4.2.E: Найкращі афінні наближення (вправи)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть найкраще афінне наближення для кожної з наступних функцій у вказаній точці\(\mathbf{c}\).

(а)\(f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, 3 x y\right), \mathbf{c}=(1,2) \)

(б)\(g(x, y, z)=(\sin (x+y+z), x y \cos (z)), \mathbf{c}=\left(0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

(c)\(h(s, t)=\left(3 s^{2}+t, s-t, 4 s t^{2}, 4 t-s\right), \mathbf{c}=(-1,3)\)

Відповідь

(a)\ (A (x, y) =\ left [\ begin {масив} {ll}
2 & 4\\
6 & 3
\ end {масив}\ право]\ лівий [\ begin {масив} {l}
x-1\
y-2
\ end {масив}\ праворуч] +\ left [\ begin {масив} {l}
5\\
6
\ end {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
2 x+4 y-5\\
6 x+3 y-6
\ end {масив}\ праворуч]\)

(c)\ (A (s, t) =\ лівий [\ почати {масив} {rr}
-6 & 1\\
1 & -1\\
36 & -24\\
-1 & 4
\ end {масив}\ справа]\ лівий [\ begin {масив} {l}
s+1\\
t-3
\ end {масив}\ праворуч ] +\ лівий [\ begin {масив} {c}
6\\

-4\\ -36\
\
13\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {c}
-6 с+t-3\\
s-t\\
36 s-24 t+72\\
-2+4 t
\ end {масив}\ право]\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Кожна з наступних функцій параметризує поверхню\(S\) в\(\mathbb{R}^3\). У кожному конкретному випадку знайдіть параметричні рівняння для дотичної площини,\(P\) що проходить через точку\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\). Сюжет\(S\) і\(P\) разом.

(а)\(f(s, t)=(t \cos (s), t \sin (s), t),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)\)

(б)\(f(s, t)=\left(t^{2} \cos (s), t^{2}, t^{2} \sin (s)\right),\left(s_{0}, t_{0}\right)=(0,1)\)

(c)\(f(s, t)=(\cos (s) \sin (t), \sin (s) \sin (t), \cos (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)

(г)\(f(s, t)=(3 \cos (s) \sin (t), \sin (s) \sin (t), 2 \cos (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

(е)\(f(s, t)=((4+2 \cos (t)) \cos (s),(4+2 \cos (t)) \sin (s), 2 \sin (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

Відповідь

(а)\(x=-2 s+\pi, y=t, z=t\)

(c)\(x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(s-\frac{\pi}{2}\right)\)

(e)\ (\ почати {вирівняний}
& x=- (2\ sqrt {2} +1)\ лівий (s-\ frac {3\ pi} {4}\ праворуч) +\ лівий (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) -2\ sqrt {2} -1\
&y=- (2\ sqrt {2} +1)\ лівий (s-\ frac {3\ pi} {4}\ праворуч) -\ ліворуч (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +2\ sqrt {2} +1\\
&y=\ sqrt {2}\ ліворуч (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +\ sqrt {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(S\)Дозволяти графік функції\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\). Визначте функцію\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^3 \) по\(F(s, t)=(s, t, f(s, t))\). Ми можемо знайти рівняння для площини дотичної до\(S\) at,\(\left(s_{0}, t_{0}, f\left(s_{0}, t_{0}\right)\right)\) використовуючи або методи Розділу 3.3 (розглядаючи\(S\) як графік\(f\)), або методи цього розділу (дивлячись\(S\) як на поверхню параметризується\(F\)). Переконайтеся, що ці два підходи дають рівняння для однієї площини, як в особливому випадку, коли\(f(s,t) = s^2 + t^2 \) і\(\left(s_{0}, t_{0}\right)=(1,2)\), так і в загальному випадку.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте правило ланцюга, щоб знайти похідну\(f \circ g\) в точці\(\mathbf{c}\) для кожного з наступних.

(а)\(f(x, y)=\left(x^{2} y, x-y\right), g(s, t)=\left(3 s t, s^{2}-4 t\right), \mathbf{c}=(1,-2)\)

(б)\(f(x, y, z)=(4 x y, 3 x z), g(s, t)=\left(s t^{2}-4 t, s^{2}, \frac{4}{s t}\right), \mathbf{c}=(-2,3)\)

(c)\(f(x, y)=\left(3 x+4 y, 2 x^{2} y, x-y\right), g(s, t, u)=\left(4 s-3 t+u, 5 s t^{2}\right), \mathbf{c}=(1,-2,3)\)

Відповідь

(a)\ (D (f\ circ g) (1, -2) =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
720 & -468\\
-8 & 15
\ end {масив}\ праворуч]\)

(c)\ (D (f\ circ g) (1, -2,3) =\ ліворуч [\ почати {масив} {ccc}
92 & -89 & 3\\
10920 & -9880 & 1040\\
-16 & 17 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Припустимо

\ [\ почати {вирівняний}
&х = f (u, v),\\
&y=g (u, v),
\ кінець {вирівняний}\]

і

\ [\ begin {
вирівняний} &u = h (s, t),\\
&v=k (s, t).
\ end {вирівняний}\]

(а) Покажіть, що

\[ \frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial s} \nonumber \]

і

\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t} . \nonumber \]

(b) Знайти подібні вирази для\(\frac{\partial y}{\partial s}\) і\(\frac{\partial y}{\partial t}\).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Використовуйте свої результати у Вправі 5, щоб знайти\(\frac{\partial x}{\partial s}, \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial s}\), і\(\frac{\partial y}{\partial t}\) коли

\ [\ почати {вирівняний}
&x = u^ {2} v,\\
&y=3 u-v,
\ end {вирівняний}\]

і

\ [\ почати {
вирівняний} &u = 4 t^ {2} -s^ {2},\\
&v=\ розриву {4 t} {s}.
\ end {вирівняний}\]

Відповідь

\ (\ почати {вирівняний}
&\ розриву {\ частковий x} {\ частковий s} =( 2 u v) (-2 с) +\ лівий (u^ {2}\ праворуч)\ лівий (-\ frac {4 t} {s^ {2}}\ праворуч)\\
&\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} =( 2 u v) (8 т) +\ лівий (u^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (\ frac {4} {s}\ праворуч)\\
&\ frac {\ часткове y} {\ часткове s} =( 3) (-2 с) + (-1)\ ліворуч (-\ frac {4 t} {s^ {2}}\ праворуч)\\\
\ frac {\ часткове y} {\ часткове t} =( 3) (8 т) + (-1)\ лівий (\ frac {4} {s}\ правий)
\ кінець {вирівняний}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Припустимо,\(T\) є функцією\(x\) і\(y\) де

\ [\ begin {вирівняний}
&x = r\ cos (\ тета),\\
&y=r\ sin (\ тета).
\ end {вирівняний}\]

Покажіть, що

\[ \frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\partial T}{\partial x} \cos (\theta)+\frac{\partial T}{\partial y} \sin (\theta) \nonumber \]

і

\[ \frac{\partial T}{\partial \theta}=-\frac{\partial T}{\partial x} r \sin (\theta)+\frac{\partial T}{\partial y} r \cos (\theta) . \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Припустимо, температура в точці\((x,y)\) в площині задається

\[ T=100-\frac{20}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} . \nonumber \]

(a) Якщо\((r , \theta )\) представляє полярні координати\((x,y)\), скористайтеся вправою 7, щоб знайти\(\frac{\partial T}{\partial r}\) і\(\frac{\partial T}{\partial \theta}\) коли\(r=4\) і\(\theta = \frac{\pi}{6}\).

(b) Показати, що\(\frac{\partial T}{\partial \theta}=0\) для всіх значень\(r\) і\(\theta\). Чи можете ви пояснити цей результат геометрично?

Відповідь

(а)\(\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=4, \theta=\frac{\pi}{6}}=\frac{80}{17 \sqrt{17}},\left.\frac{\partial T}{\partial \theta}\right|_{r=4, \theta=\frac{\pi}{6}}=0\)

(b) Криві рівня\(T\) є колами.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(T\)Дозволяти тор параметризований

\ [\ почати {вирівняний}
&x =( 4+2\ cos (t))\ cos (s),\\
&y =( 4+2\ cos (t))\ sin (s),\\
&z = 2\ sin (t),
\ end {вирівняний}\]

для\(0 \leq s \leq 2 \pi\) і\(0 \leq t \leq 2 \pi\).

(a) Якщо\(U\) є функцією\(x\), і\(y\)\(z\), знайти загальні вирази для\(\frac{\partial U}{\partial s}\) і\(\frac{\partial U}{\partial t}\).

(б) Припустимо

\[ U=80-40 e^{-\frac{1}{20}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \nonumber \]

дає температуру в точці\((x,y,z)\) на\(T\). Знайти вирази для\(\frac{\partial U}{\partial s}\) і\(\frac{\partial U}{\partial t}\) в цьому випадку. Яка геометрична інтерпретація цих величин?

(c) Оцінити\(\frac{\partial U}{\partial s}\) і\(\frac{\partial U}{\partial t}\) в конкретному випадку\(s=\frac{\pi}{4}\) і\(t=\frac{\pi}{4}\).