4.2: Найкращі афінні наближення

Найкращі афінні наближення

Наступні визначення повинні виглядати дуже звично.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) визначається на відкритому кулі, що містить точку\(\mathbf{c}\). Ми називаємо афінну функцію\(A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) найкращим афінним наближенням до\(f\) at\(\mathbf{c}\) if (1)\(A(\mathbf{c})=f(\mathbf{c})\) і (2)\(\|R(\mathbf{h})\|\) є\(o(\mathbf{h})\), де

\[ R(\mathbf{h})=f(\mathbf{c}+\mathbf{h})-A(\mathbf{c}+\mathbf{h}) . \]

Припустимо,\(A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) найкраще афінне наближення до\(f\) ат\(\mathbf{c}\). Тоді з нашої роботи в Розділі 1.5 існує\(n \times m\) матриця\(M\) і вектор\(\mathbf{b}\) в\(\mathbb{R}^n\) такому, що

\[ A(\mathbf{x})=M \mathbf{x}+\mathbf{b} \]

для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^m\). Причому умова\(A(\mathbf{c})=f(\mathbf{c})\) має на увазі\(f(\mathbf{c})=M \mathbf{c}+\mathbf{b}\), і так\(\mathbf{b}=f(\mathbf{c})-M \mathbf{c}\). Звідси ми маємо

\[ A(\mathbf{x})=M \mathbf{x}+f(\mathbf{c})-M \mathbf{c}=M(\mathbf{x}-\mathbf{c})+f(\mathbf{c}) \label{4.2.3} \]

для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^m\). Таким чином, щоб знайти найкраще афінне наближення, нам потрібно лише ідентифікувати матрицю\(M\) в (\(\ref{4.2.3}\)).

Визначення\(\PageIndex{2}\)

Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) визначається на відкритому кулі, що містить точку\(\mathbf{c}\). Якщо\(f\) має найкраще афінне наближення на\(\mathbf{c}\), то ми говоримо,\(f\) що диференційовний на\(\mathbf{c}\). Більш того, якщо найкраще афінне наближення до\(f\) at\(\mathbf{c}\) задається

\[ A(\mathbf{x})=M(\mathbf{x}-\mathbf{c})+f(\mathbf{c}) , \]

то ми називаємо\(M\) похідну\(f\) at\(\mathbf{c}\) і пишемо\(D f(\mathbf{c})=M\).

Тепер припустимо\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) і\(A\) є афінною функцією с\(A(\mathbf{c})=f(\mathbf{c})\). \(f_k\)_{\(A_k\)}Дозволяти і бути\(k\) й координатні функції\(f\) і\(A\), відповідно, for\(k=1,2, \ldots, n\), і let\(R\) - функція залишку

\ [\ почати {вирівняний}
R (\ mathbf {h}) &=f (\ mathbf {c} +\ mathbf {h}) -A (\ mathbf {c} +\ mathbf {h})\
&=\ лівий (f_ {1} (\ mathbf {c} +\ mathbf {h}) -A_ {1} (\ mathbf {c} +\ mathbf {h}), f_ {2} (\ mathbf {c} +\ mathbf {h}) -A_ {2} (\ mathbf {c} +\ mathbf {h}),\ ldots, f_ {n} (\ mathbf {c} +\ mathbf {c} +\ mathbf thbf {h}) -A_ {n} (\ mathbf {c} +\ mathbf { h})\ праворуч).
\ end {вирівняний}\]

Тоді

\[ \frac{R(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}=\left(\frac{f_{1}(\mathbf{c}+\mathbf{h})-A_{1}(\mathbf{c}+\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}, \frac{f_{2}(\mathbf{c}+\mathbf{h})-A_{2}(\mathbf{c}+\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}, \ldots, \frac{f_{n}(\mathbf{c}+\mathbf{h})-A_{n}(\mathbf{c}+\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}\right) , \nonumber \]

і так

\[ \lim _{\mathbf{h} \rightarrow \mathbf{0}} \frac{\| R(\mathbf{h} \|}{\|\mathbf{h}\|}=0 , \]

тобто\(A\) є найкращим афінним наближенням до\(f\) at\(\mathbf{c}\), якщо і тільки якщо

\[ \lim _{\mathbf{h} \rightarrow \mathbf{0}} \frac{f_{k}(\mathbf{c}+\mathbf{h})-A_{k}(\mathbf{c}+\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}=0 \label{4.2.6} \]

для\(k=1,2, \ldots, n\). Але (\(\ref{4.2.6}\)) - це твердження, яке\(A_k\) є найкращим афінним наближенням до\(f_k\) at\(\mathbf{c}\). Іншими словами,\(A\) це найкраще афінне наближення до\(f\) at,\(\mathbf{c}\) якщо і тільки якщо\(A_k\) є найкращим афінним наближенням до\(f_k\) at\(\mathbf{c}\) for \(k=1,2, \ldots, n\). Такий результат має багато цікавих наслідків.

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\) це\(k\) координатна функція\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), то\(f\) диференціюється в точці,\(\mathbf{c}\) якщо і тільки якщо\(f_k\) диференційована в\(\mathbf{c}\) for\(k=1,2, \ldots, n\).

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(f_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\) це\(k\) координатна функція\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), то ми говоримо, що\(f\) знаходиться\(C^1\) на відкритому множині,\(U\) якщо\(f_k\) _\(C^1\)на\(U\) для\(k=1,2, \ldots, n\).

Помістивши наші результати в Розділ 3.3 разом з попередньою пропозицією та визначенням, ми маємо наступний базовий результат.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) знаходиться\(C^1\) на відкритому кулі, що містить точку\(\mathbf{c}\), то\(f\) диференціюється в\(\mathbf{c}\).

Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) диференційовний\(\mathbf{c}=\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{m}\right)\) при кращому афінному наближенні\(A\) \(f_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\)і і\(A_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\) є координатними функціями\(f\) і\(A\), відповідно, for\(k=1,2, \ldots, n\). Оскільки\(A_k\) це найкраще афінне наближення до\(f_k\) at\(\mathbf{c}\), ми знаємо з розділу 3.3, що

\[ A_{k}(\mathbf{x})=\nabla f_{k}(\mathbf{c}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{c})+f_{k}(\mathbf{c}) \]

для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^m\). Отже, записуючи вектори як вектори стовпців, ми маємо

\ [\ почати {вирівняти}
A (\ mathbf {x}) =&\ лівий [\ почати {масив} {c}
A_ {1} (\ mathbf {x})\\
A_ {2} (\ mathbf {x})\\\ vdots
\\
A_ {n} (\ mathbf {x})\ кінець {масив}
\\ вправо\ nonumber\\
=&\ left [\ begin {масив} {cccc}
\ набла f_ {1} (\ mathbf {c})\ точка (\ mathbf {x} -\ mathbf {c}) +f_ {1} (\ mathbf {c})\
\ набла f_ {2} (\ mathbf {c})\ cdot (\ mathbf {x} -\ mathbf {c}) +f_ {2} (\ mathbf {c})\\
vdots\
\ nabla f_ {n} (\ mathbf {c})\ cdot (\ mathbf {x} -\ mathbf {c}) +f_ {n} (\ mathbf {c})
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\\
=&\ лівий [\ почати {масив} {cccc}
\ розрив {\ частковий} {\ частковий x_ {1}} f_ {1} (\ mathbf {c}) &\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {2}} f_ {1} (\ mathbf {c}) &\ cdots &\ frac\ часткове} {x_ {m}} f_ {1} (\ mathbf {c})
\\ розрив {\ часткове} {\ часткове x_ {1}} f_ {2} (\ mathbf {c}) &\ frac {\ часткове} {\ часткове x_ {2}} f_ {2} (\ mathbf {c}) &\ cdots &\ frac {\ часткове} {x_ {m}} f_ {2} (\ mathbf {c})\\ vdots &\ ddots\\ vdots\\\ vdots\
\ vdots\\\ vdots\\ vdots\\\ vdots
\\ vdots\\\ vdots\\ vdots\\\ vdots частковий} {\ частковий x_ {1}} f_ {n} (\ mathbf {c}) &\ розрив {\ частковий} {\ частковий x_ {2}} f_ {n} (\ mathbf {c}) & amp;\ cdots &\ frac {\ часткове} {x_ {m}} f_ {n} (\ mathbf {c})
\ кінець {масив}\ вправо]\ лівий [\ початок {масив} {c}
x_ {1} -c_ {2} -c_ {2}\\ vdots\\
x_ {m} -c_ {2}
\\ vdots\\
x_ {m} -c_ {m}
\ end {масив}\ справа] +\ лівий [\ begin {масив} {c}
f_ {1} (\ mathbf {c})\\
f_ {2} (\ mathbf {c})\
\ vdots\\
f_ {m} (\ mathbf {c})
\ end {масив}\ право]. \ мітка {4.2.8}
\ кінець {вирівнювання}\]

Звідси випливає, що\(n \times m \) матриця in (\(\ref{4.2.8}\)) є похідною від\(f\).

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Якщо\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) диференційовна в точці\(\mathbf{c}\), то похідна\(f\) at\(\mathbf{c}\) задається шляхом

\ [D f (\ mathbf {c}) =\ лівий [\ почати {масив} {cccc}
\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {1}} f_ {1} (\ mathbf {c}) &\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {2}} f_ {1} (\ mathbf {c}) &\ cdots &\ frac {\ часткове} {x_ {m}} f_ {1} (\ mathbf {c})\
\ гідророзриву {\ часткове} {\ часткове x_ {1}} f_ {2} (\ mathbf {c}) &\ frac {\ часткове } {\ часткове x_ {2}} f_ {2} (\ mathbf {c}) &\ cdots &\ frac {\ часткове} {x_ {m}} f_ {2} (\ mathbf {c})\\ vdots &
\ ddots &\\ vdots\\ vdots\\
\ frac {\ частковий} {\ частковий} {\ частковий x_ {1} f_ {n} (\ mathbf {c}) &\ frac {\ часткове} {\ часткове x_ {2}} f_ {n} (\ mathbf {c}) &\ cdots &\ frac {\ частковий} {x_ {m}} f_ {n} (\ mathbf {c})
\ кінець {масив}\ право]. \ етикетка {4.2.9}\]

Ми називаємо матрицю в (\(\ref{4.2.9}\)) якобійської матриці\(f\), на честь німецького математика Карла Густава Якоба Якобі (1804-1851). Зауважте, що ми бачили цю матрицю раніше в нашому обговоренні зміни змінних в інтегралах в розділі 3.7.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо функцію,\(f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) визначену

\[ f(x, y, z)=(x y z, 3 x-2 y z) . \nonumber \]

Координатні функції\(f\) є

\[ f_{1}(x, y, z)=x y z \nonumber \]

і

\[ f_{2}(x, y, z)=3 x-2 y z \text {. } \nonumber \]

Зараз

\[ \nabla f_{1}(x, y, z)=(y z, x z, x y) \nonumber \]

і

\[ \nabla f_{2}(x, y, z)=(3,-2 z,-2 y) , \nonumber \]

так Якобійський\(f\) з

\ [D f (x, y, z) =\ left [\ begin {масив} {ccc}
y z & x z & x y\\
3 & -2 z & -2 y
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Звідси, наприклад,

\ [D f (1,2, -1) =\ left [\ begin {масив} {rrr}
-2 & -1 & 2\\
3 & 2 & -4
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Оскільки найкращим\(f(1,2,-1)=(-2,7)\) афінним наближенням до\(f\) at (1, 2, −1) є

\ [\ почати {
вирівняний} A (x, y, z) &=\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
-2 & -1 & 2\\
3 & -4
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ begin {масив} {l}
x-1\
y-2\
z+1
\ end {масив}\ праворуч] +\ лівий [\ begin { масив} {r}
-2\\
7
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ лівий [\ початок {масив} {c}
-2 (x-1) - (y-2) +2 (z+1) -2\\
3 (x-1) +2 (y-2) -4 (z+1) +7
\ end {масив}\ праворуч]\\
&=\ лівий [\ почати {масив} {c}
-2 x-y+2 z+4\\
3 x+2 y-4 z-4
\ end {масив}\ справа].
\ end {вирівняний}\]

дотичні площини

Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) параметризує поверхню\(S\) в\(\mathbb{R}^3\). Якщо\(f_1\)\(f_2\), і\(f_3\) є координатними функціями\(f\), то найкраще афінне наближення до\(f\) точки\((s_0,t_0)\) задається

\ [\ begin {вирівнювання}
&A (s, t) =\ left [\ begin {масив} {ll}
\ frac {\ partial} {\ partial}} f_ {1}\ лівий (t_ {0}, s_ {0}\ праворуч) &\ frac {\ частковий} {1}\ лівий (t_ {0}\ правий) &\ frac {\ partial}} f_ {1}\ лівий (t_ {0}, s_ {0}
\ правий)\\\ frac {\ часткове} {\ часткове s} f_ {2}\ ліворуч (t_ {0}, s_ {0}\ праворуч) &\ frac {\ часткове} {\ часткове t} f_ {2}\ ліворуч (t_ {0}, s_ {0}\ праворуч)\\ frac {\ часткове} {
\ часткове s} f_ {3}\ ліворуч (t_ {0}, s_ {0}\ праворуч) &\ frac {\ часткове} {\ часткове t} f_ {3}\ ліворуч (t_ {0}, s_ {0}\ правий) &\ frac {\ частковий} {3}\ лівий (t_ {0}, s_ {0}
\ правий} праворуч)\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {c}
s-s_ {0}\
t-t_ {0}
\ end {масив }\ праворуч] +\ ліворуч [\ почати {масив} {l}
f_ {1}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\
f_ {2}\ лівий (s_ {0}}, t_ {0}\ правий)\\
f_ {3}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ правий)
\ кінець {масив}\ праворуч\ nonumber\\
&=\ left [\ begin {масив} {l}
\ frac {\ частковий} {\ частковий s} f_ {1}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\ frac {
\ часткове} {\ часткове s} f_ {2}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\ frac {\ частковий} {3}
\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ правий)\\ frac {\ partial}} f_ {3}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}
\ правий)\ end {масив}\ праворуч]\ лівий (s-s_ {0}\ праворуч) +\ left [\ begin {масив} {l}
\ frac {\ partial} {\ partial} f_ {1} \ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ право)\\ розрив {
\ частковий} {\ частковий} f_ {2}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\ frac {
\ частковий} {\ частковий}} f_ {3}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ правий)\ кінець {масив}
\ праворуч]\ ліворуч (t_ {0}\ праворуч) +\ лівий [\ begin {масив} {l}
f_ {1}\ left (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\
f_ {2}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\\
f_ {3}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)
\ end {масив}\ праворуч]\ мітка {4.2.10}
\ end {вирівняти}\]

Якщо вектори

\ [\ mathbf {v} =\ left [\ begin {масив} {l}
\ frac {\ часткове} {\ часткове s} f_ {1}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)
\\ frac {\ частковий} {2}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ правий)\\ frac {
\ часткове} {\ часткове s} f_ {3}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)
\ end {масив}\ праворуч]\ мітка {4.2.11} \]

і

\ [\ mathbf {w} =\ лівий [\ почати {масив} {l}
\ frac {\ частковий} {\ частковий t} f_ {1}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)\
\ frac {\ частковий} {\ частковий t} f_ {2}\ лівий (s_ {0}, t_ {0}\ правий)\\
frac {\ часткове} {\ часткове t} f_ {3}\ ліворуч (s_ {0}, t_ {0}\ праворуч)
\ end {масив}\ право]\ мітка {4.2.12} \]

лінійно незалежні, то (\(\ref{4.2.10}\)) має на увазі, що зображення\(A\) є площиною\(\mathbb{R}^3\), в якій проходить через точку\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\) на поверхні\(S\). Більше того, якщо ми дозволимо\(C_1\) бути кривою на\(S\) через точку\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\) параметризованої\(\varphi_{1}(s)=f\left(s, t_{0}\right)\) і\(C_2\) бути кривою на\(S\) через точку\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\) параметризованої\(\varphi_{2}(t)=f\left(s_{0}, t\right)\), то\(\mathbf{v}\) дотична до\(C_1\) at\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\) і\(\mathbf{w}\) дотична до\(C_2\) at\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\). Звідси ми називаємо зображення\(A\) дотичної площини до поверхні\(S\) в точці\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(T\)Дозволяти тор параметризований

\[ f(s, t)=((3+\cos (t)) \cos (s),(3+\cos (t)) \sin (s), \sin (t)) \nonumber \]

для\(0 \leq s \leq 2 \pi\) і\(0 \leq t \leq 2 \pi\). Тоді

\ [D f (s, t) =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
- (3+\ cos (t))\ sin (s) & -\ sin (t)\ cos (s)\
(3+\ cos (t))\ cos (s) & -\ sin (t)\ sin (s)\\ sin (s)\\
0 & cos (t)
\ кінець {масив}\ право. \ номер\]

Таким чином, наприклад,

\ [\ ім'я оператора {Df}\ лівий (\ frac {\ pi} {2},\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) =\ лівий [\ початок {масив} {cc}
-\ лівий (3+\\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч) & 0\\ 0 & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч) &
0\\ 0 & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {масив}\ право]. \ номер\]

Так як

\[ f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)=\left(0,3+\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text {, } \nonumber \]

найкраще афінне наближення до\(f\) at\(\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)\) - це

\ [A (s, t) =\ лівий [\ почати {масив} {cc}
-\ лівий (3+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч) & 0\\
0 & -\ frac {1} {\ sqrt {1}}\ кінець {1}\ кінець {масив}\ праворуч]\\
0 &\ frac {1} {
\ sqrt {2}}\ кінець {масив}\ праворуч]\\ лівий [почати {масив} {c}
s-\ frac {\ pi} {2}\\
t-\ frac {\ pi} {4}
\ end {масив}\ праворуч] +\ лівий [\ begin {масив} {c}
0\\
3+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ кінець {масив}\ право]\ nonumber\]

\ [=\ лівий [\ почати {масив} {c}
-\ лівий (3+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч)\\
0\
0
\ кінець {масив}\ праворуч]\ ліворуч (s-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) +\ лівий [\ почати {масив} {c}
0\\
-\ frac {1} {\ sqr rt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end { масив}\ праворуч]\ лівий (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +\ лівий [\ begin {масив} {c}
0\\
3+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {2}
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Звідси

\ [\ почати {вирівняний}
&x=-\ лівий (3+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч)\ лівий (s-\ frac {\ pi} {2}\ pi} {2}\ правий),\\
&y=-\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ ліворуч (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +3+\ frac {1} {\ sqrt {2}},\\
&z=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ ліворуч (t-\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +\ frac {1} {\ sqrt {2}},
\ end { вирівняні}\]

параметричні рівняння для площини\(P\) дотичної до\(T\) at\(\left(0,3+\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\). Див. Малюнок 4.2.1.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Тор з дотичною площиною

Правило ланцюга

Зараз ми можемо викласти правило ланцюга в найзагальнішому вигляді. Розглянемо функції\(g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{q}\) і\(f: \mathbb{R}^{q} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) і припустимо\(g\) \(f\)диференційовний при\(\mathbf{c}\) і диференційовний при\(g(\mathbf{c})\). \(h: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\)Дозволяти композиції\(h(\mathbf{x})=f(g(\mathbf{x}))\) і позначають координатні функції\(f\)\(g\), і\(h\) по\(f_{i}, i=1,2, \ldots, n, g_{j}, j=1,2 \ldots, q\), і\(h_{k}, k=1,2, \ldots, n\), відповідно. Тоді, для того\(k=1,2, \ldots, n\),

\[ h_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)=f_{k}\left(g_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right), g_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right), \ldots, g_{q}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right) . \nonumber \]

Тепер, якщо ми виправити\(m-1\) змінних\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\), скажімо, все\(x_j\), але, то\(h_k\) це склад функції від\(\mathbb{R}\) до\(\mathbb{R}^q\) з функцією від\(\mathbb{R}^q\) до\(\mathbb{R}\). Таким чином, ми можемо використовувати правило ланцюга з розділу 3.3 для обчислення\(\frac{\partial}{\partial x_{j}} h_{k}(\mathbf{c})\), а саме:

\ [\ почати {зібрати}
\ розрив {\ частковий} {\ частковий x_ {j}} h_ {k} (\ mathbf {c}) =\ набла f_ {k} (g (\ mathbf {c}))\ cdot\ ліворуч (\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {j}}} g_ {1} (\ mathbf {c}),\ frac {\ часткове} {\ часткове x_ {j}} g_ {2} (\ mathbf {c}),\ ldots,\ frac {\ часткове} {x_ {j}} g_ {q} (\ mathbf {c})\ право)\ число\\
=\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {1}} f_ {k} (g (\ mathbf {c}))\ частковий} {\ частковий} {\ частковий x_ {j}} g_ {1} (\ mathbf {c}) +\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {2}}} f_ {k} (g (\ mathbf {c}}))\ frac {\ часткове} {\ часткове x_ {j}} g_ {2} (\ mathbf {c}) +\ мітка {4.2.13}\\ cdots+\ frac {\ частковий} {\ частковий x_ {q}} f_ {k} (g (
\ mathbf {c}))\ frac {\ частковий} {\ частковий} {\ q}} f_ {k} (g (\ mathbf {c}))\ frac {\ частковий} {\ частковий} {\ часткова x_ {j}} g_ {q} (\ mathbf {c}). \ nonumber
\ end {зібрати}\]

Звідси\(\frac{\partial}{\partial x_{j}} h_{k}(\mathbf{c})\) дорівнює точковому добутку\(k\) го рядка\(D f(g(\mathbf{c}))\) з\(j\) го стовпчика\(D g(\mathbf{c})\). Більш того, якщо\(g\) знаходиться\(C^1\) на відкритому кулі близько\(\mathbf{c}\) і\(f\) знаходиться\(C^1\) на відкритому кулі близько\(g(\mathbf{c})\), то (\(\ref{4.2.13}\)) показує,\(\frac{\partial}{\partial x_{j}} h_{k}\) що безперервно на відкритому кулі о\(\mathbf{c}\). Це випливає з наших результатів у розділі 3.3, який\(h\) є диференційованим на\(\mathbf{c}\). Так як\(\frac{\partial}{\partial x_{j}} h_{k}\) це запис у\(k\) -му рядку і\(j\) стовпець\(\operatorname{Dh}(\mathbf{c})\), (\(\ref{4.2.13}\)) має на увазі\(\operatorname{Dh}(\mathbf{c})=D f(g(\mathbf{c})) D g(\mathbf{c})\). Цей результат, правило ланцюга, може бути доведений, не припускаючи, що\(f\) і\(g\) є обидва\(C^1\), і тому ми констатуємо більш загальний результат у наступній теоремі.

Теорема: Правило ланцюга\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{q}\) диференційована при\(\mathbf{c}\) і\(f: \mathbb{R}^{q} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) диференційована при\(g(\mathbf{c})\), то\(f \circ g\) диференціюється при\(\mathbf{c}\) і

\[ D(f \circ g)(\mathbf{c})=D f(g(\mathbf{c})) D g(\mathbf{c}) . \]

Рівнозначно, правило ланцюга говорить, що якщо\(A\) є найкращим афінним наближенням до\(g\) at\(\mathbf{c}\) і\(B\) є найкращим афінним наближенням до\(f\) at\(g(\mathbf{c})\), то\(B \circ A\) є найкращим афінне наближення до\(f \circ g\) ат\(\mathbf{c}\). Тобто найкращим афінним наближенням до складу функцій є склад окремих найкращих афінних наближень.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\)Припустимо, визначається

\[ g(s, t)=(\cos (s) \sin (t), \sin (s) \sin (t), \cos (t)) \nonumber \]

і\(f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) визначається

\[ f(x, y, z)=\left(10 x y z, x^{2}-y z\right) . \nonumber \]

Тоді

\ [D g (s, t) =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
-\ sin (s)\ sin (t) &
\ cos (s)\ cos (t)\\ cos (s)\ sin (t) &\ sin (s)
\ sin (s)\\ nonumber\]

і

\ [D f (x, y, z) =\ left [\ begin {масив} {ccc}
10 y z & 10 x z & 10 x y\\
2 x & -z & -y
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Нехай\(h(s, t)=f(g(s, t))\). Щоб знайти\(D h\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\), спочатку відзначимо, що

\[ g\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) , \nonumber \]

\ [D г\ ліворуч (\ frac {\ pi} {4},\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) =\ лівий [\ початок {масив} {rr}
-\ гідророзриву {1} {2} {2} {2}\
\ гідророзриву {1} &\ frac {1} {2} {2}\\
0 & -\ frac {1}} {\ sqrt {2}}
\ кінець {масив}\ право]\ номер\]

і

\ [D f\ ліворуч (г\ ліворуч (\ frac {\ pi} {4},\ frac {\ pi} {4}\ праворуч)\ праворуч) =D f\ ліворуч (\ frac {1} {2},\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч) =\ ліворуч [\ почати {масив} {ccc}
\ frac {5} {\ sqrt {2}} &\ frac {5} {\ sqrt {2}} &\ frac {5} {2}\\
1 & -\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {2}
\ end { масив}\ право]. \ номер\]

Таким чином

\ [\ почати {вирівняний}
\ ім'я оператора {Dh}\ лівий (\ frac {\ pi} {4},\ frac {\ pi} {4}\ правий) &= D f\ ліворуч (г\ ліворуч (\ frac {\ pi} {4}\ pi} {4}\ праворуч) D g\ ліворуч (\ frac {\ pi} {4}\ pi} {4}\ праворуч) D g\ ліворуч (\ frac {\ pi} {4}\ pi} {4}\ праворуч) D g\ ліворуч (,\ frac {\ pi} {4}\ праворуч)\\
&=\ ліворуч [
\ begin {масив} {ccc}\ frac {5} {\ sqrt {2}} &\ frac {5} {\ sqrt {2}} & amp;\ гідророзриву {5} {2}\\
1 & -\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -
\ гідророзриву {1} {2}\ кінець {масив}\ вправо]\ лівий [\ begin {1} {rr}
-
\ frac {1} {2} c {1} {2}\\
0 & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {масив}\ право]\ \
&=\ лівий [\ початок {масив} {cc}
0 &\ frac {5} {2\ sqrt {2}}\\
-\ frac {1+\ sqrt {2}} {2\ sqrt {2}} &\ frac {1} {2}
\ кінець {масив}\ праворуч].
\ end {вирівняний}\]