4.1: Геометрія, межі та безперервність
- Page ID
- 60500
У цьому розділі ми розглянемо загальний випадок відображення функції\(\mathbb{R}^m\) на\(\mathbb{R}^n\). Оскільки справи\(m=1\) і\(n=1\) розглядалися в попередніх розділах, наш акцент буде зроблений на більш високих мірних випадках, головне, коли\(m\) і\(n\) є 2 або 3. Ми почнемо в цьому розділі з деякої основної термінології та визначень.
Параметризовані поверхні
Якщо\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) має домен\(D\), ми називаємо\(S\) множиною всіх точок\(\mathbf{y}\),\(\mathbb{R}^n\) \(\mathbf{y}=f(\mathbf{x})\)для яких для деяких\(\mathbf{x}\) \(D\)в зображенні \(f\). Тобто,
\[ S=\{f(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in D\} ,\]
що те саме, що ми раніше називали діапазоном\(f\). If\(m=1\),\(S\) є кривою, як визначено в Розділі 2.1. Якщо\(m>1\) і\(n>m\), то ми називаємо\(S\) \(m\)-мірну поверхню в\(\mathbb{R}^{n}\). Якщо ми дозволяємо\(\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\) і\(\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\), то, для\(k=1,2, \ldots, n\), ми викликаємо функцію,\(f_{k}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) визначену
\[ f_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)=y_{k} \nonumber \]
\(k\)-а координатна функція\(f\). Називаємо систему рівнянь
\ [\ почати {вирівняти}
y_ {1} &=f_ {1}\ ліворуч (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {m}\ праворуч),\ nonumber\\
y_ {2} &=f_ {2}\ ліворуч (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {m}\ праворуч),\ число\\
\ vdots &=\ quad\ vdots\ мітка {}\\
y_ {n} &=f_ {n}\ ліворуч (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {m}\ праворуч),\ nonumber
\ end {вирівняти}\]
параметризації поверхні\(S\). Зауважте, що\(f_k\) це тип функції, яку ми вивчали в розділі 3. З іншого боку, якщо ми зафіксуємо значення\(x_i\) for all\(i \neq k\), то функція\(\varphi_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) визначається
\[ \varphi_{k}(t)=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k-1}, t, x_{k+1}, \ldots, x_{m}\right) \]
має тип, який ми вивчали ми Глава 2. Зокрема, для кожного\(k=1,2, \ldots, n, \varphi_{k}\) параметризується крива, яка лежить на поверхні\(S\). Наступні приклади ілюструють, як останнє зауваження корисно при спробі зобразити параметризовану поверхню\(S\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Розглянемо\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) визначені
\[ f(s, t)=(t \cos (s), t \sin (s), t) \nonumber \]
для\(0 \leq s \leq 2 \pi\) і\(-\infty<t<\infty\). Зображення поверхні\(f\) \(S\)в\(\mathbb{R}^{3}\) параметризованому рівняннями
\ [\ begin {вирівняний}
&x = t\ cos (s),\\
&y=t\ sin (s),\\
&z=t.
\ end {вирівняний}\]
Зверніть увагу, що для фіксованого\(t\) значення функції
\[ \varphi_{1}(s)=(t \cos (s), t \sin (s), t) \nonumber \]
параметризує коло радіуса\(t\) на площині\(z=t\) з центром в\( (0,0,t) \). З іншого боку, для фіксованого\(s\) значення функції
\[ \varphi_{2}(t)=(t \cos (s), t \sin (s), t)=t(\cos (s), \sin (s), 1) \nonumber \]
параметризує пряму через початок у напрямку вектора\((\cos (s), \sin (s), 1)\). Звідси поверхня\(S\) являє собою конус в\(\mathbb{R}^{3}\), частина якого показана на малюнку 4.1.1. Зверніть увагу, як була намальована поверхня шляхом побудови кривих, відповідних фіксованим значенням\(s\) і\(t\) (тобто кривих, параметризованих\(\varphi_1\) і\(\varphi_2\)), а потім заповнюючи отримані криволінійні «прямокутники».
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Для фіксованого розгляньте функцію\(a>0\),\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) визначену
\[ f(s, t)=(a \cos (s) \sin (t), a \sin (s) \sin (t), a \cos (t)) \nonumber \]
для\(0 \leq s \leq 2 \pi\) і\(0 \leq t \leq \pi\). Зображення поверхні\(f\) \(S\)в\(\mathbb{R}^3\) параметризованому рівняннями
\ [\ begin {вирівнювання}
&x = a\ cos (s)\ sin (t),\ nonumber\\
&y=a\ sin (s)\ sin (t),\ етикетка {}\
&z=a\ cos (t). \ nonumber
\ end {вирівняти}\]
Зауважте, що це рівняння для сферичної зміни координат змінних, розглянутих у розділі 3.7, з\(\rho=a, \theta=s\), і\(\varphi = t\). Оскільки\(a\) фіксована, а\(s\) варіюється від 0 до\(2 \pi\) і\(t\) варіюється від 0 до\(\pi\), то випливає, що\(S\) це сфера радіуса\(a\) з центром (0, 0 , 0). На малюнку 4.1.2 відображається\(S\), коли\(a=1\).
Якби ми раніше не вивчали сферичні координати, ми могли б прийти до такого висновку приблизно\(S\) наступним чином. Спочатку зауважте, що
\ [\ почати {вирівняний}
x^ {2} +y^ {2} +z^ {2} &=a^ {2}\ cos ^ {2} (s)\ sin ^ {2} (t) +a^ {2}\ sin ^ {2} (s)\ sin ^ {2} (t) +a^ {2}\ cos ^ {2} (t)\\
&^ {2}\ sin ^ {2} (t)\ ліворуч (\ cos ^ {2} (s) +\ sin ^ {2} (s)\ праворуч) +a^ {2}\ cos ^ {2} (t)\\
&=a^ {2}\ ліворуч (\ sin ^ {2} (t) +\ cos ^ {2} (t)\ праворуч)\\
&=a^ {2},
\ кінець {вирівняний}\]
з чого випливає, що кожна точка\(S\) лежить на сфері радіуса a з центром у початку. Тепер для фіксованого значення\(t\),
\[ \varphi_{1}(s)=(a \cos (s) \sin (t), a \sin (s) \sin (t), a \cos (t)) \nonumber \]
параметризує коло в площині\(z=a \cos (t)\) з центром\((0,0, a \cos (t))\) і радіусом\(a \sin (t)\). Як\(t\) змінюється від 0 до\(\pi \), ці кола варіюються від кола в\(z=a\) площині з центром\( (0,0,a) \) і радіусом 0 (коли\(t=0\)) до кола в\(xy\) -площині з центром (0, 0, 0) і радіусом\(a\) (коли\(t= \frac{\pi}{2}\)) до кола в\(z=-a\) площині з центром\( (0,0,−a) \) і радіусом 0 (коли\(t=\pi\)). Іншими словами, кола заповнюють всі «лінії широти» сфери від «Північного полюса» до «Південного полюса»,\(S\) а значить і вся сфера. Можна також показати, що функції
\[ \varphi_{2}(t)=(a \cos (s) \sin (t), a \sin (s) \sin (t), a \cos (t)) \nonumber \]
параметризувати «лінії довготи»\(S\) як\(s\) варіюється від 0 до\(2\pi\). Обидві лінії «широти» і «довготи» видно на малюнку 4.2.2.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Припустимо\(0<b<a\) і визначте\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) по
\[ f(s, t)=((a+b \cos (t)) \cos (s),(a+b \cos (t)) \sin (s), b \sin (t)) \nonumber \]
для\(0 \leq s \leq 2 \pi\) і\(0 \leq t \leq 2 \pi\). Зображення поверхні\(f\),\(T\) параметризованої рівняннями
\ [\ почати {вирівняний}
&x= (a+b\ cos (t))\ cos (s),\\
&y =( a+b\ cos (t))\ sin (s),\\
&z=b\ sin (t).
\ end {вирівняний}\]
Зверніть увагу, що для фіксованого значення\(t\),
\[ \varphi_{1}(s)=((a+b \cos (t)) \cos (s),(a+b \cos (t)) \sin (s), b \sin (t)) \nonumber \]
параметризує коло в площині\(z=b \sin (t)\) з центром\((0,0, b \sin (t))\) і радіусом\(a+b \cos (t)\). Зокрема, коли\(t=0\), у нас є коло в\(xy\) -площині з центром (0, 0, 0) і радіусом\(a+b\); коли\(t=\frac{\pi}{2}\), у нас є коло на площині\(z=b\) з центром\( (0,0,b) \) і радіусом\(a\); коли\(t=\pi\), ми маємо коло на \(xy\)-plane з центром (0, 0, 0) і радіусом\(a-b\); коли\(t= \frac{3\pi}{2}\), у нас є коло на\(z=-b\) площині з центром\( (0,0,−b) \) і радіусом\(a\); і коли\(t=2 \pi \), ми повертаємося до кола в\(xy\) -площині з центром (0 , 0, 0) і радіусом\(a+b\). Для фіксованих\(s\) значень кривих параметризуються
\[ \varphi_{2}(t)=((a+b \cos (t)) \cos (s),(a+b \cos (t)) \sin (s), b \sin (t)) \nonumber \]
не ідентифікуються так легко. Однак деякі конкретні випадки є освітлювальними. Коли\(s=0\), у нас є коло в\(xz\) -площині з центром (\(a\), 0, 0) і радіусом\(b\); коли\(s=\frac{\pi}{2}\), у нас є коло в\(yz\) -площині з центром (0 \(a\), 0) і радіусом\(b\); коли\(s=\pi\), у нас є коло в\(xz\) -площині з центром (\(-a\), 0, 0) і радіусом\(b\); коли\(s=\frac{3\pi}{2}\), у нас є коло в\(yz\) -площині з центром (0 \(-a\), 0) і радіусом\(b\); і коли\(t=2\pi\), ми повертаємося до a коло в\(xz\) -площині з центром (\(a\), 0, 0) і радіусом\(b\). Збираючи все це разом, ми бачимо, що\(T\) це тор, поверхня предмета у формі пончика. На малюнку 4.1.3 показаний один такий тор, корпус\(a=3\) і\(b=1\).
Векторні поля
Ми називаємо функцію\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), тобто функцію, для якої область і простір діапазону мають однакову розмірність, векторне поле. Ми вже бачили кілька прикладів таких функцій. Наприклад, зміна змінних функцій у розділі 3.7 мали такий тип. Крім того, задана функція\(g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\), градієнт\(g\),
\[ \nabla g(\mathbf{x})=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}} g(\mathbf{x}), \frac{\partial}{\partial x_{2}} g(\mathbf{x}), \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}} g(\mathbf{x})\right) , \nonumber \]
є функцією від\(\mathbb{R}^n\) до\(\mathbb{R}^n\). Як ми бачили в нашому обговоренні градієнтних векторних полів у розділі 3.2, графік, що показує вектори\(f(\mathbf{x})\) в кожній точці прямокутної сітки, забезпечує корисний геометричний вигляд векторного поля\(f\).
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Розглянемо векторне поле,\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) визначене
\[ f(\mathbf{x})=-\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^{2}} \nonumber \]
для всіх\(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\). Зверніть увагу, що\(f(\mathbf{x})\) є вектором довжини
\[ \left\|\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}\right\|=\frac{\|\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|^{2}}=\frac{1}{\|\mathbf{x}\|} \nonumber \]
вказуючи в напрямку, протилежному цьому\(\mathbf{x}\). Якщо\(n=2\), координатні функції\(f\) є
\[ f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \nonumber \]
і
\[ f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}. \nonumber \]
На малюнку 4.1.4 показаний графік векторів\(f(\mathbf{x})\) для цього випадку, намальований на сітці над прямокутником\([-3,3] \times[-3,3]\), а для випадку\(n=3\) - за допомогою куба\([-3,3] \times[-3,3] \times[-3,3] \). Зауважте, що ці графіки показують не\(f(\mathbf{x})\) самі вектори, а вектори, які були масштабовані пропорційно, щоб вони не перекривали один одного.
Межі та безперервність
Визначення меж і неперервності для функцій\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) слідують за звичною схемою.
Визначення\(\PageIndex{1}\)
\(\mathbf{a}\)Дозволяти точка в\(\mathbb{R}^m\) і нехай\(O\) бути множиною всіх точок у відкритому кулю радіуса з\(r>0\) центром за\(\mathbf{a}\) винятком\(\mathbf{a}\). Тобто,
\[ O=\left\{\mathbf{x}: \mathbf{x} \in B^{m}(\mathbf{a}, r), \mathbf{x} \neq \mathbf{a}\right\} . \nonumber \]
\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\)Припустимо, визначено для всіх\(\mathbf{x}\) в\(O\). Ми говоримо \(f(\mathbf{x})\)межа як\(\mathbf{x}\) підходів\(\mathbf{a}\) \(\mathbf{L}\), написано\(\lim _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x})=\mathbf{L}\), якщо для кожної послідовності точок\(\left\{\mathbf{x}_{k}\right\}\) в\(O\),
\[ \lim _{k \rightarrow \infty} f\left(\mathbf{x}_{k}\right)=\mathbf{L} \]
всякий раз\(\lim _{k \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{k}=\mathbf{a}\).
У розділі 2.1 ми побачили, що послідовність точок в\(\mathbb{R}^{n}\) має межу тоді і лише тоді, коли окремі координати точок у послідовності мають межу. Наступне судження є безпосереднім наслідком.
Пропозиція\(\PageIndex{1}\)
Якщо\(f_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, k=1,2, \ldots, n\), є\(k\) координатною функцією \(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), то
\[ \lim _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x})=\left(L_{1}, L_{2}, \ldots, L_{n}\right) \nonumber \]
якщо і тільки якщо
\[ \lim _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f_{k}(\mathbf{x})=L_{k} \nonumber \]
для\(k=1,2, \ldots, n\).
Іншими словами, обчислення меж для функцій\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) зводиться до звичної задачі обчислення меж реальних функцій, про що ми говорили в розділі 3.1.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Якщо
\[ f(x, y, z)=\left(x^{2}-3 y z, 4 x z\right) , \nonumber \]
функція\(\mathbb{R}^3\) from to\(\mathbb{R}^2\), то, наприклад,
\[ \lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,-2,3)} f(x, y, z)=\left(\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,-2,3)}\left(x^{2}-3 y z\right), \lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,-2,3)} 4 x z\right)=(19,12) . \nonumber \]
Визначення\(\PageIndex{2}\)
Припустимо\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) , визначається для всіх\(\mathbf{x}\) в якомусь відкритому кулі\(B^{n}(\mathbf{a}, r), r>0\). Ми говоримо\(f\), що безперервно,\(\mathbf{a}\) якщо\(\lim _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x})=f(\mathbf{a})\).
Наступний результат є безпосереднім наслідком попереднього судження.
Пропозиція\(\PageIndex{2}\)
Якщо\(f_{k}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, k=1,2, \ldots, n\), є y\(k\) координатною функцією\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^n\), то\(f\) є безперервним в точці,\(\mathbf{a}\) якщо і тільки якщо\(f_k\) є безперервним в\(\mathbf{a}\) for\(k=1,2, \ldots, n\).
Іншими словами, перевірка на неперервність функції\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) зводиться до перевірки неперервності дійсних функцій, знайомої задачі з розділу 3.1.
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Функція
\[ f(x, y)=\left(3 \sin (x+y), 4 x^{2} y\right) \nonumber \]
має координатні функції
\[ f_{1}(x, y)=3 \sin (x+y) \nonumber \]
і
\[ f_{2}(x, y)=4 x^{2} y . \nonumber \]
Оскільки, з наших результатів у розділі 3.1, обидва\(f_1\) і\(f_2\) є безперервними в кожному пункті\(\mathbb{R}^2\), випливає, що\(f\) є безперервним у кожній точці\(\mathbb{R}^2\).
Визначення\(\PageIndex{3}\)
Ми говоримо, що функція\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) є безперервним на відкритому множині,\(U\) якщо\(f\) є безперервним в кожній точці\(\mathbf{u}\) в\(U\).
Приклад\(\PageIndex{7}\)
Ми можемо повторити висновок попереднього прикладу, сказавши, що
\[ f(x, y)=\left(3 \sin (x+y), 4 x^{2} y\right) \nonumber \]
безперервно ввімкнена\(\mathbb{R}^2\).