Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4.E: Теорема Гріна (вправи)

  • Page ID
    60510
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    \(D\)Дозволяти бути замкнутий прямокутник в\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), (2, 4), і (0, 4), з межею\(\partial D\) орієнтованої проти годинникової стрілки. Використовуйте теорему Гріна для оцінки наступних лінійних інтегралів.

    (а)\(\int_{\partial D} 2 x y d x+3 x^{2} d y\)

    (б)\(\int_{\partial D} y d x+x d y\)

    Відповідь

    (а)\(\int_{\partial D} 2 x y d x+3 x^{2} d y=80\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    \(D\)Дозволяти трикутник в\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), і (0, 4), з межею,\(\partial D\) орієнтованою проти годинникової стрілки. Використовуйте теорему Гріна для оцінки наступних лінійних інтегралів.

    (а)\(\int_{\partial D} 2 x y^{2} d x+4 x d y\)

    (б)\(\int_{\partial D} y d x+x d y\)

    (c)\(\int_{\partial D} y d x-x d y\)

    Відповідь

    (а)\(\int_{\partial D} 2 x y^{2} d x+4 x d y=\frac{16}{3} \text { (c) } \int_{\partial D} y d x-x d y=-8\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу кола радіуса\(r\).

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу області,\(D\) укладеної гіпоциклоїдом

    \[ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} , \nonumber \]

    де\(a > 0\). Зауважте, що ми можемо параметризувати цю криву за допомогою

    \[ \varphi(t)=\left(a \cos ^{3}(t), a \sin ^{3}(t)\right) , \nonumber \]

    \(0 \leq t \leq 2 \pi\).

    Відповідь

    \(\frac{3}{8} \pi a^{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу області, укладеної одним «пелюсткою» кривої, параметризованої

    \[ \varphi(t)=(\sin (2 t) \cos (t), \sin (2 t) \sin (t)) . \nonumber \]

    Відповідь

    \(\frac{\pi}{8}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайти площу області, укладеної кардіоїдом параметризованої

    \[ \varphi(t)=((2+\cos (t)) \cos (t),(2+\cos (t)) \sin (t)) , \nonumber \]

    \(0 \leq t \leq 2 \pi\).

    Відповідь

    \(\frac{9 \pi}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Перевірте (4.4.23), таким чином завершуючи доказ теореми Гріна.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Припустимо, векторне поле\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\) знаходиться\(C^1\) на відкритому множині, що містить область Type III\(D\). Більш того,\(F\) припустимо, градієнт скалярної функції\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\).

    (а) Покажіть, що

    \[ \frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}=0 \nonumber \]

    для всіх точок\((x,y)\) в\(D\).

    (b) Використовуйте теорему Гріна, щоб показати, що

    \[ \int_{\partial D} p d x+q d y=0 , \nonumber \]

    де\(\partial D\) - межа з\(D\) орієнтацією проти годинникової стрілки.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Скільки способів ви знаєте, щоб обчислити площу кола?

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Ким був Джордж Грін?

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Поясніть, як теорема Гріна є узагальненням фундаментальної теореми інтегрального числення.

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    \(C_1\)Дозволяти\(b > a\), Дозволяти коло радіуса з\(b\) центром у початку, і нехай\(C_2\) бути коло радіуса з\(a\) центром у початку. Якщо\(D\) кільцева область між\(C_1\) і\(C_2\) і\(F\) є\(C^1\) векторним полем з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\), показати, що

    \[ \iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y=\int_{C_{1}} p d x+q d y+\int_{C_{2}} p d x+q d y , \nonumber \]

    де\(C_1\) орієнтована в напрямку проти годинникової стрілки і\(C_2\) орієнтована за годинниковою стрілкою. (Підказка:\(D\) Розкласти на регіони типу III\(D_1\), і\(D_2\)\(D_3\), кожна з межею\(D_4\), орієнтованою проти годинникової стрілки, як показано на малюнку 4.4.5.)

    Знімок екрану 2021-08-24 о 08.37.28.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Розкладання кільцевого кільця на області III типу