6.1: Описи та резюме

Last updated
Save as PDF

Page ID: 37308

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Метою цього розділу є огляд найбільш часто використовуваних заходів розподілу, центральної тенденції та дисперсії.

Жодне обговорення геопросторового аналізу не було б повним без короткого огляду основних статистичних понять. Основна статистика, викладена тут, є відправною точкою для будь-якої спроби опису, узагальнення та аналізу наборів геопросторових даних. Прикладом загальної геопросторової статистичної діяльності є аналіз точкових даних, отриманих за допомогою ряду датчиків опадів, нанесених у певному регіоні. Враховуючи ці дощоміри, можна було визначити типову кількість та мінливість опадів на кожній станції, а також типові опади по всьому регіону в цілому. Крім того, ви можете інтерполювати кількість опадів, що випадають між кожною станцією або місцем, де відбувається найбільше (або найменше) опадів. Крім того, ви можете передбачити очікувану кількість опадів у майбутньому на кожній станції, між кожною станцією або в регіоні в цілому.

Збільшення обчислювальної потужності за останні кілька десятиліть породило великі набори даних, які неможливо легко узагальнити. Описова статистика надає прості числові описи цих великих наборів даних. Описова статистика, як правило, є одноваріантними аналізами, тобто вони вивчають одну змінну за раз. Існує три сімейства описової статистики, які ми обговоримо тут: заходи розподілу, заходи центральної тенденції та заходи розсіювання. Однак, перш ніж заглиблюватися занадто глибоко в різні статистичні методи, ми повинні спочатку визначити кілька термінів.

Змінна: символ, який використовується для представлення будь-якого заданого значення або набору значень
Значення: індивідуальне спостереження змінної (в геоінформаційній системі [ГІС] це також називається записом)
Населення: Всесвіт всіх можливих значень для змінної
Зразок: підмножина населення
n: кількість спостережень для змінної
Масив: послідовність спостережуваних заходів (в ГІС це також називається полем і представлено в таблиці атрибутів у вигляді стовпця)
Сортований масив: упорядкований кількісний масив

Заходи розподілу

Міра розподілу змінної - це лише підсумок частоти значень у діапазоні набору даних (отже, це часто називають розподілом частот). Зазвичай значення для даної змінної будуть групуватися в заздалегідь визначений ряд класів (також званих інтервалами, бінами або категоріями), а кількість значень даних, які потрапляють в кожен клас, буде підсумовано. Графік, що показує кількість значень даних у кожному діапазоні класів, називається гістограмою. Наприклад, відсоток оцінок, отриманих класом на іспиті, може привести до наступного масиву (n = 30):

Масив балів іспиту: {87, 76, 89, 90, 64, 67, 59, 79, 88, 74, 72, 99, 81, 77, 75, 86, 94, 66, 75, 74, 83, 100, 92, 75, 73, 70, 60, 80, 85, 57}

При розміщенні цього масиву в частотний розподіл слід дотримуватися наступних загальних рекомендацій. По-перше, слід застосовувати від п'яти до п'ятнадцяти різних класів, хоча точна кількість класів залежить від кількості спостережень. По-друге, кожне спостереження переходить в один і тільки один клас. По-третє, коли це можливо, використовуйте класи, які охоплюють рівний діапазон значень (Freund and Perles 2006) .Freund, J., and B. Perles. 2006. Сучасна елементарна статистика. Енглвудські скелі, Нью-Джерсі: Прентіс Холл. Маючи на увазі ці вказівки, масив балів іспиту, показаний раніше, можна візуалізувати за допомогою наступної гістограми (Малюнок 6.1 «Гістограма, що показує розподіл частоти балів іспиту»).

Малюнок 6.1 Гістограма, що показує розподіл частоти іспитів

Як видно з гістограми, певні описові спостереження можуть бути легко зроблені. Більшість студентів отримали Сі на іспиті (70—79). Двоє студентів провалили іспит (50—59). П'ятеро студентів отримали A (90—99). Зауважте, що ця гістограма порушує третє основне правило, що кожен клас охоплює рівний діапазон, оскільки клас F коливається від 0 до 59, тоді як інші класи мають діапазони однакового розміру. Незважаючи на це, в даному випадку нас найбільше хвилює опис розподілу оцінок, отриманих під час іспиту. Тому має сенс створювати діапазони класів, які найкраще відповідають нашим індивідуальним потребам.

Заходи центральної тенденції

Ми можемо додатково вивчити масив балів іспиту, застосовуючи заходи центральної тенденції. Існує три первинні міри центральної тенденції: середнє, модове і медіана. Середнє значення, яке частіше називають середнім, є найбільш часто використовуваною мірою центральної тенденції. Щоб обчислити середнє, просто додайте всі значення в масиві і розділіть цю суму на кількість спостережень. Щоб повернутися до прикладу іспиту з раннього, сума цього масиву дорівнює 2,340, і є 30 спостережень (n = 30). Отже, середнє значення становить 2340/30 = 78.

Режим є мірою центральної тенденції, яка представляє найбільш часто зустрічається значення в масиві. У випадку з балами іспиту режим масиву дорівнює 75, так як це було отримано найбільшою кількістю студентів (всього три). Нарешті, медіана - це спостереження, що, коли масив впорядкований від найнижчого до найвищого, потрапляє точно в центр відсортованого масиву. Більш конкретно, медіана - це значення в середині відсортованого масиву, коли є непарна кількість спостережень. Як варіант, коли є парна кількість спостережень, медіана обчислюється шляхом знаходження середнього значення двох центральних значень. Якщо масив балів іспиту були переупорядковані в відсортований масив, бали будуть перераховані таким чином:

Сортований масив результатів іспиту: {57, 59, 60, 64, 66, 67, 70, 72, 73, 74, 74, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 93, 94, 99}

Оскільки n = 30 в даному прикладі, існує парна кількість спостережень. Тому середнє значення двох центральних значень (15 ^го = 76 і ^16-го = 77) використовується для обчислення медіани, як описано раніше, в результаті чого (76 + 77)/2 = 76,5. Взяті разом середнє, режим та медіана представляють найбільш основні способи вивчення тенденцій у наборі даних.

Заходи дисперсії

Третій тип описової статистики - міри дисперсії (також їх називають мірами мінливості). Ці заходи описують поширення даних навколо середнього. Найпростіша міра дисперсії - діапазон. Діапазон дорівнює найбільшому значенню мінус в наборі даних найменший. У нашому випадку діапазон дорівнює 99 − 57 = 42.

Міжквартильний діапазон являє собою трохи більш складну міру дисперсії. Цей метод ділить дані на квартилі. Для цього використовується медіана для поділу відсортованого масиву на дві половини. Ці половинки знову ділять навпіл власною медіаною. Перший квартиль (Q1) є медіаною нижньої половини відсортованого масиву, а також називається нижнім квартилем. Q2 являє собою медіану. Q3 - це медіана верхньої половини відсортованого масиву і називається верхнім квартилем. Різниця між верхнім і нижнім квартилем - межквартильний діапазон. У прикладі іспиту оцінка Q1 = 72,25 і Q3 = 86,75. Отже, інтерквартильний діапазон для цього набору даних становить 86,75 − 72,25 = 14,50.

Третя міра дисперсії - дисперсія (s ²). Щоб розрахувати дисперсію, відніміть необроблене значення кожного балу іспиту із середнього балів іспиту. Як можна здогадатися, частина відмінностей буде позитивною, а частина - негативною, в результаті чого сума різниць дорівнює нулю. Оскільки нас більше цікавить величина відмінностей (або відхилень) від середнього, одним з методів подолання цієї властивості «обнулення» є квадрат кожного відхилення, тим самим видаляючи негативні значення з виходу (рис. 6.2). Це призводить до наступного:

Малюнок 6.2

Потім ми ділимо суму квадратів на n − 1 (у випадку роботи з вибіркою) або n (у випадку роботи з сукупністю). Оскільки результати іспиту, наведені тут, представляють всю сукупність класу, ми будемо використовувати малюнок 6.3 «дисперсія», що призводить до дисперсії s ² = 116.4. Якби ми хотіли використовувати ці бали іспитів для екстраполяції інформації про більший студентський організм, ми б працювали з вибіркою населення. У такому випадку ми ділимо суму квадратів на n − 1.

Малюнок 6.3 Дисперсія

Стандартне відхилення, остаточна міра дисперсії, обговорювана тут, є найбільш часто використовуваною мірою дисперсії. Для компенсації квадратизації кожної різниці від середнього, виконаного при розрахунку дисперсії, стандартне відхилення приймає квадратний корінь дисперсії. Як визначено на малюнку 6.4 «Стандартне відхилення», наш приклад оцінки іспиту призводить до стандартного відхилення s = SQRT (116,4) = 10,8.

Малюнок 6.4 Стандартне відхилення

Обчислення стандартного відхилення дозволяє зробити деякі помітні висновки про дисперсію нашого набору даних. Невелике стандартне відхилення передбачає, що значення в наборі даних кластеризовані навколо середнього, тоді як велике стандартне відхилення передбачає, що значення широко розкидані навколо середнього. Додаткові висновки можуть бути зроблені щодо стандартного відхилення, якщо набір даних відповідає нормальному розподілу. Нормальний розподіл має на увазі, що дані при розміщенні в частотний розподіл (гістограму) виглядають симетричними або «дзвоноподібними». Коли це не «нормальний», розподіл частоти набору даних, як кажуть, позитивно або негативно «перекошується» (рис. 6.5 «Гістограми нормально вигнутих, позитивно перекошених та негативно перекошених наборів даних»). Перекошені дані - це ті, які підтримують значення, які не симетричні навколо середнього. Незважаючи на це, нормально розподілені дані зберігають властивість мати приблизно 68 відсотків значень даних потрапляють в межах ± 1 стандартного відхилення від середнього, а 95 відсотків значення даних потрапляють в межах ± 2 стандартних відхилень від середнього. У нашому прикладі середнє значення дорівнює 78, а стандартне відхилення - 10,8. Тому можна констатувати, що 68 відсотків балів падають між 67,2 і 88,8 (тобто 78 ± 10,8), тоді як 95 відсотків балів падають між 56,4 і 99,6 (тобто 78 ± [10,8* 2]). Для наборів даних, які не відповідають нормальній кривій, можна припустити, що 75 відсотків значень даних потрапляють в межах ± 2 стандартних відхилень від середнього.

Рисунок 6.5 Гістограми нормально вигнутих, позитивно перекошених та негативно перекошених наборів даних

Ключові виноси

Міра розподілу для заданої змінної є зведенням частоти значень у діапазоні набору даних і зазвичай відображається за допомогою гістограми.
Заходи центральної тенденції намагаються дати уявлення про «типове» значення для набору даних.
Міри дисперсії (або мінливості) описують поширення даних навколо середнього або медіани.

Вправи

Створіть таблицю, що містить щонайменше тридцять значень даних.
Для створеної таблиці обчислити середнє значення, режим, медіану, діапазон, інтерквартильний діапазон, дисперсію та стандартне відхилення.