4.4: Теорема Гріна
- Page ID
- 60501
Теорема Гріна є прикладом із сімейства теорем, які з'єднують лінійні інтеграли (та їх вищі аналоги) з певними інтегралами, які ми вивчали у розділі 3.6. Спочатку ми розглянемо теорему Гріна для прямокутників, а потім узагальнимо до більш складних кривих і областей в\(\mathbb{R}^2\).
Теорема Гріна для прямокутників
Припустимо\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\), знаходиться\(C^1\) на відкритому множині, що містить замкнутий прямокутник
\[ D=[a, b] \times[c, d] , \nonumber \]
і нехай\(F_1\) і\(F_2\) бути координатними функціями\(F\). Якщо\(C\) позначається межа\(D\), орієнтована за годинниковою стрілкою, то ми можемо\(C\) розкласти на чотири криві\(C_1\),,\(C_2\)\(C_3\), і\(C_4\) показані на малюнку 4.4.1.
Тоді
\[ \alpha(t)=(t, c) , \nonumber \]
\(a \leq t \leq b\), є плавною параметризацією\(C_1\),
\[ \beta(t)=(b, t) , \nonumber \]
\(c \leq t \leq d\), є плавною параметризацією\(C_2\),
\[ \gamma(t)=(t, d) , \nonumber \]
\(a \leq t \leq b\), є плавною параметризацією\(-C_3\), і
\[ \delta(t)=(a, t) , \nonumber \]
\(c \leq t \leq d\), є плавною параметризацією\(-C_4\). Зараз
\ [\ почати {вирівнювання}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {C_ {1}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {2}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {3}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {4}} F\ cdot d s\ nonumber\
&=\ int_ {C_ {1}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {2}} F\ cdot d s-\ int_ {-C_ {3}} F\ cdot d s-\ int_ {-C_ {4}} F\ cdot d s\ мітка {4.4.1}
\ end {вирівняти}\]
і
\[ \int_{C_{1}} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left(\left(F_{1}(t, c), F_{2}(t, c)\right) \cdot(1,0) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, c) d t,\right. , \label{4.4.2} \]
\[ \int_{C_{2}} F \cdot d s=\int_{c}^{d}\left(\left(F_{1}(b, t), F_{2}(b, t)\right) \cdot(0,1) d t=\int_{c}^{c} F_{2}(b, t) d t\right. , \label{4.4.3} \]
\[ \int_{-C_{3}} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left(\left(F_{1}(t, d), F_{2}(t, d)\right) \cdot(1,0) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, d) d t\right. , \label{4.4.4} \]
і
\[ \int_{-C_{4}} F \cdot d s=\int_{c}^{d}\left(\left(F_{1}(a, t), F_{2}(a, t)\right) \cdot(0,1) d t=\int_{c}^{c} F_{2}(a, t) d t\right. , \label{4.4.5} \]
Отже, вставляючи (\(\ref{4.4.2}\)) через (\(\ref{4.4.5}\)) в (\(\ref{4.4.1}\)),
\ [\ почати {вирівняти}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t, c) д т+\ int_ {c} ^ {d} F_ {2} (б, т) д т-\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t, d) д т-\ int_ {c} ^ {d} F_ {2} (a, t) d t\ nonumber\\
&=\ int_ {c} ^ {d}\ ліворуч (F_ {2} (b, t) -F_ {2} (a, t)\ праворуч) d t-\ int_ {a} ^ {b}\ ліворуч (F_ {1} (t, d) -F_ {1} (t, c)\ право) d t . \ мітка {4.4.6}
\ кінець {вирівнювання}\]
Тепер, за фундаментальною теоремою обчислення, для фіксованого значення\(t\),
\[ \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} F_{2}(x, t) d x=F_{2}(b, t)-F_{2}(a, t) \label{4.4.7} \]
і
\[ \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(t, y) d y=F_{1}(t, d)-F_{1}(t, c) . \label{4.4.8} \]
Таким чином, поєднуючи (\(\ref{4.4.7}\)) і (\(\ref{4.4.8}\)) з (\(\ref{4.4.6}\)), ми маємо
\ [\ почати {вирівнювання}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ frac {\ частковий} {\ частковий x} F_ {2} (x, t) d x d t-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {c} ^ {d}\ frac {частковий} {\ частковий у} F_ {1} (t, y) d y d t\ nonumber\\
&=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ frac {\ частковий} {\ частковий x} F_ {2} (x, y) d x d y -\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {c} ^ {d}\ frac {\ частковий} {\ частковий у} F_ {1} (x, y) d d x\ nonumber\\
&=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ лівий (\ frac {\ частковий} {\ частковий}} F_ {2} (x, y) -\ frac {\ частковий} {\ частковий y} F_ {1} (x, y)\ праворуч) d x d y\ мітка {4.4.9}
\ end {вирівнювання}\]
Якщо ми дозволимо\(p=F_{1}(x, y), q=F_{2}(x, y)\), і\(\partial D=C\) (загальне позначення для кордону\(D\)), то ми можемо переписати (\(\ref{4.4.9}\)) як
\[ \int_{\partial D} p d x+q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y . \]
Це теорема Гріна для прямокутника.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Якщо\(D=[1,3] \times[2,5]\), то
\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {\ частковий D} x y d x+x d y &=\ iint_ {D}\ лівий (\ frac {\ частковий} {\ частковий x} x-\ частковий} {\ частковий} {\ частковий y} x y\ правий) d x d y\\
&=\ int_ {1} ^ {3}\ int_ {2} ^ {5} (1-х) г г х\\
&=\ int_ {1} ^ {3} 3 (1-х) д х\\
&=\ лівий.3 х\ праворуч |_ {1} ^ {3} -\ ліворуч. \ розрив {3} {2} x^ {2}\ right|_ {1} ^ {3}\\
&=-6.
\ end {вирівняний}\]
Зрозуміло, що це простіше, ніж безпосередньо оцінювати лінійний інтеграл.
Теорема Гріна для областей III типу
Теорема Гріна розрахована на більш загальні області, ніж прямокутники. Тут ми обмежимося обговоренням регіонів, відомих як регіони типу III, але не важко узагальнити регіони, які можуть бути поділені на регіони такого типу (наприклад, див. Задача 12). Нагадаємо, з розділу 3.6, що ми говоримо область\(D\) в\(\mathbb{R}^2\) має тип I, якщо існують дійсні числа\(a<b\) і неперервні функції\(\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) і\(\beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) такі, що
\[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . \]
Ми говоримо, що область\(D\) в\(\mathbb{R}^2\) має тип II, якщо існують дійсні числа\(c\) і\(d\) і безперервні функції\(\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) і\(\delta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) такі, що
\[ D=\{(x, y): c \leq y \leq d, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)\} . \]
Визначення\(\PageIndex{1}\)
Ми називаємо регіон\(\mathbb{R}^2\),\(D\) в якому є як тип I, так і тип II областю типу III.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
У розділі 3.6 ми побачили, що трикутник\(T\) з вершинами в (0, 0), (1, 0), і (1, 1) і замкнутий диск
\[ D=\bar{B}^{2}((0,0), 1)=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \nonumber \]
відносяться як до I типу, так і типу II. Таким чином\(T\) і\(D\) є регіони типу III. Ми також побачили, що область\(E\) під графіком\(y=x^2\) і вище інтервалу [−1, 1] має тип I, але не тип II. Отже\(E\), це не тип III.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Будь-який замкнутий прямокутник у\(\mathbb{R}^2\) є областю типу III, як і будь-яка замкнута область, обмежена еліпсом.
Тепер припустимо,\(D\) це область типу III і\(\partial D\) є межею, тобто кривої\(D\), що охоплює\(D\), орієнтованої проти годинникової стрілки. \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)Дозволяти\(C^1\) векторне поле, з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\). Ми спочатку доведемо, що
\[ \int_{\partial D} p d x=-\iint_{D} \frac{\partial p}{\partial y} d x d y . \]
Оскільки\(D\) є, зокрема, областю типу I, існують неперервні функції\(\alpha\) і\(\beta\) такі, що
\[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . \]
Крім того, ми будемо вважати, що\(\alpha\) і обидва\(\beta\) диференційовані (без цього припущення лінійний інтеграл\(F\) уздовж не\(\partial D\) був би визначений). Як і у випадку з прямокутником у попередньому доказі, ми можемо\(\partial D\) розкласти на чотири криві\(C_1\)\(C_2\),\(C_3\),, і\(C_4\), як показано на малюнку 4.4.2.
Тоді
\[ \varphi_{1}(t)=(t, \alpha(t)) , \nonumber \]
\(a \leq t \leq b\), є плавною параметризацією\(C_1\),
\[ \varphi_{2}(t)=(b, t) , \nonumber \]
\(\alpha(b) \leq t \leq \beta(b)\), є плавною параметризацією\(C_2\),
\[ \varphi_{3}(t)=(t, \beta(t)) , \nonumber \]
\(a \leq t \leq b\), є плавною параметризацією\(-C_3\), і
\[ \varphi_{4}(t)=(a, t) , \nonumber \]
\(\alpha(a) \leq t \leq \beta(a)\), є плавною параметризацією\(-C_4\). Зараз
\[ \int_{\partial D} p d x=\int_{C_{1}} p d x+\int_{C_{2}} p d x-\int_{-C_{3}} p d x-\int_{-C_{4}} p d x ,\]
де
\[ \int_{C_{1}} p d x=\int_{a}^{b}\left(F_{1}(t, \alpha(t)), 0\right) \cdot\left(1, \alpha^{\prime}(t)\right) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, \alpha(t)) d t, \]
\[ \int_{C_{2}} p d x=\int_{\alpha(b)}^{\beta(b)}\left(F_{1}(b, t), 0\right) \cdot(0,1) d t=\int_{\alpha(b)}^{\beta(b)} 0 d t=0 ,\]
\[ \int_{-C_{3}} p d x=\int_{a}^{b}\left(F_{1}(t, \beta(t)), 0\right) \cdot\left(1, \beta^{\prime}(t)\right) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, \beta(t)) d t , \]
і
\[ \int_{-C_{4}} p d x=\int_{\alpha(a)}^{\beta(a)}\left(F_{1}(a, t), 0\right) \cdot(0,1) d t=\int_{\alpha(a)}^{\beta(a)} 0 d t=0 .\]
Звідси
\ [\ почати {вирівняти}
\ int_ {\ часткове D} р д х &=\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t,\ альфа (t)) д т-\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t,\ бета (t)) d t\ nonumber\\
&=-\ int_ {a} ^ {b} ^ {b}\ (F_ {1} (t,\ бета (t)) -F_ {1} (t,\ альфа (t))\ праворуч) d t\ мітка {4.4.20}
\ end {вирівнювання}\]
Тепер, за фундаментальною теоремою обчислення,
\[ \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(t, y) d y=F_{1}(t, \beta(t))-F_{1}(t, \alpha(t)) , \]
і так
\ [\ почати {вирівнювання}
\ int_ {\ часткове D} p d x &=-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {\ альфа (t)} ^ {\ бета (t)}\ frac {\ частковий} {\ частковий у} F_ {1} (t, y) d y d t\ nonumber\\
&=-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {\ альфа (x)} ^ {\ бета (x)}\ frac {\ частковий} {\ частковий у} F_ {1} (x, y) d г х\ nonumber\\
&=-\ iint_ {D}\ розрив {\ частковий р} {\ частковий y} d x d y. \ етикетка {4.4.22}
\ кінець {вирівнювання}\]
Подібний розрахунок, розглядаючи\(D\) як область типу II, показує, що
\[ \int_{\partial D} q d y=\iint_{D} \frac{\partial q}{\partial x} d x d y . \label{4.4.23} \]
(Вас попросять перевірити це у вправі 7.) Поклавши (\(\ref{4.4.22}\)) і (\(\ref{4.4.23}\)) разом, ми маємо
\ [\ почати {вирівнювання}
\ int_ {\ часткове D} F\ cdot d s=\ int_ {\ часткове D} р d x+q d y &=-\ iint_ {D}\ frac {\ частковий р} {\ частковий р} {\ частковий р} д х х й+\ iint_ {D}\ frac {\ частковий q} {\ частковий х} d x y\ nonumber\\
&=\ iint_ {D}\ лівий (\ frac {\ частковий q} {\ частковий x} -\ frac {\ частковий р} {\ частковий y}\ правий) d x d y\ мітка {4.4.24}
\ кінець {вирівнювання}\]
Теорема Гріна\(\PageIndex{1}\)
Припустимо,\(D\) це область типу III,\(\partial D\) це межа\(D\) з орієнтацією проти годинникової стрілки, а криві, що описують,\(\partial D\) диференційовані. \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)Дозволяти\(C^1\) векторне поле, з координатними функціями\(p=F_{1}(x, y)\) і\(q=F_{2}(x, y)\). Тоді
\[ \int_{\partial D} p d x+q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y . \]
Приклад\(\PageIndex{4}\)
\(D\)Дозволяти область, обмежена трикутником з вершинами в (0, 0), (2, 0) і (0, 3), як показано на малюнку 4.4.3.
Якщо зорієнтуватися\(\partial D\) в напрямку проти годинникової стрілки, то
\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {\ частковий D}\ лівий (3 x^ {2} +y\ праворуч) d x+5 x d y &=\ iint_ {D}\ ліворуч (\ frac {\ часткове} {\ часткове x} (5 x) -\ frac {\ частковий} {\ частковий y}\ лівий (3 x^ {2} +y\ правий)\ правий) d х д у\\
&=\ iint_ {D} (5-1) д х г у\\
&= 4\ iint_ {D} д х г у\\
&= (4) (3)\\
&=12,
\ кінець {вирівняний}\]
де ми використовували той факт, що площа\(D\) дорівнює 3 для оцінки подвійного інтеграла.
Лінійний інтеграл в попередньому прикладі зводиться до знаходження площі області\(D\). Це може бути використано в зворотному напрямку для обчислення площі області. Наприклад, задавши область\(D\) з площею\(A\) та межею\(\partial D\), з теореми Гріна випливає, що
\[ A=\iint_{D} d x d y=\int_{\partial D} p d x+q d y \]
на будь-який вибір\(p\) і\(q\) які мають властивість, що
\[ \frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}=1 . \]
Наприклад, здаючи\(p = 0\) і\(q = x\), у нас
\[ A=\int_{\partial D} x d y \label{4.4.28} \]
і, здаючи\(p = −y\) і\(q = 0\), у нас
\[ A=-\int_{\partial D} y d x . \label{4.4.29} \]
Наступний приклад ілюструє використання середнього значення (\(\ref{4.4.28}\)) і (\(\ref{4.4.29}\)) для пошуку\(A\):
\[ A=\frac{1}{2}\left(\int_{\partial D} x d y-\int_{\partial D} y d x\right)=\frac{1}{2} \int_{\partial D} x d y-y d x . \]
Приклад\(\PageIndex{5}\)
\(A\)Дозволяти площа області,\(D\) обмеженої еліпсом з рівнянням
\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 , \nonumber \]
де\(a > 0\) і\(b>0\), як показано на малюнку 4.4.4.
Оскільки ми можемо параметризувати\(\partial D\), орієнтуючись проти годинникової стрілки,
\[ \varphi(t)=(a \cos (t), b \sin (t)) , \nonumber \]
\(0 \leq t \leq 2 \pi\), у нас є
\ [\ почати {вирівняний}
A &=\ frac {1} {2}\ int_ {\ частковий D} х д у г х\\
&=\ фракція {1} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi} (-b\ sin (t), a\ cos (t))\ cdot (-a\ sin (t), b\ cos (t)\
&=\ фракція {1} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ ліворуч (a b\ sin ^ {2} (t) +a b\ cos ^ {2} (t)\ праворуч) d t\\
&=\ розрив {a b} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi} d t\\
&=\ лівий (\ frac {a b} {2}\ праворуч) (2\ pi)\
&=\ пі a b.
\ кінець {вирівняний}\]