4.3.E: Лінійні інтеграли (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60523

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Для кожного з наступних обчислити лінійний інтеграл\(\int_{C} F \cdot d s\) для заданого векторного поля\(F\) і криву,\(C\) параметризовану по\(\varphi\).

(а)\(F(x, y)=(x y, 3 x), \varphi(t)=\left(t^{2}, t\right), 0 \leq t \leq 2\)

(б)\(F(x, y)=\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right), \varphi(t)=(\cos (t), \sin (t)), 0 \leq t \leq 2 \pi\)

(c)\(F(x, y)=\left(3 x-2 y, 4 x^{2} y\right), \varphi(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right),-2 \leq t \leq 2\)

(г)\(F(x, y, z)=\left(x y z, 3 x y^{2}, 4 z\right), \varphi(t)=\left(3 t, t^{2}, 4 t^{3}\right), 0 \leq t \leq 4\)

Відповідь

(а)\(\int_{C} F \cdot d s=\frac{104}{5}\)

(c)\(\int_{C} F \cdot d s=-\frac{384}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(C\)Дозволяти коло радіуса 2 по центру в\(\mathbb{R}^2\), з орієнтацією проти годинникової стрілки. Оцінити наступні лінійні інтеграли.

(а)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y\)

(б)\(\int_{C} 8 x y d x+4 x^{2} d y\)

Відповідь: (а)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y=0\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(C\)Дозволяти бути частиною спіралі в\(\mathbb{R}^3\) параметризованому по\(\varphi(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), t), 0 \leq t \leq 2\pi \). Оцінити наступні лінійні інтеграли.

(а)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y+z d z\)

(б)\(\int_{C} y z d x+x z d y+x y d z\)

Відповідь: (а)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y+z d z=2 \pi^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(C\)Дозволяти прямокутник\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (−1, 1), (2, 1), (2, 3), і (−1, 3), з орієнтацією проти годинникової стрілки. Оцінити наступні лінійні інтеграли.

(а)\(\int_{C} x^{2} y d x+(3 y+x) d y\)

(б)\(\int_{C} 2 x y d x+x^{2} d y\)

Відповідь: (а)\(\int_{C} x^{2} y d x+(3 y+x) d y=0\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(C\)Дозволяти бути\(\mathbb{R}^2\) еліпс в з рівнянням

\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 , \nonumber \]

з орієнтацією проти годинникової стрілки. Оцінити\(\int_{C} F \cdot d s \text { for } F(x, y)=(4 y, 3 x)\).

Відповідь: \(\int_{C} F \cdot d s=-6 \pi\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(C\)Дозволяти верхня половина кола радіуса 3 по центру в початку\(\mathbb{R}^2\), з орієнтацією проти годинникової стрілки. Оцінити наступні лінійні інтеграли.

(а)\(\int_{C} 3 y d x\)

(б)\(\int_{C} 4 x d y\)

Відповідь: (а)\(\int_{C} 3 y d x=-\frac{27 \pi}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Оцінити

\[ \int_{C} \frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y , \nonumber \]

де\(C\) - будь-яка крива, яка починається з (1, 0) і закінчується на (2, 3).

Відповідь: \(\int_{C} \frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y=\frac{1}{2} \log (13)\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

(a) Припустимо,\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) це\(C^1\) векторне поле, яке є градієнтом скалярної функції\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\). Якщо\(F_k\) це\(k\) координатна функція\(F, k=1,2, \ldots, n\), показати, що

\[ \frac{\partial}{\partial x_{j}} F_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\partial}{\partial x_{i}} F_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \nonumber \]

для\(i=1,2, \ldots, n\) і\(j=1,2, \ldots, n\).

(б) Покажіть, що хоча

\[ \int_{C} x d x+x y d y=0 \nonumber \]

для кожного кола\(C\) \(\mathbb{R}^2\)з центром у початку, проте не\(F(x, y)=(x, x y)\) є градієнтом будь-якої скалярної функції\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\).

\[ F(x, y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) \nonumber \]

для всіх\((x,y)\) в наборі\(S=\{(x, y):(x, y) \neq(0,0)\}\). \(F_1\)_{\(F_2\)}Дозволяти і бути координатними функціями\(F\). Покажіть, що

\[ \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(x, y)=\frac{\partial}{\partial x} F_{2}(x, y) \nonumber \]

для всіх\((x,y)\)\(S\), хоча\(F\) це не градієнт будь-якої скалярної функції. (Підказка: Для останньої частини покажіть, що

\[ \int_{C} F \cdot d s=2 \pi , \nonumber \]

де\(C\) - одиничне коло, зосереджене на початку.)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Припустимо,\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) це безперервне векторне поле з властивістю, що для будь-якої кривої\(C\),

\[ \int_{C} F \cdot d s \nonumber \]

залежить тільки від кінцевих точок\(C\). Тобто, якщо\(C_1\) і\(C_2\) є будь-якими двома кривими з однаковими кінцевими точками\(P\) і\(Q\), то

\[ \int_{C_{1}} F \cdot d s=\int_{C_{2}} F \cdot d s . \nonumber \]

(а) Покажіть, що

\[ \int_{C} F \cdot d s=0 \nonumber \]

для будь-якої замкнутої кривої\(C\).

(b)\(F_2\) Дозволяти\(F_1\) і бути координатними функціями\(F\). Визначте\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) по

\[ f(x, y)=\int_{C} F \cdot d s , \nonumber \]

де\(C\) - будь-яка крива, яка починається з (0, 0) і закінчується на\((x,y)\). Покажіть, що

\[ \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)=F_{2}(x, y) . \nonumber \]

(Підказка: При оцінці\(f(x,y)\) розглянемо криву\(C\) від (0, 0) до\((x,y)\) якої складається горизонтальна лінія від (0, 0) до (\(x\), 0), за якою слідує вертикальна лінія від (\(x\), 0) до (\(x\), \(y\)).)