3.7: Зміна змінних у визначених інтегралах
- Page ID
- 60546
Одним з основних прийомів оцінки інтеграла в однозмінному численні є підміна, заміна однієї змінної на іншу таким чином, щоб отриманий інтеграл був більш простого вигляду. Хоча трохи більш тонкі у випадку двох або більше змінних, подібна ідея забезпечує потужну техніку оцінки певних інтегралів.
Лінійна зміна змінних
Основну ідею ми представимо на прикладі. Нехай
\[ D=\left\{(x, y): 9 x^{2}+4 y^{2} \leq 36\right\} , \nonumber \]
область всередині еліпса, яка перетинає\(x\) вісь -у (−2, 0) та (2, 0) та\(y\) осі -у (0, −3) та (0, 3). Щоб знайти площу\(D\), оцінюємо
\[ \iint_{D} d x d y=\int_{-2}^{2} \int_{-\frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}}}^{\frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}}} d y d x=\int_{-2}^{2} 3 \sqrt{4-x^{2}} d x=6 \pi , \nonumber \]
де кінцевий інтеграл може бути оцінений за допомогою заміщення\(x=2 \sin (\theta)\) або зазначивши, що
\[ \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \nonumber \]
дорівнює половині площі кола радіусом 2. Крім того, припустимо, що ми запишемо рівняння еліпса як
\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 \nonumber \]
і зробити підміну\(x=2u\) і\(y=3v\). Тоді\(u = \frac{x}{2} \) і\(v = \frac{y}{3} \), так що якщо\((x,y)\) це точка в\(D\), то
\[ u^{2}+v^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9} \leq 1 . \nonumber \]
Тобто якщо\((x,y)\) є точкою в\(D\), то\((u,v)\) є точкою в одиничному диску
\[ E=\left\{(u, v): u^{2}+v^{2} \leq 1\right\} . \nonumber \]
І навпаки, якщо\((u,v)\) це точка в\(E\), то
\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{4 u^{2}}{4}+\frac{9 v^{2}}{9}=u^{2}+v^{2} \leq 1 , \nonumber \]
так\((x,y)\) це точка в\(D\). Таким чином функція\(F(u, v)=(2 u, 3 v)\) приймає область\(E\), замкнутий диск радіусом 1, і розтягує її на область\(D\) (як показано на малюнку 3.7.1).
Однак зауважте, що навіть незважаючи на те, що кожна точка в\(E\) відповідає рівно одній точці в\(D\), і, навпаки, кожна точка в\(D\) відповідає точно на точку в\(E\), тим\(D\) не менш\(E\) і не мають та ж площа. Щоб побачити, як\(F\) змінюється площа, розглянемо, що вона робить з одиницею квадрата\(S\) зі сторонами\(\mathbf{e}_{1}=(1,0)\) і\(\mathbf{e}_{2}=(0,1)\). Площа\(S\) дорівнює 1, але\(F\) відображає\(S\) прямокутник\(R\) зі сторонами
\[ F(1,0)=(2,0) \nonumber \]
і
\[ F(0,1)=(0,3) \nonumber \]
і площа 6. Це особливий випадок загального факту, який ми бачили в розділі 1.6: лінійна функція\(F\), з пов'язаною матрицею
\ [M=\ left [\ begin {масив} {ll}
2 & 0\
0 & 3
\ end {масив}\ право],\ nonumber\]
відображає одиничний квадрат\(S\) на паралелограм\(R\) з площею
\[ |\operatorname{det}(M)|=6 . \nonumber \]
Важливим фактом для нас тут є те, що 1 одиниця площі в\(uv\) -площині відповідає 6 одиниць площі в\(xy\) -площині. Звідси площа\(D\) буде в 6 разів більше площі\(E\). Тобто,
\[ \iint_{D} d x d y=\iint_{E}|\operatorname{det}(M)| d u d v=\iint_{E} 6 d u d v=6 \iint_{E} d u d v=6 \pi , \nonumber \]
де кінцевим інтегралом є просто площа всередині кола радіусом 1.
Ці ідеї дають підґрунтя для доказу наступної теореми.
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Припустимо\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\), є безперервним для відкритої множини,\(U\) що містить замкнуту обмежену множину\(D\). Припустимо,\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) це лінійна функція,\(M\) є\(n \times n\) матриця така\(F(\mathbf{u})=M \mathbf{u}\), що, і\(\operatorname{det}(M) \neq 0\). Якщо\(F\) відображає область\(E\) на область\(D\) і ми визначаємо зміну змінних
\ [\ left [\ begin {масив} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\
\ vdots\\\
x_ {n}
\ кінець {масив}\ вправо] =M\ left [\ begin {масив} {c}
u_ {1}\\
u_ {2}\
\ vdots\\
u_ {n}
\ кінець {масив}\ праворуч],\ номер\]
потім
\ [\ почати {вирівняти}
\ iint\ cdots\ int_ {D} f\ ліворуч (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {n}\ праворуч) d x_ {1} d x_ {2}\ cdots d x_ {n}\ nonномер\\
&=\ iint\ cdots\ int_ {E} f\ лівий (F\ ліворуч (u_ {1}, u_ {2},\ ldots, u_ {n}\ праворуч)\ праворуч) |\ ім'я оператора {det} (M) | d u_ {1} d u_ {2}\ cdots d u_ {n}\ етикетка {3.7.1}
\ end {вирівняти}.\]
Приклад\(\PageIndex{1}\)
\(D\)Дозволяти область в\(\mathbb{R}^3\) обмеженому еліпсоїдом з рівнянням
\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}=1 . \nonumber \]
Див. Малюнок 3.7.2.
Якщо ми зробимо зміну змінних\(x = 2u, y = 4v\), і\(z = 3w\), тобто,
\ [\ left [\ begin {масив} {l}
x\
y\\
z
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
2 & 0\ 0 & 0\\
0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 3
\ end {масив}\ праворуч]\ left [\ begin {масив} {c}
u\\
v\\
w
\ end {масив}\ право],\ nonumber\]
то, для будь-якого\((x,y,z)\) в\(D\), у нас є
\[ u^{2}+v^{2}+w^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9} \leq 1 . \nonumber \]
Тобто якщо\((x,y,z)\) лежить в\(D\), то в закритому блоці\((u,v,w)\) лежить відповідний куля\(E=\bar{B}^{3}((0,0,0), 1)\). І навпаки, якщо\((u,v,w)\) лежить в\(E\), то
\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}=\frac{4 u^{2}}{4}+\frac{16 v^{2}}{16}+\frac{9 w^{2}}{9}=u^{2}+v^{2}+w^{2} \leq 1 , \nonumber \]
так\((x,y,z)\) лежить в\(D\). Отже, зміна змінних\(F(u, v, w)=(2 u, 4 v, 3 w)\) карт\(E\) на\(D\). Зараз
\ [\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {lll}
2 & 0\ 0 & 0\ 0 &
0\ 0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 3
\ end {масив}\ праворуч] =24,\ nonnumber\]
так\(V\) що якщо обсяг\(D\), то
\[ V=\iiint_{D} d x d y d z=\iiint_{E} 24 d u d v d w=24 \iiint_{E} d u d v d w=24\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=32 \pi , \nonumber \]
де ми використовували той факт, що об'єм сфери радіусом 1 є\( \frac{4 \pi }{3} \) для оцінки кінцевого інтеграла.
Нелінійна зміна змінних
Не вдаючись у технічні подробиці, ми вкажемо, як діяти, коли зміна змінних не є лінійною. Припустимо,\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) є безперервним для відкритої\(U\) множини, що містить замкнуту\(D\) обмежену\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) множину і відображає\(E\) замкнуту обмежену область\(\mathbb{R}^n\) на\(D\) так, щоб кожна точка \(D\)відповідає рівно одній точці\(E\). Пишемо\(F(\mathbf{u})=\left(F_{1}(\mathbf{u}), F_{2}(\mathbf{u}), \ldots, F_{n}(\mathbf{u})\right) \), будемо вважати, що\(F_{1}, F_{2}, \ldots,\) і всі\(F_n\) диференційовані на відкритому наборі,\(W\) що містить\(E\). Хоча ми не будемо вивчати цей тип функції до глави 4, природним кандидатом для похідної від\(F\) є матриця, чий\(i\) -й рядок\(\nabla F_{i}(\mathbf{u})\). Допускаючи\(x_{i}=F_{i}\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)\)\(i=1,2, \ldots, n\), ми позначимо цю матрицю, звану якобійською матрицею\(F\),
\[ \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)} . \]
Явно,
\ [\ frac {\ частковий\ лівий (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {n}\ правий)} {\ частковий\ лівий (u_ {1}, u_ {2},\ ldots, u_ {n}\ правий)} =\ лівий [\ почати {масив} {cccc}
\ frac {\ partial} {\ partial} {1}} F_ {1} (\ mathbf {u}) &\ frac {\ часткове} {\ часткове u_ {2}} F_ {1} (\ mathbf {u}) &\ cdots &\ frac {\ частковий} {\ частковий u_ {n}}} F_ {1} (\ mathbf {u})\\ розриву {
\ часткове} {\ часткове u_ {1}} F_ {2} (\ mathbf {u}) &\ frac {\ часткове} {\ часткове u_ {2}} F_ {2} (\ mathbf {u}) &\ cdots &\ frac {\ частковий} {\ частковий u_ {n}} F_ {2} (\ mathbf {u})\\ vdots &
\ vdots &\ ddots\\ vdots\
\ frac {\ часткове} {\ часткове u_ { 1}} F_ {n} (\ mathbf {u}) &\ frac {\ часткове} {\ часткове u_ {2}} F_ {n} (\ mathbf {u}) &\ cdots &\ frac {\ часткове} {\ часткове u_ {n}} F_ {n} (\ mathbf {u})
\ кінець {масив}\ право.\]
Ми побачимо в главі 4, що
\[ \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)} \nonumber \]
матриця для лінійної частини найкращого афінного наближення до\(F\) at\(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)\). Отже, для досить маленьких прямокутників коефіцієнт, за допомогою якого\(F\) змінюється площа прямокутника, коли він відображає його на область, буде приблизно
\[ \left|\operatorname{det} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)}\right| . \]
Потім можна показати, що, аналогічно (\(\ref{3.7.1}\)), ми маємо
\ [\ почати {вирівняти}
\ int\ cdots &\ iint_ {D} f\ ліворуч (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {n}\ праворуч) d x_ {1} d x_ {2}\ cdots d x_ {n}\ nonномер\\
&=\ int\ cdots\ iint_ {E} f\ лівий (F)\ ліворуч (u_ {1}, u_ {2},\ ldots, u_ {n}\ праворуч)\ праворуч)\ ліворуч |\ ім'я оператора {det}\ frac {\ часткове\ ліве (x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ { n}\ праворуч)} {\ частковий\ лівий (u_ {1}, u_ {2},\ ldots, u_ {n}\ правий)}\ право| d u_ {1} d u_ {2}\ cdots d u_ {n}. \ мітка {3.7.5}
\ кінець {вирівнювання}\]
Зауважте, що (\(\ref{3.7.5}\)) - це\(\ref{3.7.1}\) just () з матрицею,\(M\) заміненою якобійською\(F\).
Ми зараз розглянемо два дуже корисних особливих випадку попереднього результату. Див. Вправи 22 і 23 для третього особливого випадку.
Полярні координати
В якості альтернативи\(P\) опису розташування точки на площині за допомогою її декартових координат\((x,y)\), ми можемо знайти точку\(r\), використовуючи відстань від\(P\) до початку та\(\theta\) кут між вектором від (0, 0) до\(P\) і позитивна\(x\) -вісь, вимірюється в напрямку проти годинникової стрілки від 0 до\(2 \pi \) (див. Рис. 3.7.3).
Тобто, якщо\(P\) має декартові координати\((x,y)\), з\(x \neq 0\), ми можемо визначити його полярні координати,\((r, \theta )\) вказавши, що
\[ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \]
і
\[ \tan (\theta)=\frac{y}{x} , \]
де ми беремо\(0 \leq \theta \leq \pi\) якщо\(y \geq 0\) і\(\pi<\theta<2 \pi\) якщо\(y<0\). Якщо\(x=0\), ми дозволяємо,\(\theta = \frac{\pi}{2}\) якщо\(y>0\) і\( \theta = \frac{3 \pi}{2}\) якщо\(y<0\). Для\((x, y)=(0,0), r=0\) і\(\theta\) може мати будь-яке значення, і тому не визначено. І навпаки, якщо точка\(P\) має полярні координати\((r, \theta )\), то
\[ x=r \cos (\theta) \]
і
\[ y=r \sin (\theta) . \]
Зверніть увагу, що вибір інтервалу\( [0,2 \pi) \) для значень не\(\theta\) є унікальним, при цьому будь-який інтервал довжини\(2 \pi \) працює також. Хоча\( [0,2 \pi) \) це найпоширеніший вибір для значень\(\theta \), іноді корисно використовувати\(( - \pi , \pi ) \) замість нього.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Якщо точка\(P\) має декартові координати (−1, 1), то її полярні координати є\(\left(\sqrt{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Точка з полярними координатами\(\left(3, \frac{\pi}{6}\right)\) має декартові координати\(\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)\).
У нашому поточному контексті ми хочемо подумати про відображення полярних координат
\[(x, y)=F(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta)) \]
як зміна змінних між\(r \theta \) - площиною і\(xy\) -площиною. Це відображення особливо корисно для нас, оскільки воно відображає прямокутні області в\(r \theta \) -площині на кругові області в\(xy\) -площині. Наприклад, для будь-якого\(a>0\),\(F\) відображає прямокутну область
\[ E=\{(r, \theta): 0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta<2 \pi\} \nonumber \]
в\(r \theta \) -площині на закритому диску
\[ D=\bar{B}^{2}((0,0), a)=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq a\right\} \nonumber \]
в\(xy\) -площині (див. Рис. 3.7.5 нижче для прикладу). Якщо говорити більш загально, для будь-якого\( 0 \leq \alpha < \beta < 2 \pi \),\(F\) карти прямокутної області
\[ E=\{(r, \theta): 0 \leq r \leq a, \alpha \leq \theta<\beta\} \nonumber \]
в\(r \theta \) -площині на область\(D\) в\(xy\) -площині, яка є сектором замкнутого диска,\(\bar{B}^{2}((0,0), a)\) який лежить між радіусами кутів\(\alpha \) і\(\beta \) (див. Рис.
Ще один базовий приклад - кільцеве кільце: для будь-якого\(0 < a < b\)\(F\) відображає прямокутну область
\[ E=\{(r, \theta): a \leq r \leq b, 0 \leq \theta<2 \pi\} \nonumber \]
в\(r \theta \) -площині на кільцеве кільце
\[ D=\left\{(x, y): a \leq x^{2}+y^{2} \leq b\right\} \nonumber \]
в\(xy\) -площині. Малюнок 3.7.6 ілюструє це відображення для верхньої половини кільцевого кільця.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
\(V\)Дозволяти об'єм області, яка лежить під параболоїдом з рівнянням\(z=4-x^{2}-y^{2}\) і над\(xy\) -площині. У розділі 3.6 ми побачили, що
\[ V=\iint_{D}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d x d y=8 \pi , \nonumber \]
де
\[ D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} . \nonumber \]
Використання полярних координат значно спрощує оцінку цього інтеграла. З полярною зміною координат змінних
\[ x=r \cos (\theta) \nonumber \]
і
\[ y=r \sin (\theta) , \nonumber \]
замкнутий диск\(D\) у\(xy\) -площині відповідає замкнутому прямокутнику
\[ E=\{(r, \theta): 0 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq 2 \pi\} \nonumber \]
в\(r \theta \) -площині (див. Рис. 3.7.5 вище). Зверніть увагу, що при описі\(E\) ми дозволили\(\theta = 2 \pi \), але це не впливає на наш результат, оскільки рядок не має області в\(\mathbb{R}^2\). Більш того, якщо ми пустимо\(f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}\), то
\ [\ почати {вирівняний}
f (F (r,\ тета)) &= f (r\ cos (\ theta), r\ sin (\ тета))\\
&= 4-r^ {2}\ cos ^ {2} (\ тета) -r^ {2}\ sin (\ тета)\\
&=4-r^ {2}\ left (\ cos ^ {2} (\ тета) +\ тета гріх ^ {2} (\ тета)\ право. \\
&=4-r^ {2},
\ кінець {вирівняний}\]
що також випливає з того, що\(r^{2}=x^{2}+y^{2}\). Зараз
\ [\ frac {\ частковий (x, y)} {\ частковий (r,\ тета)} =\ лівий [\ початок {масив} {ll}
\ frac {\ частковий} {\ частковий r} r\ cos (\ тета) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ тета} r\ cos (\ тета)
\\ frac {\ partial} r\ sin (\ тета) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ тета} r\ sin (\ тета)
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {cr}
\ cos (\ тета) & -r\ sin (\ тета)
\\ sin (\ тета) & r\ cos (\ тета)
\ кінець {масив}\ справа],\]
тому
\[ \operatorname{det} \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=r \cos ^{2}(\theta)+r \sin ^{2}(\theta)=r\left(\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)\right)=r . \]
Отже, використовуючи (\(\ref{3.7.5}\)), ми маємо
\ [\ почати {вирівняний}
\ iint_ {D}\ лівий (4-x^ {2} -y^ {2}\ праворуч) d x d y &=\ iint_ {E}\ лівий (4-r^ {2}\ праворуч)\ ліворуч |\ ім'я оператора {det}\ frac {\ частковий (x, y)} {\ частковий (r,\ тета)}\ праворуч | d r d\ тета\\
&=\ int_ {0} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ лівий (4-r^ {2}\ праворуч) r d\ тета д r\\
&= \ int_ {0} ^ {2} 2\ пі\ ліворуч (4 r^ {3}\ праворуч) d r\\
&=\ ліво.2\ пі\ ліворуч (2 r^ {2} -\ frac {r^ {4}}} {4}\ праворуч)\ _ {0} ^ {2}\
&=2\ pi (8-4)\
&=8 пі\ =8 пі.
\ end {вирівняний}\]
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Припустимо,\(D\) це частина області між колами з рівняннями\(x^2 + y^2 = 1\) і\(x^2 + y^2 = 9\) яка лежить вище\(x\) -осі. Тобто,
\[ D=\left\{(x, y): 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, x \geq 0\right\} . \nonumber \]
Бажаємо оцінити
\[ \iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y . \nonumber \]
Під полярною зміною координат змінних
\[ x=r \cos (\theta) \nonumber \]
і
\[ y=r \sin (\theta) , \nonumber \]
кільцева область\(D\) відповідає замкнутому прямокутнику
\[ E=\{(r, \theta): 1 \leq r \leq 3,0 \leq \theta \leq \pi\} , \nonumber \]
як показано на малюнку 3.7.6 вище. Більш того,\(x^2 + y^2 = r^2\) і, як ми бачили в попередньому прикладі,
\[ \left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|=r . \nonumber \]
Звідси
\ [\ почати {вирівняний}
\ iint_ {D} e^ {-\ ліворуч (x^ {2} +y^ {2}\ праворуч)} d x d y &=\ iint_ {E} r e^ {-r^ {2}} д д\ тета\\
&=\ int_ {1} ^ {3}\ int_ {0} ^ {\ pi} -r^ {2}} д\ тета д р\\
&=\ int_ {1} ^ {3}\ пі р е^ {-r^ {2}} д r\\
&=-\ ліворуч. \ frac {\ pi} {2} e^ {-r^ {2}}\ праворуч |_ {1} ^ {3}\\
&=\ розриву {\ pi} {2}\ ліворуч (e^ {-1} -e^ {-9}\ праворуч).
\ end {вирівняний}\]
Зауважимо, що в цьому випадку зміна змінних не тільки спростила область інтеграції, але і поставила інтегровану функцію в форму, до якої ми могли б застосувати Фундаментальну теорему числення.
Сферичні координати
Далі розглянемо наступне розширення полярних координат до трьох просторів: задана точка\(P\) з декартовими координатами\((x,y,z)\), нехай\(\rho\) буде відстань від\(P\) до початку,\( \theta \) бути координатою кута для полярного координати\((x,y,0)\) (проекція\(P\) на\(xy\) площину), і нехай\(\varphi \) буде кут між вектором від початку до\(P\) і позитивної\(z\) -осі, вимірюється від 0 до\(\pi \). Якщо\(x \neq 0 \), у нас є
\[ \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} , \]
\[ \tan (\theta)=\frac{y}{x} , \]
і
\[ \cos (\varphi)=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} , \]
де\(0 \leq \theta<2 \pi\) і\(0 \leq \varphi \leq \pi\). Як і з полярними координатами,\(\theta = \frac{\pi}{2}\) якщо\(x=0\) ми дозволяємо\(\theta = \frac{3 \pi}{2}\) якщо\(y>0\)\(y<0\), якщо, і\(\theta\) не визначено, якщо\(y=0\). Див. Малюнок 3.7.7.
І навпаки, задана точка\(P\) зі сферичними координатами\(( \rho , \theta , \varphi )\), проекція\(P\) на\(xy\) -площину матиме полярну координату\(r=\rho \sin (\varphi)\). Звідси декартові координати\(P\) є
\[ x=\rho \cos (\theta) \sin (\varphi) , \]
\[ y=\rho \sin (\theta) \sin (\varphi) , \]
і
\[ z=\rho \cos (\varphi) . \]
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Якщо точка\(P\) має декартові координати (2, −2, 1), то її сферичні координати задовольняють
\[ \rho=\sqrt{4+4+1}=3 , \nonumber \]
\[ \tan (\theta)=\frac{-2}{2}=-1 , \nonumber \]
і
\[ \cos (\varphi)=\frac{1}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{1}{3} . \nonumber \]
Звідси ми маємо
\[ \theta=\frac{7 \pi}{4} \nonumber \]
і
\[ \varphi=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=1.2310 , \nonumber \]
де ми округлили значення\(\varphi \) до чотирьох знаків після коми. Звідси\(P\) має сферичні координати\(\left(3, \frac{7 \pi}{4}, 1.2310\right)\).
Приклад\(\PageIndex{7}\)
Якщо точка\(P\) має сферичні координати\(\left(4, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}\right)\), то її декартові координати
\[ x=4 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=4\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2} , \nonumber \]
\[ y=4 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{6} , \nonumber \]
і
\[ z=4 \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=4\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2 \sqrt{2} . \nonumber \]
Аналогічно нашій роботі з полярними координатами, ми думаємо про сферичне відображення координат
\[ (x, y, z)=F(\rho, \theta, \varphi)=(\rho \cos (\theta) \sin (\varphi), \rho \sin (\theta) \sin (\varphi), \rho \cos (\varphi)) \label{3.7.19} \]
як зміна змінних між\(\rho \theta \varphi \) -space і\(xyz\) -space. Це відображення особливо корисно для оцінки потрійних інтегралів, оскільки воно відображає прямокутні області в\(\rho \theta \varphi \) -просторі на сферичні області в\(xyz\) -просторі. Для самого основного прикладу, для будь-якого\(a>0\),\(F\) відображає прямокутну область
\[ E=\{(\rho, \theta, \varphi): 0 \leq \rho \leq a, 0 \leq \theta<2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi\} \nonumber \]
in\(\rho \theta \varphi \) -space на закритий куля
\[ D=\bar{B}^{3}((0,0,0), a)=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a\right\} \nonumber \]
в\(xyz\) -просторі. У загальному плані, для будь-якого\(0<a<b, 0 \leq \alpha<\beta<2 \pi\), і\(0 \leq \gamma<\delta \leq \pi, F\) карти прямокутної області
\[ E=\{(\rho, \theta, \varphi): a \leq \rho \leq b, \alpha \leq \theta<\beta, \gamma \leq \varphi \leq \delta\} \nonumber \]
на область\(D\) в\(xyz\) -просторі, яка лежить між концентричними сферами\(S^{2}((0,0,0), a)\) і\(S^{2}((0,0,0), b)\), і для якої кут\(\theta \) лежить між\(\alpha\) \(\beta\)і і кут\(\varphi\) між \(\gamma\)і\(\delta\). Наприклад, якщо, і\(\alpha=0, \beta=\pi, \gamma=0\)\(\delta = \frac{\pi}{2}\), то\(D\) становить половину області, що лежить між двома концентричними півкулями з радіусами\(a\) і\(b\).
Перш ніж використовувати сферичну зміну координат змінної in (\(\ref{3.7.19}\)) для оцінки інтеграла за допомогою (\(\ref{3.7.5}\)), нам потрібно обчислити детермінант якобійського з\(F\). Зараз
\ [\ почати {вирівняти}
\ розрив {\ частковий (x, y, z)} {\ частковий (\ rho,\ тета,\ varphi)} =&\ лівий [\ початок {масив} {ccc}\ frac {\ частковий} {\ rho}
\ rho\ cos (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ rho}\ cos (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ rho}}\ rho\ cos (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ frac {\ часткове} {\ часткове\ варфі}\ rho\ cos (\ тета)\ sin (\ varphi)\ nonumber\\ frac {
\ частковий} {\ частковий\ rho}\ rho\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ frac {\ partial} {\ rho\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ sin (\ тета)\ грін (\ варфі) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\\ sin (\ тета) phi}\ rho\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi)\ nonumber
\\ frac {\ частковий} {\ частковий\ rho}\ rho\ cos (\ varphi) &\ frac {\ частковий} {\ частковий\ тета}\ rho\ cos (\ varphi) &\ frac {\ частковий} {\ varphi}\ кінець {масив}
\ право]\ nonumber\
&=\ ліворуч [\ почати {масив} {cbin} cc}
\ cos (\ тета)\ sin (\ варфі) & -\ рхо\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ rho\ cos (\ тета)\ cos (\ varphi)
\ nonномер\\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi) &\ rho\ cos (\ тета)\ sin (\ rho\ sin (\ тета)\ cos (\
varphi)\) & 0 & -\ rho\ sin (\ varphi)\ nonnumber
\ кінець {масив}\ праворуч]\ мітка {}
\ end {вирівняти}\]
Отже, розширюючи уздовж третього ряду,
\ [\ begin {вирівнювання}
\ ім'я оператора {det}\ frac {\ частковий (x, y, z)} {\ частковий (\ рхо,\ тета,\ варфі)} =&\ cos (\ varphi)\ ліворуч (-\ rho^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета)\ sin (\ varphi)\ cos (\ varphi) -\ rho^ {2}\ cos ^ {2} (\ тета)\ sin (\ варфі)\ cos (\ varphi)\ право)\ nonumber\\
&-\ rho\ sin (\ варфі)\ ліворуч (\ rho\ cos ^ {2} (\ тета)\ sin ^ {2} (\ варфі) +\ rho\ sin ^ {2} (\ тета)\ sin ^ {2} (\ варфі)\ праворуч. \ nonumber\\
=&-\ rho^ {2}\ sin (\ varphi)\ cos ^ {2} (\ варфі)\ лівий (\ sin ^ {2} (\ тета) +\ cos ^ {2} (\ тета)\ правий) -\ rho^ {2}\ sin ^ {3} (\ варфі)\ лівий (\ sin ^ {2} (\ тета) +\ cos ^ {2} (\ тета)\ право)\ nonumber\
=&-\ rho^ {2}\ sin (\ варфі)\ cos ^ {2} (\ варфі) -\ rho^ {2}\ sin ^ {3} (\ варфі)\ номер\\
=&-\ rho^ {2}\ sin (\ варфі)\ лівий (\ cos ^ {2} (\ varphi) +\ sin ^ {2} (\ varphi)\ праворуч)\ nonumber\
=&-\ rho^ {2}\ sin (\ varphi)\ етикетка {}
\ кінець {вирівнювання}\]
Тепер\(\rho \geq 0\) і, з тих пір\(0 \leq \varphi \leq \pi, \sin (\varphi) \geq 0\), так
\[ \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \varphi)}\right|=\rho^{2} \sin (\varphi) . \label{3.7.22} \]
Приклад\(\PageIndex{8}\)
У попередньому прикладі ми використовували той факт, що об'єм сфери радіусом 1 дорівнює\(\frac{4 \pi}{3}\). У цьому прикладі ми перевіримо, що об'єм сфери радіуса\(a\) дорівнює\(\frac{4}{3} \pi a^{3}\). \(V\)Дозволяти буде обсяг
\[ D=\bar{B}^{3}((0,0,0), a) , \nonumber \]
замкнута куля радіуса,\(a\) зосереджена на початку в\(\mathbb{R}^3\). Тоді
\[ V=\iiint_{D} d x d y d z . \nonumber \]
Хоча ми можемо оцінити цей інтеграл за допомогою декартових координат, нам буде значно простіше використовувати сферичні координати. Використання сферичної зміни координат змінних
\ [\ почати {вирівняний}
&x =\ rho\ cos (\ тета)\ sin (\ varphi),\\
&y=\ rho\ sin (\ тета)\ sin (\ varphi),
\ end {вирівняний}\]
і
\[ z=\rho \cos (\varphi) , \nonumber \]
регіон\(D\) in\(xyz\) -space відповідає регіону
\[ E=\{(\rho, \theta, \varphi): 0 \leq \rho \leq a, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi\} \nonumber \]
в\(\rho \theta \varphi \) -просторі. Використовуючи (\(\ref{3.7.22}\)) в зміні змінних formula (\(\ref{3.7.5}\)), ми маємо
\ [\ почати {вирівняний}
V &=\ iiint_ {D} d x d y d z\\
&=\ iiint_ {E}\ ліворуч |\ ім'я оператора {det}\ frac {\ частковий (x, y, z)} {\ частковий (\ rho,\ тета,\ varphi)}\ право| d\ rho d\ тета д\ варфі\\
=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ int_ {0} ^ {\ pi}\ rho^ {2}\ sin (\ варфі) д\ варфі д\ тета д\ рхо\
&=\ лівий. \ int_ {0} ^ {a}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ ліворуч (-\ rho^ {2}\ cos (\ варфі)\ праворуч)\ праворуч | _ {0} ^ {0} ^ {0} ^ {0} ^ {0} ^ {0} ^ {0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (\ rho) {2} (-1-1)\ праворуч) d\ тета д\ рхо\
&=2\ int_ {0} ^ {a}\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ rho^ {2} d\ тета д\ рхо\\
&=4\ пі\ int
_ {0} ^ {a}\ rho^ {2} d\ rho\\
&=\ ліворуч. \ розрив {4\ пі} {3}\ rho^ {3}\ right|_ {0} ^ {a}\\
&=\ гідророзриву {4} {3}\ пі a^ {3}.
\ end {вирівняний}\]
Приклад\(\PageIndex{9}\)
Припустимо, ми бажаємо оцінити
\[ \iiint_{D} \log \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z , \nonumber \]
де\(D\) - область, в\(\mathbb{R}^3\) якій лежить між двома сферами з рівняннями\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\) і і над\(xy\) -площиною. Під сферичною зміною координат змінних
\[ x=\rho \cos (\theta) \sin (\varphi) , \nonumber \]
\[ y=\rho \sin (\theta) \sin (\varphi) , \nonumber \]
і
\[ z=\rho \cos (\varphi) , \nonumber \]
регіон\(D\) in\(xyz\) -space відповідає регіону
\[ E=\left\{(\rho, \theta, \varphi): 1 \leq \rho \leq 2,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\right\} \nonumber \]
в\(\rho \theta \varphi \) -просторі. Використовуючи (\(\ref{3.7.22}\)) в зміні змінних formula (\(\ref{3.7.5}\)), ми маємо
\ [\ почати {вирівняний}
\ iiint_ {D}\ log\ sqrt {x^ {2} +y^ {2} +z^ {2}} д х г г г &=\ iiint_ {E}\ log (\ rho)\ ліворуч |\ frac {\ частковий (x, y, z)} {\ частковий (\ rho,\ тета,\ варфі})\ праворуч | д\ рхо д\ тета д\ варфі\\
&=\ int_ {1} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2\ пі}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ rho^ {2}\ log (\ rho)\ sin (\ varphi) d\ varphi d\ тета д\ рхо\
&=\ лівий. \ int_ {1} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ ліворуч (-\ rho^ {2}\ лог (\ rho)\ cos (\ варфі)\ праворуч)\ праворуч | _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} д\ тета д\ рхо\
&=\ int_ {1} ^ {2} 0} ^ {2\ пі}\ ліворуч (-\ rho^ {2}\ log (\ rho)\ праворуч) (0-1) d\ тета д\ rho\
&=\ int_ {1} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ rho^ {2}\ лог (\ rho) d\ тета д\ рхо\
&=2\ пі\ int_ {1} ^ {2}\ rho^ {2}\ log (\ rho) d\ rho.
\ end {вирівняний}\]
Ми використовуємо інтеграцію частинами, щоб оцінити цей остаточний інтеграл: дозволяючи
\[ u = log(\rho) \\ dv = \rho^2 d \rho \\ \\ du = \frac{1}{\rho} d \rho \\ v = \frac{\rho^3 }{3}, \nonumber \]
у нас є
\ [\ почати {вирівняний}
\ iiint_ {D}\ log\ sqrt {x^ {2} +y^ {2} +z^ {2}} д х г г г &=2\ пі\ ліворуч (\ ліворуч. \ frac {1} {3}\ rho^ {3}\ log (\ rho)\ право|_ {1} ^ {2} -\ frac {1} {3}\ int_ {1} ^ {2}\ rho {2} d\ rho\ праворуч)\\
&=\ frac {16} {3}\ пі\ лог (2) -\ ліворуч. \ розрив {2\ пі\ rho^ {3}} {9}\ right|_ {1} ^ {2}\\
&=\ гідророзриву {16} {3}\ пі\ лог (2) -\ гідророзриву {14\ pi} {9}\
&=\ гідророзриву {2\ pi} {3}\ ліворуч (8\ лог (2) -\ frac {7} {3}\ праворуч).
\ end {вирівняний}\]