5.4: Розмір, щоб дати адекватну потужність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 72265

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Альтернативний підхід до встановлення пробного розміру заснований на виборі пробного розміру для досягнення заданої потужності. Для того щоб це зробити, необхідно вказати наступне:

Який розмір різниці, D, між двома групами мав би значення для клінічного чи громадського здоров'я? Судовий розмір буде обраний таким чином, щоб він мав хороші шанси виявити цей розмір справжньої різниці, тобто був би хороший шанс отримати статистично значущий результат, таким чином зробивши висновок, що існує реальна різниця між двома пробними руками. D - справжня різниця між двома групами, а не розрахункова різниця, виміряна в дослідженні. Дуже невеликі відмінності, як правило, не мають значення для громадського здоров'я, і це не викликало б занепокоєння, якби вони не були виявлені в дослідженні. Загальний принцип, у більшості випадків, полягає в тому, щоб вибрати D як мінімальну різницю, яка мала б значення для охорони здоров'я і тому має важливе значення для виявлення в дослідженні. Зауважте, що «виявлення» D означає, що отримана значна різниця, що вказує на наявність певної різниці між двома групами. Це не означає, що різниця оцінена точно. Щоб забезпечити отримання точної оцінки, слід використовувати підхід Розділу 3.
Вказавши D, слідчі повинні вирішити, наскільки впевнені вони хочуть бути в отриманні значного результату, якщо це була справжня різниця між групами. Іншими словами, для цього значення D встановлюється потужність. Зауважте, що якщо справжня різниця між групами насправді більше D, потужність випробування буде більшою за встановлене значення. Необхідна потужність вказується в розрахунках шляхом вибору відповідного значення z2, z2, як показано в таблиці 5.1. Зазвичай вибрані значення потужності становлять 80%, 90% та 95%, відповідні значення z2z2 становлять 0,84, 1,28 та 1,64. Як правило, вважається незадовільним продовжувати судовий розгляд із силою менше 70% для первинного результату, оскільки це означає, що шанс «пропустити» справжню різницю D буде більше 30%.
Рівень значущості також повинен бути вказаний для порівняння двох досліджуваних груп. Це вноситься в розрахунки в плані параметраZ1Z1найбільш поширеним вибором для необхідного p-значення є 0,05, що відповідає az1z1з 1,96. Альтернативними значеннями можуть бути 0,01 або 0,001, що відповідає значенням z1z1 2,58 або 3,29 відповідно. У цій главі передбачається використання двосторонніх тестів на значущість (див. Розділ 2.3 глави 21). Рівень значущості 0,05 приймається в числових прикладах, якщо не вказано інше.
Крім того, повинна бути вказана певна додаткова інформація, яка змінюється залежно від типу досліджуваного заходу. Це може бути приблизна оцінка очікуваних ставок або пропорцій, або оцінка стандартного відхилення для кількісної змінної. Зверніть увагу, що, якби ці величини були точно відомі, ніяких випробувань не було б потрібно! Потрібні лише приблизні оцінки.

Зазначивши ці значення, формули або таблиці, наведені в розділах 4.1 - 4.3, можуть бути використані для обчислення необхідного розміру пробного періоду.

Однак часто корисно діяти у зворотному напрямку, тобто досліджувати потужність, яка була б досягнута для діапазону можливих пробних розмірів та для діапазону можливих значень істинної різниці D. Це дозволяє побудувати криві потужності, як показано на малюнку 5.1. Формули для цього підходу також наведені в розділах 4.1 - 4.3.

Таблиця 5.1 Співвідношення між\(z_2\) і% потужності (числа в тілі таблиці показують потужність, відповідну кожному значенню\(z_2\)

Перший десятковий знак\(z_2\)
\(z_2\)	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
−3.0	0.1	0.1	0.1	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
−2.0	2.3	1.8	1.4	1.1	0.8	0.6	0.5	0.3	0.3	0.2
−1.0	15,9	13,6	11.5	9.7	8.1	6.7	5.5	4.5	3.6	2.9
−0,0	50.0	46.0	42.1	38.2	34.5	30.9	27.4	24.2	21.2	18.4
+0.0	50.0	54.0	57.9	61.8	65.5	69.1	72.6	75.8	78.8	81.6
+1.0	84.1	86.4	88.5	90.3	91.9	93.3	94.5	95.5	96.4	97.1
+2.0	97.7	98.2	98.6	98.9	99.2	99.4	99.5	99.7	99.7	99.8
+3.0	99.9	99.9	99.9	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0

Примітка: наприклад,\(z_2=−0.7\) відповідає потужності 24,2%.

4.1 Порівняння пропорцій

Пробний розмір, необхідний у кожній групі для виявлення зазначеної різниці\(D=p_1−p_2\), з потужністю, заданою z2z2і рівнем значущості\(z_1\), заданої, задається:

\[n=[(z_1+z_2)^22p(1−p)]/(p_1−p_2)^2\]

де p - середнє значення\(p_1\)\(p_2\) і.Для 90% потужності і значущості при\(p<0.05,\) цьому спрощує:

\[n=[21p(1−p)]/(p_1−p_2)^2.\]

У таблиці 5.2 показаний необхідний пробний розмір для діапазону значень p1p1і p2p2 для 80%, 90% або 95% потужності.

Щоб розрахувати потужність випробування заданого розміру, розрахуйте наступним чином, і відносіть значення\(z_2\) до таблиці 5.1.

\[z2=(√ \{n/[2p(1−p)]\})(|p_1−p_2|)−z1.\]

Приклад: припустимо, що частота селезінки в контрольній групі дослідження москітної сітки становить близько 40%. Мати дуже високу потужність (скажімо, 95%) виявлення значного ефекту, якщо втручання зменшує частоту селезінки до 30% (так що\(p=0.35\) кількість дітей, необхідних у кожній групі, дається:

\[n=[(1.96+1.64)^2(2×0.35×0.65)]/(0.3−0.4)^2=590.\]

Якщо справжнє співвідношення ризику R, і ми хочемо провести випробування, таким чином, що нижня межа довіри щодо коефіцієнта ризику буде більше або дорівнює RLRL, Де RLrLє найнижчою прийнятною ефективністю (скажімо, для того, чи слід впроваджувати втручання в систему охорони здоров'я, тобто ми повинні бути впевнений, що ефективність принаймні\(R_L\)), необхідний розмір вибірки:

\[n=(z_1+z_2)^2[(1−p_1)/(p_1)+(1−p_2)/(p_1)]/[\log_e(R/R_L)]^2.\]

Таблиця 5.2 Вимоги до розміру вибірки для порівняння пропорцій

Менший підпірку. \(p_1\)	Різниця\(D=p_2−p_1\)
Менший підпірку. \(p_1\)	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	0,55	0,60
0,05	435	141	76	50	36	28	22	18	15	13	11	10
	583	189	102	67	48	37	30	25	21	18	15	13
	719	233	126	83	60	46	37	30	26	22	19	16
0,10	686	200	101	63	44	33	26	21	17	14	12	10
	919	268	135	84	59	44	34	28	23	19	16	14
	1134	330	166	104	72	54	42	34	28	24	20	17
0,15	906	251	122	74	50	37	28	22	18	15	13	10
	1212	336	163	98	67	49	38	30	24	20	17	14
	1497	415	201	122	83	60	46	37	30	25	21	18
0,20	1094	294	139	82	55	40	30	24	19	16	13	11
	1464	394	186	110	74	53	40	31	25	21	17	15
	1808	486	230	136	91	66	50	39	31	26	21	18
0,25	1250	329	153	89	59	42	31	24	19	16	13	11
	1674	441	205	119	79	56	42	32	26	21	17	14
	2067	544	253	147	97	69	52	40	32	26	21	18
0,30	1376	357	163	94	61	43	32	24	19	16	13	10
	1842	478	219	126	82	58	43	33	26	21	17	14
	2274	590	270	156	101	71	53	40	32	26	21	17
0,35	1470	376	170	97	63	44	32	24	19	15	12	10
	1968	504	228	130	84	58	43	32	25	20	16	13
	2430	622	282	160	103	72	53	40	31	25	20	16
0,40	1533	388	174	98	63	43	31	24	18	14	11
	2052	520	233	131	84	58	42	31	24	19	15
	2534	642	287	162	103	71	52	39	30	24	19
0,45	1564	392	174	97	61	42	30	22	17	13
	2094	525	233	130	82	56	40	30	23	18
	2586	648	287	160	101	69	50	37	28	22
0,50	1564	388	170	94	59	40	28	21	15
	2094	520	228	126	79	53	38	28	21
	2586	642	282	156	97	66	46	34	26
0,55	1533	376	163	89	55	37	26	18
	2052	504	219	119	74	49	34	25
	2534	622	270	147	91	60	42	30
0,60	1470	357	153	82	50	33	22
	1968	478	205	110	67	44	30
	2430	590	253	136	83	54	37
0,65	1376	329	139	73	44	28
	1842	441	186	98	59	37
	2274	544	230	121	72	46
0,70	1250	294	122	63	36
	1674	394	163	84	48
	2067	486	201	104	60
0,75	1094	251	101	50
	1464	336	135	67
	1808	415	166	83
0,80	906	200	76
	1212	268	102
	1497	330	126
0,85	686	141
	919	189
	1134	233
0,90	435
	583
	719

Наведені в тілі таблиці розміри вибірки, необхідні в кожній групі для надання заданої потужності. * Верхня цифра: потужність, 80%; середня цифра: потужність, 90%; нижня цифра: потужність, 95%. Використовуючи двосторонній тест на значущість зP<0.05.p<0.05, дві групи приймаються рівним розміром.

4.2 Порівняння показників захворюваності

Для заданої різниці\(D=r_1−r_2\) і значень\(z_1\) і\(z_2\) представляють необхідний рівень значущості і потужності, необхідну кількість людино-років в кожній групі задають:

\[y=[(z_1+z_2)^2(r_1+r_2)]/(r_1−r_2)^2\]

де\(r_1\) і\(r_2\) є очікувані ставки на людину-рік у двох групах.Тому потрібна приблизна оцінка середнього показника двох ставок, тобто\([(r_1+r_2)/2]\) для 90% потужності та значущості при p <0,05p<0,05 ця формула спрощує:

\[y=[10.5(r_1+r_2)]/(r_1−r_2)^2.\]

Альтернативна, але еквівалентна формула дає кількість подій, необхідних в групі 2, контрольній групі, в перерахунку на коефіцієнт швидкості R, для якого потрібна задана потужність:

\[e_2=[(z_1+z_2)^2(1+R)]/(1−R)^2.\]

Ця формула була використана для побудови таблиці 5.3, яка показує кількість подій, необхідних у групі 2 для виявлення коефіцієнта швидкості R з 80%, 90% або 95% потужності. Загальна кількість подій, необхідних в обох групах, може бути розрахована як\(e_2(1+R)\).

Оскільки це можна обчислити без вказівки передбачуваних ставок у двох пробних групах, це забезпечує особливо корисний підхід, коли ставки невизначені. Таким чином, у випробуванні, керованому кінцевою точкою, ми можемо вказати кількість подій, які потрібно спостерігати, щоб досягти необхідної потужності, після чого набір або подальше спостереження може бути припинено.

Щоб розрахувати потужність для заданого пробного розміру, обчислити:

\[z_2=\{√[n/(r_1+r_2)]\}(|r_1−r_2|)−z_1\]

де |r1−r2||r1−r2|— абсолютне значення різниці між двома швидкостями.

Зверніться\(z_2\) до отриманого значення таблиці 5.1, щоб визначити потужність судового розгляду.

Приклад: Припустимо, в дослідженні москітних сіток, що рівень смертності від малярії в контрольній групі становить 10/1000 дитячих років, так що\(r_2=0.010.\) вісімдесят відсотків потужності хочуть виявити значний ефект, якщо справжній рівень у дітей з ліжковими сітками зменшується на 70% до\(r_1=0.003.\) кількості дитячих років спостереження, необхідне в кожній групі, дається:

\[y=[(1.96+0.84)^2(0.003+0.010)]/(−0.007)^2=2080.\]

Криві потужності, показані на малюнку 5.1, були побудовані з використанням того ж припущення щодо рівня смертності в елементах управління. Наприклад, при\(y=2000\) і коефіцієнт співвідношення\(R=0.7\) (що відповідає показнику смертності 7 на 1000 дитини-років в групі втручання), що дає владу 18% (табл. 5.1):

\[z_2=\{√[2000/(0.007+0.010)]\}(|0.007−0.010|)−1.96=−0.93.\]

Ці формули використовуються для забезпечення високої ймовірності відхилення нульової гіпотези, якщо істинний ефект має передбачуваний розмір. Однак це все ще може означати, що нижня межа довіри для розміру ефекту близька до нульового, і це може надати недостатньо доказів, щоб рекомендувати широке прийняття втручання. Більший розмір вибірки буде необхідний для того, щоб нижня межа довіри перевищувала задане значення.Припустимо, передбачуване значення коефіцієнта швидкості є R, і що ми хочемо провести випробування, так що існує висока ймовірність того, що CI виключає значення RLRL, що відповідає нижній межі ефективності. бажаний. Потім необхідний розмір вибірки задається за формулою:

\[y=(z_1+z_2)^2(1/r_1+1/r_2)/[\log_e(R/R_L)]^2.\]

Приклад: У дослідженні москітної сітки ми виявили, що 2080 дитячих років потрібно було в кожній дослідній групі відхилити нульову гіпотезу з 80% потужності, якщо істинне співвідношення швидкості R становило 0,3, що відповідає ефективності 70%. Тепер припустимо, ми хочемо переконатися, що існує 80% ймовірність того, що нижчий 95% CI для ефективності перевищує 30%, що відповідає\(R_L=0.7.\) Застосовуючи формулу, ми отримуємо наступне, демонструючи значне збільшення розміру вибірки, що це вимагатиме:

\[y=(1.96+0.84)^2(1/0.010+1/0.003)/[\log_e(0.3/0.7)]^2=4732.\]

Таблиця 5.3 Вимоги до розміру вибірки для порівняння ставок

Відносна швидкість R *	Очікувані події в групі 2 дати +
Відносна швидкість R *	80% потужність	90% потужність	95% потужність
0.1	10.6	14.3	17.6
0.2	14.7	19.7	24.3
0.3	20.8	27.9	34.4
0.4	30.5	40.8	50.4
0,5	47.0	63.0	77.8
0.6	78.4	105.0	129.6
0.7	148.1	198.3	244,8
0.8	352.8	472.4	583.2
0.9	1489.6	1994.5	2462.4
1.1	1646.4	2204.5	2721.6
1.2	431.2	577.4	712.8
1.4	117,6	157.5	194.4
1.6	56.6	75.8	93.6
1.8	34.3	45.9	56.7
2.0	23.5	31.5	38.9
2.5	12.2	16.3	20.2
3.0	7.8	10.5	13,0
5.0	2.9	3.9	4.9
10.0	1.1	1.4	1.8

Числа в тілі таблиці - це очікувана кількість подій, необхідних у групі 2, щоб дати задану потужність, якщо відносна швидкість в групі 1 дорівнює R.

* R, відношення захворюваності в групі 1 до рівня захворюваності в групі 2.

+ Використання двостороннього тесту значущості з\(p<0.05\) .Дві групи приймаються рівним розміром.

4.3 Порівняння засобів

Пробний розмір, необхідний у кожній групі для виявлення зазначеної різниці\(D=μ_1−μ_2,\) з визначеною потужністю\(z_2\) та рівнем значущості,\(z_1,\) визначеною, задається:

\[n=[(z_1+z_2)^2(σ_1^2+σ_2^2)]/(μ_1−μ_2)^2\]

де\(σ_1\) і\(σ_2\) є стандартними відхиленнями змінної результату в групах 1 і 2 відповідно.Для 90% потужності і значущості при\(p<0.05\), це спрощує:

\[n=10.5(σ_1^2+σ_2^2)/(μ_1−μ_2)^2.\]

Щоб розрахувати потужність проби заданого розміру, розрахуйте наступне, і зверніться\(z_2\) до значення таблиці 5.1:

\[z_2=\{√[n/(σ^2_1+σ_2^2)]\}(|μ_1−μ_2|)−z_1.\]

Оцінки σ 1σ 1 і σ 2σ 2можуть бути отримані з попередніх досліджень або з пілотного дослідження. Якщо відповідні значення неможливо визначити, альтернативою є дихотомізація неперервної змінної результату та використання формул розміру вибірки для порівняння пропорцій, наведених у розділі 4.1. Це дасть консервативну оцінку розміру вибірки, оскільки вона ігнорує частину інформації, але забезпечить адекватний розмір вибірки в умовах невизначеності щодо стандартних відхилень.

Приклад: У дослідженні москітної сітки середній показник PCV в контрольній групі в кінці випробування, як очікується, складе 33,0, зі стандартним відхиленням 5,0. Щоб мати 90% потужності виявлення значного ефекту, якщо втручання збільшує середній показник ПХВ на 1,5, кількість дітей, необхідних в кожній групі, дають:

\[n = \left[ ( 1.96 + 1.28 ) ^ { 2 } \left( 5.0 ^ { 2 } + 5.0 ^ { 2 } \right) \right] / ( 1.5 ) ^ { 2 } = 233\]

Припустимо, виходить, що для навчання в кожній групі доступно всього 150 дітей. Владу в цих обставин дають наступні, відповідні владі близько 74%:

\[z_2=\{√[150/(5.02+5.02)]\}(|1.5|)−1.96=0.64.\]

Короткий зміст різних формул, які були наведені для розрахунку вимог до розміру пробного зразка для порівняння двох груп однакового розміру, наведено в таблиці 5.4.

Таблиця 5.4 Зведення формул розрахунку вимог до розміру пробного зразка для порівняння двох груп однакового розміру

Тип результату	Формула	Позначення	Розділ в тексті
В: Вибір пробного розміру для досягнення належної точності
Пропорції:	\(n = \left( 1.96 / \log _ { e } f \right) ^ { 2 } \left\{ \left[ ( R + 1 ) / \left( R p _ { 2 } \right) \right] - 2 \right\}\)	n = число в кожній групі R = проп. в групі 1/опор. в групі 2Дає 95% CI від R/f до Rf	3.1
Тарифи:	\(e _ { 2 } = \left( 1.96 / \log _ { \mathrm { e } } f \right) ^ { 2 } [ ( R + 1 ) / R ]\)	\(e^2\)= очікувані події в групі 2 R = ставка в групі 1/ставка в групі 2 Дає 95% CI від R/f до Rf	3.2
Засоби:	\(n = ( 1.96 / f ) ^ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right)\)	n = число в кожній групі \(σ_i=SD\)в групі i D = середнє значення в групі 1 − середнє значення у групі 2 Дає 95% КІ\(D±f\)	3.3
B: Вибір пробного розміру для досягнення адекватної потужності
Пропорції:	\(n = \left[ \left( z _ { 1 } + z _ { 2 } \right) ^ { 2 } 2 p ( 1 - p ) \right] / \left( p _ { 1 } - p _ { 2 } \right) ^ { 2 }\)	n = число в кожній групі \(p^i\)= пропорцій. в групі i р = середнє значення p1p1 і p2p2	4.1
Тарифи:	\(y = \left[ \left( z _ { 1 } + z _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } \right) \right] / \left( r _ { 1 } - r _ { 2 } \right) ^ { 2 }\)	y = людино-роки в кожній групі \(r^i\)= ставка в групі i	4.2
Засоби:	\(n = \left[ \left( z _ { 1 } + z _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right] / \left( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } \right) ^ { 2 }\)	n = число в кожній групі \(σ_i=SD\)в групі i \(μ_i\)= середнє в групі i	4.3

\(z_1=1.96\)для значущості при\(p<0.05\)

Потужність 80%, 90%, 95%

\(z_2=0.84, 1.28, 1.64\)