застосовується і до часткової похідної v щодо y. Up є позитивним для y, тому вам слід поглянути на те, як v змінюється, коли y стає більш позитивним. Подивіться на випадок зміни u щодо y Не має значення, що u знаходиться в напрямку x, перпендикулярному y, тому що нас цікавить, як змінюється u як функція y. Давайте подивимося, що відбувається, коли y стає більш позитивним. Зліва u стає менш негативним, позитивна зміна у, потім позитивне, і більш позитивне. Таким чином, часткова похідна є позитивною зміною u над позитивною зміною у y і тому є позитивною, або більшою за 0. Зміна u щодо y завжди позитивна в цьому випадку. Використовуючи ту ж логіку праворуч, ми бачимо, що зміна u щодо y завжди негативна. І оскільки зміна у позитивна, часткова похідна від'ємна, або менше 0. Та ж логіка застосовується і до часткової похідної v відносно x. Праворуч є додатним для x. Таким чином, ви можете визначити, як v змінюється, коли x стає більш позитивним, щоб побачити, чи часткова похідна є позитивною чи негативною.