4.3: Лінійні інтеграли

Ми мотивуємо математичне поняття лінійного інтеграла через початкове обговорення фізичної концепції роботи.

Робота

Якщо сила постійної величини\(F\) діє в напрямку руху об'єкта по лінії, а об'єкт рухається на відстань\(d\) уздовж цієї лінії, то величину\(Fd\) називаємо роботу, виконану силою на об'єкт. Більш загально, якщо вектор\(\mathbf{F}\) представляє постійну силу, що діє на об'єкт, коли він рухається вздовж вектора зміщення\(\mathbf{d}\), то

\[ \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|} \label{4.3.1} \]

- величина\(\mathbf{F}\) в напрямку руху (див. Рис. 4.3.1) і визначаємо

\[ \left(\mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|}\right)\|\mathbf{d}\|=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \label{4.3.2} \]

бути робота, виконана\(\mathbf{F}\) на об'єкті, коли він зміщений\(\mathbf{d}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Величина\(\mathbf{F}\) в напрямку\(\mathbf{d}\) є\(\mathbf{F} \cdot \mathbf{u}\), де\(\mathbf{u}=\frac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|}\)

Тепер узагальнюємо формулювання роботи in (\(\ref{4.3.2}\)) до ситуації, коли об'єкт\(P\) рухається вздовж якоїсь кривої за\(C\) умови сили, яка постійно залежить від положення (але не залежить від часу). Зокрема, ми представляємо силу безперервним векторним полем, скажімо\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), і ми припускаємо, що\(P\) рухається вздовж кривої,\(C\) яка має плавну параметризацію\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), де\(I=[a, b]\). Див. Малюнок 4.3.2.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Об'єкт, що\(P\) рухається вздовж кривої за\(C\) умови дії сили\(F\)

Щоб наблизити виконану роботу,\(F\) як\(P\) рухається від\(\varphi(a)\) до\(\varphi(b)\) уздовж\(C\), спочатку\(I\) ділимо на\(m\) рівні підінтервали довжини

\[ \Delta t=\frac{b-a}{m} \nonumber \]

з кінцевими точками\(t_{0}=a<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{m}=b\). Тепер за часом\(t_{k}, k=0,1, \ldots, m-1, P\) рухається в напрямку зі\(D \varphi\left(t_{k}\right)\) швидкістю\(\left\|D \varphi\left(t_{k}\right)\right\|\), і так буде переміщатися відстань приблизно\(\left\|D \varphi\left(t_{k}\right)\right\| \Delta t\) за проміжок часу\(\left[t_{k}, t_{k+1}\right]\). Таким чином, ми можемо наблизити роботу, виконану\(F\) як\(P\) рухається від\(\varphi\left(t_{k}\right)\) до\(\varphi\left(t_{k+1}\right)\) роботою, виконаною силою\(F\left(\varphi\left(t_{k}\right)\right)\) при переміщенні\(P\) вздовж вектора зміщення\(D \varphi\left(t_{k}\right) \Delta t\), який є вектором довжини\(\left\|D \varphi\left(t_{k}\right)\right\| \Delta t\) в напрямку\(D \varphi\left(t_{k}\right)\). Тобто, якщо ми дозволимо\(W_k\) позначити виконану роботу,\(F\) як\(P\) рухається від\(\varphi\left(t_{k}\right)\) до\(\varphi\left(t_{k-1}\right)\), то

\[ W_{k} \approx F\left(\varphi\left(t_{k}\right)\right) \cdot D \varphi\left(t_{k}\right) \Delta t . \]

Якщо ми дозволимо\(W\) позначити загальну роботу, виконану\(F\) як\(P\) рухається уздовж\(C\), то у нас є

\[ W=\sum_{k=0}^{m-1} W_{k}=\sum_{k=0}^{m-1} F\left(\varphi\left(t_{k}\right)\right) \cdot D \varphi\left(t_{k}\right) \Delta t . \label{4.3.4} \]

\(m\)Зі збільшенням слід очікувати наближення in (\(\ref{4.3.4}\)) наближення\(W\). Крім того, оскільки\(F(\varphi(t)) \cdot D \varphi(t)\) є неперервною функцією,\(t\) а сума в (\(\ref{4.3.4}\)) є лівим правилом наближення для певного інтеграла\(F(\varphi(t)) \cdot D \varphi(t)\) над інтервалом\([a,b]\), ми повинні мати

\[ W=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{m-1} F\left(\varphi\left(t_{k}\right)\right) \cdot D \varphi\left(t_{k}\right) \Delta t=\int_{a}^{b} F(\varphi(t)) \cdot D \varphi(t) d t . \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, об'єкт рухається по кривій\(C\) параметризованої шляхом\(\varphi(t)=\left(t, t^{2}\right)\)\(-1 \leq t \leq 1\), підпорядкованої силі\(F(x, y)=(y, x)\). Тоді робота, виконана\(F\), коли об'єкт рухається від\(\varphi(-1)=(-1,1)\) до\(\varphi(1)=(1,1)\)

\ [\ почати {вирівняний}
W &=\ int_ {-1} ^ {1} F (\ варфі (t))\ cdot D\ варфі (t) d t\\
&=\ int_ {-1} ^ {1} F\ ліворуч (t, t^ {2}\ праворуч)\ cdot (1,2 t) d t\\\
&=\ int_ {-1} ^ {1} ^ {1} ліворуч (t^ {2}, t\ праворуч)\ cdot (1,2 т) d t\\
&=\ int_ {-1} ^ {1} 3 t^ {2} d t\\
&=\ ліво.t^ {3}\ праворуч |_ {-1} ^ {1}\\
&=2.
\ end {вирівняний}\]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Функція\(\psi(t)=\left(\frac{t}{2}, \frac{t^{2}}{4}\right),-2 \leq t \leq 2\), також є плавною параметризацією кривої\(C\) в попередньому прикладі. Використовуючи ту ж функцію сили\(F\), ми маємо

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {-2} ^ {2} F (\ psi (t))\ cdot D\ psi (t) d t &=\ int_ {-2} ^ {2}\ ліворуч (\ frac {t^ {2}} {4},\ frac {t} {2}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ frac {1} {2} {2},\ розрив {t} {2}\ праворуч) d t\\
&=\ int_ {-2} ^ {2}\ розрив {3 t^ {2}} {8} d t\\
&=\ ліворуч. \ гідророзриву {t^ {3}} {8}\ право|_ {-2} ^ {2}\\
&=2.
\ end {вирівняний}\]

Це результат, якого слід очікувати: поки крива проходить лише один раз, робота, виконана силою, коли об'єкт рухається по кривій, повинна залежати тільки від кривої, а не від якоїсь конкретної параметризації кривої.

Нам потрібно перевірити попереднє твердження в цілому, перш ніж ми зможемо констатувати наше визначення лінійного інтеграла. Зверніть увагу, що в цих двох прикладах,\(\psi(t)=\varphi\left(\frac{t}{2}\right)\). Іншими словами\(\psi(t)=\varphi(g(t))\), куди\(g(t)=\frac{t}{2}\) за\(-2 \leq t \leq 2\). Загалом, якщо\(\varphi(t)\), для\(t\) в інтервалі\([a,b]\), і\(\psi(t)\), для\(t\) в інтервалі\([c,d]\), обидва плавні параметризації кривої\(C\) такі, що кожна точка на\(C\) відповідає точно одна точка в\(I\) і рівно одна точка в\(J\), то існує\(J\) диференційовна функція,\(g\) яка відображає\(I\) такі, що\(\psi(t)=\varphi(g(t))\). Визначення такого\(g\) є простим: задано будь-яке\(t\) в\([c,d]\), знайти унікальне значення\(s\) в\([a,b]\) такому, що\(\varphi(s)=\psi(t)\) (таке значення\(s\) має існувати, оскільки\(C\) є зображення обидва\(\psi\) і\(\varphi\)). Потім\(g(t) = s\). Довести,\(g\) що диференційовано, не так просто, і ми не будемо надавати докази тут. Однак, припускаючи, що\(g\) це диференційовно, випливає, що для будь-якого безперервного векторного поля\(F\),

\ почати {вирівняти}
\ int_ {c} ^ {d} F (\ psi (t))\ cdot D\ psi (t) d t &=\ int_ {c} ^ {d} F (\ варфі (t))\ cdot D (\ варфі\ коло g) (t)) d t\ nonномер\\
&=\ int_ {c} d} F\ лівий (\ varphi (g (t))\ cdot D\ варфі (g (t)) g^ {\ prime} (t) d t\ праворуч. \ етикетка {4.3.6}
\ кінець {вирівнювання}

Тепер, якщо ми дозволимо

\ [\ почати {вирівняний}
u &=g (t),\\
d u &=g^ {\ прайм} (t) d t,
\ end {вирівняний}\]

в (\(\ref{4.3.6}\)), потім

\[ \int_{c}^{d} F(\psi(t)) \cdot D \psi(t) d t=\int_{a}^{b} F(\varphi(u)) \cdot D \varphi(u) d t \label{4.3.7} \]

якщо\(g(c)=a\) і\(g(d) = b\) (тобто,\(\varphi(a)=\psi(c)\) і\(\varphi(b)=\psi(d)\), і

\[ \int_{c}^{d} F(\psi(t)) \cdot D \psi(t) d t=\int_{b}^{a} F(\varphi(u)) \cdot D \varphi(u) d t=-\int_{b}^{a} F(\varphi(u)) \cdot D \varphi(u) d t \label{4.3.8} \]

якщо\(g(c)=b\) і\(g(d) = a\) (тобто,\(\varphi(a)=\psi(d)\) і\(\varphi(b)=\psi(c)\). Зверніть увагу, що другий випадок виникає тільки в тому випадку, якщо\(\psi\) параметризується\(C\) в зворотному напрямку\(\varphi\), і в цьому випадку ми говоримо, що\(\psi\) це орієнтація репараметризації репараметризації\(\varphi\). У першому випадку, тобто коли\(\varphi(a)=\psi(c)\) і, скажемо\(\varphi(b)=\psi(d)\),\(\psi\) це орієнтація, що зберігає репараметризацію\(\varphi\). Наші результати в (\(\ref{4.3.7}\)) і (\(\ref{4.3.8}\)) потім відповідають фізичному уявленню про те, що робота, виконана силою при переміщенні об'єкта по кривій, є негативом роботи, виконаної силою при переміщенні об'єкта вздовж кривої в протилежному напрямку. Відтепер, посилаючись на криву\(C\), ми будемо вважати, що певна орієнтація, або напрямок, була вказана. Потім ми будемо використовувати\(-C\) для позначення кривої, що складається з того ж набору точок, що і\(C\), але зі зворотною орієнтацією.

Лінійні інтеграли

Тепер, коли ми знаємо, що, крім напрямку, значення інтеграла, що бере участь в обчислювальній роботі, не залежить від конкретної параметризації кривої, ми можемо констатувати формальне математичне визначення.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Припустимо,\(C\) це крива в\(\mathbb{R}^n\) з плавною параметризацією\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), де\(I = [a,b]\) інтервал в\(R\). Якщо\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) є неперервним векторним полем, то визначаємо лінійний інтеграл\(F\) уздовж\(C\), позначається

\[ \int_{C} F \cdot d s , \nonumber \]

від

\[ \int_{C} F \cdot d s=\int_{a}^{b} F(\varphi(t)) \cdot D \varphi(t) d t . \label{4.3.9} \]

Як наслідок наших попередніх зауважень, ми маємо наступний результат.

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Використовуючи позначення визначення,

\[ \int_{C} F \cdot d s \nonumber \]

залежить тільки від кривої С і її орієнтації, а не від параметризації\(\varphi\). Більш того,

\[ \int_{-C} F \cdot d s=-\int_{C} F \cdot d s . \label{4.3.10} \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(C\)Дозволяти одиниця коло по центру на початку в\(\mathbb{R}^2\), орієнтовані в напрямку проти годинникової стрілки, і нехай

\[ F(x, y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}(-y, x) . \nonumber \]

Щоб обчислити лінійний інтеграл\(F\) уздовж\(C\), нам спочатку потрібно знайти плавну параметризацію\(C\). Однією з таких параметризації є

\[ \varphi(t)=(\cos (t), \sin (t)) \nonumber \]

для\(0 \leq t \leq 2 \pi\). Тоді

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {0} ^ {2\ пі} F (\ cos (t),\ sin (t))\ cdot (-\ sin (t),\ cos (t)) д т\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ frac {1} {\ cos ^ {2\} (t) +\ sin ^ {2} (t)} (-\ sin (t),\ cos (t))\ cdot (-\ sin (t),\ cos (t)) д т\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (\ sin ^ {2 } (t) +\ cos ^ {2} (t)\ право) d t\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі} д т\\
&=2\ пі.
\ end {вирівняний}\]

Відзначимо\(\psi(t)=(\sin (t), \cos (t)), 0 \leq t \leq 2 \pi\), що, параметризує\(-C\), з чого ми можемо обчислити

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {-C} F\ cdot d s &=\ int_ {0} ^ {2\ пі} F (\ sin (t),\ cos (t))\ cdot (\ cos (t), -\ sin (t)) д т\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ frac {1} {\ sin {2} (t) +\ cos ^ {2} (t)} (-\ cos (t),\ sin (t))\ cdot (\ cos (t), -\ sin (t)) д т\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (-\ cos ^ {2 } (t) -\ sin ^ {2} (t)\ праворуч) d t\\
&=-\ int_ {0} ^ {2\ pi} д т\\
&=-2\ пі,
\ кінець {вирівняний}\]

за погодженням з попередньою пропозицією.

Кусково-плавна крива - це та, яка може бути розкладена на скінченну кількість кривих, кожна з яких має плавну параметризацію. Якщо\(C\) є кусково-гладкою кривою, що складається з об'єднання кривих\(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{m}\), то ми можемо розширити визначення прямої інтеграла до\(C\) шляхом визначення

\[ \int_{C} F \cdot d s=\int_{C_{1}} F \cdot d s+\int_{C_{2}} F \cdot d s+\cdots+\int_{C_{m}} F \cdot d s . \label{4.3.11} \]

Наступний приклад ілюструє цю процедуру.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(C\)Дозволяти бути прямокутник в\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), (2, 1), і (0, 1), орієнтовані в напрямку проти годинникової стрілки, і нехай\(F(x, y)=\left(y^{2}, 2 x y\right)\). Якщо ми дозволимо\(C_1\)\(C_2\),\(C_3\),,, і\(C_4\) бути чотири сторони\(C\), як позначені на малюнку 4.3.3, то ми можемо параметризувати\(C_1\)

\[ \alpha(t)=(t, 0) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 2, C_{2}\)по

\[ \beta(t)=(2, t) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 1, C_{3}\)по

\[ \gamma(t)=(2-t, 1) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 2\), і\(C_4\) по

\[ \delta(t)=(0,1-t) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 1\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Прямокутник проти годинникової стрілки

Тоді

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {C_ {1}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {2}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {3}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {4}} F\ cdot d s\\
int=\ _ {0} ^ {2} F (t, 0)\ cdot (1,0) d t+\ int_ {0} ^ {1} F (2, t)\ cdot (0,1) d t+\ int_ {0} ^ {2} F (2-t, 1)\ cdot (-1,0) д т\\
& підсилювач; +\ int_ {0} ^ {1} F (0,1-t)\ cdot (0, -1) д т\\
=&\ int_ {0} ^ {2} (0,0)\ cdot (1,0) d t+\ int_ {0} ^ {1}\ вліво (t^ {2}, 4 т\ праворуч)\ cdot (0,1) d t+\ int_ {0} ^ {2} (1,4-2 т)\ cdot (-1,0) d t\\
&\ quad+\ int_ {0} ^ {1}\ лівий ((1-т) ^ {2}, 0\ праворуч)\ cdot (0, -1) d t\\
=&\ int_ {0} ^ {2 0} d t+\ int_ {0} ^ {1} 4 т д т+\ int_ {0} ^ {2} (-1) d t+\ int_ {0} ^ {1} 0 д т\\
=&\ ліво.2 t^ {2}\ право|_ {0} ^ {1} -2\\
=& 2-2\
=& 0.
\ end {вирівняний}\]

Зверніть увагу, що було б трохи простіше параметризувати\(-C_3\) і\(-C_4\), використовуючи

\[ \varphi(t)=(1, t) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 2\), і

\[ \psi(t)=(t, 0) , \nonumber \]

\(0 \leq t \leq 1\), відповідно, ніж параметризувати\(C_3\) і\(C_4\) безпосередньо. Тоді ми б оцінили

\[ \int_{C} F \cdot d s=\int_{C_{1}} F \cdot d s+\int_{C_{2}} F \cdot d s-\int_{-C_{3}} F \cdot d s-\int_{-C_{4}} F \cdot d s . \nonumber \]

Примітка про позначення

Припустимо,\(C\) це плавна крива в\(\mathbb{R}^n\), параметризується\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), де\(I = [a,b]\), і нехай\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) буде безперервне векторне поле. Наше позначення для лінійного інтеграла\(F\) уздовж\(C\) походить від\(s = \varphi (t) \) здачі, з якого ми маємо

\[ \frac{d s}{d t}=D \varphi(t) , \nonumber \]

який ми можемо написати, символічно, як

\[ d s=D \varphi(t) d t . \nonumber \]

Тепер припустимо\(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}\) і\(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\) є компонентними функціями\(\varphi\) і\(F\), відповідно. Якщо ми дозволимо

\ [\ почати {зібраний}
x_ {1} =\ varphi_ {1} (t),\\
x_ {2} =\ varphi_ {2} (t),\
\ vdots\\
x_ {n} =\ varphi_ {n} (t),
\ кінець {зібраний}\]

тоді ми можемо написати

\ [\ почати {вирівняти}
\ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {a} ^ {b} F (\ varphi (t))\ cdot D\ варфі (t) d t\ nonномер\\
&=\ int_ {a} ^ {b} F\ лівий (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ l точки, x_ {n} (t)\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ varphi_ {1} ^ {\ прайм} (t),\ varphi_ {2} ^ {\ прайм} (t),\ ldots,\ varphi_ {n} ^ {\ прайм} (t)\ право) d t\ nonumber\\
&\ ліворуч. =\ int_ {a} ^ {b}\ ліворуч (F_ {1}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n} (t)\ праворуч)\ varphi_ {1} ^ {\ прайм} (t) +F_ {2}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n} (t)\ праворуч)\ varphi_ {2} ^ {\ правий} (t)\ правий) +\ cdots+f_ {n}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n} (t)\ праворуч)\ varphi_ {n} ^ {правий} (t)\ праворуч) d t\ nonnumber\\
& =\ int_ {a} ^ {b} F_ {1}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n} (t)\ праворуч)\ varphi_ {1} ^ {\ прайм} (t) d t+\ int_ {a} ^ {b} F_ {2}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n} (t)\ праворуч)\ varphi_ {2} ^ {\ прайм} (t) d t+\ cdots+\ int_ {a} ^ {b} F_ {n}\ ліворуч (x_ {1} (t), x_ {2} (t),\ ldots, x_ {n}} (t)\ право)\ varphi_ {n} ^ {\ прайм} (t) d t. \ етикетка {4.3.12}
\ кінець {вирівнювання}\]

Пригнічуючи залежність від\(t\), записуючи\(d x_{k}\) для\(\varphi_{k}^{\prime}(t) d t, k=1,2, \ldots, n\) та використовуючи лише єдиний інтегральний знак, ми можемо переписати (\(\ref{4.3.12}\)) як

\[ \int_{C} F_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1}+F_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{2}+\cdots+F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{n} . \label{4.3.13} \]

Це загальне і корисне позначення для лінійного інтеграла.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Ми оцінимо

\[ \int_{C} y d x+x d y+z^{2} d z , \nonumber \]

де\(C\) частина спіралі\(\mathbb{R}^3\) з параметричними рівняннями

\ [\ почати {вирівняний}
&x =\ cos (t),\\
&y=\ sin (t),\\
&z=t,
\ end {вирівняний}\]

\(0 \leq t \leq 2 \pi\). Зверніть увагу, що це еквівалентно оцінці

\[ \int_{C} F \cdot d s , \nonumber \]

де\(F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) - векторне поле\(F(x, y, z)=\left(y, x, z^{2}\right)\). У нас є

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {C} y д х+х г й+z^ {2} д з &=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (\ sin (t) (-\ sin (t)) +\ cos (t)\ cos (t) +t^ {2}\ праворуч) д т\\\ =\ int_ {0} ^ {2}\ праворуч) d t\\\
=\ int_ {0} ^ {2}\ пі}\ ліворуч (\ cos ^ {2} (t) -\ sin ^ {2} (t) +t^ {2}\ праворуч) d t\\
&=\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (\ cos (2 t) +t^ {2}\ праворуч) d t\\
&=\ ліворуч. \ frac {1} {2}\ sin (2 т)\ праворуч |_ {0} ^ {2\ pi} +\ ліворуч. \ гідророзриву {1} {3} t^ {3}\ right|_ {0} ^ {2\ pi}\
&=\ гідророзриву {8\ pi^ {3}} {3}.
\ end {вирівняний}\]

Градієнтні поля

Нагадаємо, що якщо\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) є\(C^1\), то\(\nabla f\) є безперервним векторним полем на\(\mathbb{R}^n\). Припустимо\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}, I=[a, b]\), це плавна параметризація кривої\(C\). Потім, використовуючи правило ланцюга і фундаментальну теорему числення,

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {C}\ набла ф\ cdot d s &=\ int_ {a} ^ {b}\ набла f (\ варфі (t))\ cdot D\ варфі (т) д\\
&=\ int_ {a} ^ {b}\ frac {d} {d t} f (\ варфі (t)) d\ t\
&=\ ліво.f (\ варфі (t))\ праворуч |_ {a} ^ {b}\\
&=f (\ варфі (b)) -f (\ варфі (а)).
\ end {вирівняний}\]

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) є\(C^1\) і\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}, I=[a, b]\), є плавною параметризації кривої\(C\), то

\[ \int_{C} \nabla f \cdot d s=f(\varphi(b))-f(\varphi(a)) . \label{4.3.14} \]

Зауважте, що (\(\ref{4.3.14}\)) показує, що значення лінійного інтеграла векторного поля градієнта залежить лише від початкової та кінцевої точок кривої, а не від того, який конкретний шлях береться між цими двома точками. Крім того, (\(\ref{4.3.14}\)) надає простий засіб для оцінки лінійного інтеграла, якщо задане векторне поле можна ідентифікувати як градієнт скалярної функції. Ще одним цікавим наслідком є те, що якщо початкова і кінцева точки однакові, тобто якщо\(\mathbf{v}=\varphi(a)=\varphi(b)\), то\(C\)

\[ \int_{C} \nabla f \cdot d s=f(\varphi(b))-f(\varphi(b))=f(\mathbf{v})-f(\mathbf{v})=0 . \]

Ми називаємо такі криві замкнутими кривими. Словом, лінійний інтеграл векторного поля градієнта дорівнює 0 уздовж будь-якої замкнутої кривої.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Якщо\(F(x, y)=(y, x)\), то

\[ F(x, y)=\nabla f(x, y) , \nonumber \]

де\(f(x, y)=x y\). Отже, наприклад, для будь-якої плавної кривої, що\(C\) починається з (−1, 1) і закінчується на (1, 1), ми маємо

\[ \int_{C} F \cdot d s=f(1,1)-f(-1,1)=1+1=2 . \nonumber \]

Зауважте, що це узгоджується з результатом у нашому першому прикладі вище, де\(C\) була частина параболи, що\(y=x^2\) простягається від (−1, 1) до (1, 1).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Якщо\(f(x, y)=x y^{2}\), то

\[ \nabla f(x, y)=\left(y^{2}, 2 x y\right) . \nonumber \]

Якщо\(C\) прямокутник\(\mathbb{R}^2\) з вершинами в (0, 0), (2, 0), (2, 1) і (0, 1), то, оскільки\(C\) є замкнутою кривою,

\[ \int_{C} y^{2} d x+2 x y d y=0 , \nonumber \]

за погодженням з більш раннім прикладом. Аналогічно, якщо\(E\) одиниця окружності в\(\mathbb{R}^2\) центрі на початку, то ми знаємо, що

\[ \int_{E} y^{2} d x+2 x y d y=0 , \nonumber \]

без необхідності подальших обчислень.

У фізиці силове поле\(F\) вважається консервативним, якщо робота, виконана\(F\) при переміщенні об'єкта між будь-якими двома точками, залежить тільки від точок, а не від шляху, який використовується між двома точками. Зокрема, ми показали, що якщо\(F\) градієнт якоїсь скалярної функції\(f\), то\(F\) є консервативним силовим полем. За певних умов в області\(F\), зворотне вірно, а також. Тобто при певних умовах, якщо\(F\) є консервативним силовим полем, то існує скалярна функція\(f\) така, що\(F = \nabla f\). Вправа 9 досліджує одну таку ситуацію, в якій це вірно. \(f\)Функція тоді відома як потенційна функція.