4.4.E: Теорема Гріна (вправи)
- Page ID
- 60510
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(D\)Дозволяти бути замкнутий прямокутник в\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), (2, 4), і (0, 4), з межею\(\partial D\) орієнтованої проти годинникової стрілки. Використовуйте теорему Гріна для оцінки наступних лінійних інтегралів.
(а)\(\int_{\partial D} 2 x y d x+3 x^{2} d y\)
(б)\(\int_{\partial D} y d x+x d y\)
- Відповідь
-
(а)\(\int_{\partial D} 2 x y d x+3 x^{2} d y=80\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(D\)Дозволяти трикутник в\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), і (0, 4), з межею,\(\partial D\) орієнтованою проти годинникової стрілки. Використовуйте теорему Гріна для оцінки наступних лінійних інтегралів.
(а)\(\int_{\partial D} 2 x y^{2} d x+4 x d y\)
(б)\(\int_{\partial D} y d x+x d y\)
(c)\(\int_{\partial D} y d x-x d y\)
- Відповідь
-
(а)\(\int_{\partial D} 2 x y^{2} d x+4 x d y=\frac{16}{3} \text { (c) } \int_{\partial D} y d x-x d y=-8\)
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу кола радіуса\(r\).
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу області,\(D\) укладеної гіпоциклоїдом
\[ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} , \nonumber \]
де\(a > 0\). Зауважте, що ми можемо параметризувати цю криву за допомогою
\[ \varphi(t)=\left(a \cos ^{3}(t), a \sin ^{3}(t)\right) , \nonumber \]
\(0 \leq t \leq 2 \pi\).
- Відповідь
-
\(\frac{3}{8} \pi a^{2}\)
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Використовуйте теорему Гріна, щоб знайти площу області, укладеної одним «пелюсткою» кривої, параметризованої
\[ \varphi(t)=(\sin (2 t) \cos (t), \sin (2 t) \sin (t)) . \nonumber \]
- Відповідь
-
\(\frac{\pi}{8}\)
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Знайти площу області, укладеної кардіоїдом параметризованої
\[ \varphi(t)=((2+\cos (t)) \cos (t),(2+\cos (t)) \sin (t)) , \nonumber \]
\(0 \leq t \leq 2 \pi\).
- Відповідь
-
\(\frac{9 \pi}{2}\)
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Перевірте (4.4.23), таким чином завершуючи доказ теореми Гріна.
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Припустимо, векторне поле\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\) знаходиться\(C^1\) на відкритому множині, що містить область Type III\(D\). Більш того,\(F\) припустимо, градієнт скалярної функції\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\).
(а) Покажіть, що
\[ \frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}=0 \nonumber \]
для всіх точок\((x,y)\) в\(D\).
(b) Використовуйте теорему Гріна, щоб показати, що
\[ \int_{\partial D} p d x+q d y=0 , \nonumber \]
де\(\partial D\) - межа з\(D\) орієнтацією проти годинникової стрілки.
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Скільки способів ви знаєте, щоб обчислити площу кола?
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Ким був Джордж Грін?
Вправа\(\PageIndex{11}\)
Поясніть, як теорема Гріна є узагальненням фундаментальної теореми інтегрального числення.
Вправа\(\PageIndex{12}\)
\(C_1\)Дозволяти\(b > a\), Дозволяти коло радіуса з\(b\) центром у початку, і нехай\(C_2\) бути коло радіуса з\(a\) центром у початку. Якщо\(D\) кільцева область між\(C_1\) і\(C_2\) і\(F\) є\(C^1\) векторним полем з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\), показати, що
\[ \iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y=\int_{C_{1}} p d x+q d y+\int_{C_{2}} p d x+q d y , \nonumber \]
де\(C_1\) орієнтована в напрямку проти годинникової стрілки і\(C_2\) орієнтована за годинниковою стрілкою. (Підказка:\(D\) Розкласти на регіони типу III\(D_1\), і\(D_2\)\(D_3\), кожна з межею\(D_4\), орієнтованою проти годинникової стрілки, як показано на малюнку 4.4.5.)