Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1.E: Геометрія, межі та безперервність (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    60511

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Для кожного з наступних, нанесіть поверхню, параметризовану заданою функцією.

    (а)\(f(s, t)=\left(t^{2} \cos (s), t^{2} \sin (s), t^{2}\right), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 3\)

    (б)\(f(u, v)=(3 \cos (u) \sin (v), \sin (u) \sin (v), 2 \cos (v)), 0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq \pi\)

    (c)\(g(s, t)=((4+2 \cos (t)) \cos (s),(4+2 \cos (t)) \sin (s), 2 \sin (t)), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 2 \pi\)

    (г)\(f(s, t)=((5+2 \cos (t)) \cos (s), 2(5+2 \cos (t)) \sin (s), \sin (t)), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 2 \pi\)

    (е)\(h(u, v)=(\sin (v),(3+\cos (v)) \cos (u),(3+\cos (v)) \sin (u)), 0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq 2 \pi\)

    (f)\(g(s, t)=\left(s, s^{2}+t^{2}, t\right),-2 \leq s \leq 2,-2 \leq t \leq 2\)

    (г)\(f(x, y)=(y \cos (x), y, y \sin (x)), 0 \leq x \leq 2 \pi,-5 \leq y \leq 5\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) і ми визначаємо\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) по\(F(s, t)=(s, t, f(s, t))\). Опишіть поверхню параметризовану за допомогою\(F\).

    Відповідь

    Поверхня - це графік\(f\).

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть параметризацію для поверхні, яка є графіком функції\(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\).

    Відповідь

    \(F(s, t)=\left(s, t, s^{2}+t^{2}\right)\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Створіть ділянки, подібні до малюнка 4.1.4 для кожного з наступних векторних полів. Експериментуйте з прямокутником, який використовується для сітки, а також з кількістю намальованих векторів.

    (а)\(f(x, y)=(y,-x)\)

    (б)\(g(x, y)=(y,-\sin (x))\)

    (c)\(f(u, v)=\left(v, u-u^{3}-v\right)\)

    (г)\(f(x, y)=\left(x\left(1-y^{2}\right)-y, x\right)\)

    (е)\(f(x, y, z)=\left(10(y-x), 28 x-y-x z,-\frac{8}{3} z+x y\right)\)

    (f)\(f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x, y, z)\)

    (г)\(g(u, v, w)=-\frac{1}{(u-1)^{2}+(v-2)^{2}+(w-1)^{2}}(u-1, v-2, w-1)\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Знайти множини точок,\(\mathbb{R}^2\) для яких векторне поле

    \[ f(x, y)=\left(4 x \sin (x-y), \frac{4 x+3 y}{2 x-y}\right) \nonumber \]

    є безперервним.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Для яких точок в\(\mathbb{R}^n\) є векторним полем

    \[ f(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{x}}{\log (\|\mathbf{x}\|)} \nonumber \]

    безперервна функція?

    Відповідь

    \(\left\{\mathbf{x}: \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{x} \neq \mathbf{0}\right\}\)