3.7.E: Зміна змінних у визначених інтегралах (вправи)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть площу області, укладеної еліпсом, за допомогою рівняння\(x^{2}+4 y^{2}=4\).

Відповідь

\(2\pi\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Задано\(a>0\) і\(b>0\), показати, що площа, укладена еліпсом з рівнянням

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \nonumber \]

є\(\pi a b\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Знайти об'єм області, укладеної еліпсоїдом, за допомогою рівняння

\[ \frac{x^{2}}{25}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1 . \nonumber \]

Відповідь

\(\frac{40 \pi}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Задано\(a>0\)\(b>0\),, і\(c>0\), показати, що обсяг області, укладеної еліпсоїдом

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \nonumber \]

є\(\frac{4}{3} \pi abc\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть полярні координати для кожної з наступних точок, заданих у декартових координатах.

(а) (1,1)

(б) (-2,3)

(c) (-1,3)

(г) (4, -4)

Відповідь

(а)\(\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)

(c)\((\sqrt{10}, 4.3906)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть декартові координати для кожної з наступних точок, заданих у полярних координатах.

(а)\((3,0)\)

(б)\(\left(2, \frac{5 \pi}{6}\right)\)

(c)\((5, \pi)\)

(г)\(\left(4, \frac{4 \pi}{3}\right)\)

Відповідь

(а) (3,0)

(c) (-5,0)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Оцінити

\[ \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

де\(D\) - диск в радіусі 2\(\mathbb{R}^2\) з центром у початковій точці.

Відповідь

\(\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=8 \pi\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Оцінити

\[ \iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

де\(D\) - диск в радіусі 1\(\mathbb{R}^2\) з центром у початковій точці.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Оцінити

\[ \iint_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} d x d y , \nonumber \]

де\(D\) - область в першому квадранті\(\mathbb{R}^2\) якої лежить між колом з рівнянням\(x^{2}+y^{2}=1\) і колом з рівнянням\(x^{2}+y^{2}=16 \).

Відповідь

\(\iint_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} d x d y=\pi \log (2)\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Оцінити

\[ \iint_{D} \log \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

де\(D\) - область, в\(\mathbb{R}^2\) якій лежить між колом з рівнянням\(x^{2}+y^{2}=1\) і колом з рівнянням\(x^{2}+y^{2}=4\).

Відповідь

\(\iint_{D} \log \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=\pi(8 \log (2)-3)\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Використовуючи полярні координати, переконайтеся, що площа кола радіуса\(r\) дорівнює\(\pi r^2\).

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Нехай

\[ I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x . \nonumber \]

(а) Покажіть, що

\[ I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y . \nonumber \]

(б) Покажіть, що

\[ I^{2}=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r e^{-\frac{r^{2}}{2}} d \theta d r . \nonumber \]

(c) Покажіть, що

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x=\sqrt{2 \pi} . \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Знайти сферичні координати точки з декартовими координатами\((-1,1,2)\).

Відповідь

\(\left(\sqrt{6}, \frac{3 \pi}{4}, 0.6155\right)\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Знайти сферичні координати точки з декартовими координатами\((3,2,-1)\).

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Знайти декартові координати точки зі сферичними координатами\(\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right)\).

Відповідь

\(\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}},-1\right)\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Знайти декартові координати точки зі сферичними координатами\(\left(5, \frac{5 \pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)\).

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Оцінити

\[ \iiint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z , \nonumber \]

де\(D\) - замкнута куля в\(\mathbb{R}^3\) радіусі 2, зосереджена у початковій точці.

Відповідь

\(\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z=\frac{128 \pi}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Оцінити

\[ \iiint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d x d y d z , \nonumber \]

\(D\)де область\(\mathbb{R}^3\) між двома сферами з рівняннями\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\) і\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \).

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Оцінити

\[ \iiint_{D} \sin \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z ,\nonumber \]

де\(D\) знаходиться регіон в\(\mathbb{R}^3\) описаному\(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\), і\(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\).

Відповідь

\(\iiint_{D} \sin \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z=\frac{\pi}{2}(2 \sin (1)+\cos (1)-2) \approx 0.3506\right.\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Оцінити

\[ \iiint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} d x d y d z , \nonumber \]

де\(D\) - замкнута куля в радіусі 3\(\mathbb{R}^3\) з центром у початковій точці.

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(D\)Дозволяти бути область в\(\mathbb{R}^3\) описані\(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\) і\(z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

(a) Поясніть, чому сферична зміна координат змінних відображає регіон

\[ E=\left\{(\rho, \theta, \varphi): 0 \leq \rho \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\} \nonumber \]

на\(D\).

(б) Знайти обсяг\(D\).

Відповідь

(б)\(\frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Якщо точка\(P\) має декартові координати\((x,y,z)\), то циліндричні координати\(P\) є\((r,\theta,z)\), де\(r\) і\(\theta\) є полярними координатами\((x,y)\). Покажіть, що

\[ \left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right|=r . \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Використовуйте циліндричні координати для оцінки

\[ \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z , \nonumber \]

де\(D\) знаходиться регіон в\(\mathbb{R}^3\) описаному\(1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\) і\(0 \leq z \leq 5\).

Відповідь

\(\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z=\frac{70 \pi}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Свердло з насадкою радіусом 1 сантиметр використовується для свердління отвору через центр суцільного кулі радіусом 3 сантиметри. Який обсяг залишився твердої речовини?

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(D\)Дозволяти множина всіх точок в перетині двох твердих циліндрів в\(\mathbb{R}^3\) описаних\(x^{2}+y^{2} \leq 1\) і\(x^{2}+z^{2} \leq 1\). Знайдіть обсяг\(D\).

Відповідь

\(\frac{16}{3}\)