3.6.E: Певні інтеграли (вправи)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Оцініть кожен з наступних ітераційних інтегралів.

(а)\(\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} 3 x y^{2} d y d x\)

(б)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\pi} 4 x \sin (x+y) d y d x\)

(c)\(\int_{-2}^{2} \int_{-1}^{1}\left(4-x^{2} y^{2}\right) d x d y\)

(г)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} e^{x+y} d x d y\)

Відповідь

(а)\(\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} 3 x y^{2} d y d x=32\)

(c)\(\int_{-2}^{2} \int_{-1}^{1}\left(4-x^{2} y^{2}\right) d x d y=\frac{256}{9}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Оцінити наступні визначені інтеграли над заданими прямокутниками.

(а)\(\iint_{D}\left(y^{2}-2 x y\right) d x d y, D=[0,2] \times[0,1]\)

(б)\(\iint_{D} \frac{1}{(x+y)^{2}} d x d y, D=[1,2] \times[1,3]\)

(c)\(\iint_{D} y e^{-x} d x d y, D=[0,1] \times[0,2]\)

(г)\(\iint_{D} \frac{1}{2 x+y} d x d y, D=[1,2] \times[0,1]\)

Відповідь

(а)\(\iint_{D}\left(y^{2}-2 x y\right) d x d y=-\frac{4}{3}\)

(c)\(\iint_{D} y e^{-x} d x d y=2\left(1-e^{-1}\right.\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Для кожного з наступного оцініть ітераційні інтеграли та намалюйте область інтеграції.

(а)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{y}\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x d y\)

(б)\(\int_{0}^{1} \int_{x^{4}}^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x\)

(c)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d y d x\)

(г)\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} x y e^{-x-y} d x d y\)

Відповідь

(а)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{y}\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x d y=\frac{16}{15}\)

(c)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d y d x=2 \pi\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть об'єм області під графіком прямокутника\(f(x, y)=2+x^{2}+y^{2}\) та над ним\(D=[-1,1] \times[-2,2] \).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть об'єм області під графіком області\(f(x, y)=4-x^{2}+y^{2}\) та над ним\(D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\}\). Намалюйте регіон\(D\).

Відповідь

\(\frac{32}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Оцініть\(\iint_{D} x y d x d y\), де\(D\) область обмежена\(x\) віссю,\(y\) -віссю та\(D\) лінією\(y=2-x\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Оцініть\(\iint_{D} e^{-x^{2}} d x d y\) де\(D=\{(x, y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1\}\).

Відповідь

\(\iint_{D} e^{-x^{2}} d x d y=\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайти обсяг області в\(\mathbb{R}^3\) описаних\(x \geq 0\)\(y \geq 0\), і\(0 \leq z \leq 4-2 y-4 x\).

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайдіть об'єм області в\(\mathbb{R}^3\) лежанні над\(xy\) -площиною і нижче поверхні за допомогою рівняння\(z=16-x^{2}-y^{2}\).

Відповідь

\(56 \pi \)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Знайти об'єм області в\(\mathbb{R}^3\) лежить над\(xy\) -площиною і нижче поверхні за допомогою рівняння\(z=4-2 x^{2}-y^{2} .\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Оцініть кожен з наступних ітераційних інтегралів.

(а)\(\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}-z^{2}\right) d y d x d z\)

(б)\(\int_{-2}^{3} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{2} 3 x y z d x d y d z\)

(c)\(\int_{0}^{4} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}\left(x^{2}-y z\right) d z d y d x\)

(г)\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y} \int_{0}^{x+y+z} w d w d z d y d x\)

Відповідь

(а)\(\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}-z^{2}\right) d y d x d z=-16\)

(c)\(\int_{0}^{4} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}\left(x^{2}-y z\right) d z d y d x=\frac{2432}{15}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Знайти об'єм області в\(\mathbb{R}^3\) обмеженій параболоїдами з рівняннями\(z=3-x^{2}-y^{2}\) і\(z=x^{2}+y^{2}-5\).

Відповідь

\(16 \pi \)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Оцініть\(\iiint_{D} x y d x d y d z\), де\(D\) область обмежена -площиною,\(xy\) -площиною,\(yz\) -площиною, і\(xz\) площиною з рівнянням\(z = 4 − x − y\).

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Якщо\(f(x,y,z)\) являє собою щільність маси в точці\((x,y,z)\) об'єкта, що займає область\(D\) в\(\mathbb{R}^3\), то

\[ \iiint_{D} f(x, y, z) d x d y d z \nonumber \]

це сумарна маса об'єкта і точка\((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\), де

\[ \bar{x}=\frac{1}{m} \iiint_{D} x f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

\[ \bar{y}=\frac{1}{m} \iiint_{D} y f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

і

\[ \bar{z}=\frac{1}{m} \iiint_{D} z f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

називається центром маси предмета. Припустимо,\(D\) це область, обмежена площинами\(x=0, y=0, z=0\), і\(z=4-x-2y\).

(а) Знайдіть загальну масу та центр маси для об'єкта, що займає область\(D\) з масовою щільністю, заданою\(f(x, y, z)=1\).

(b) Знайдіть загальну масу та центр маси для об'єкта, що займає область\(D\) з масовою щільністю, заданою\(f(x, y, z)=z\).

Відповідь

(а) Маса:\(\frac{16}{3}\); центр маси:\(\left(1, \frac{1}{2}, 1\right)\)

(b) Маса:\(\frac{16}{3}\); центр маси:\(\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}, \frac{8}{5}\right)\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Якщо\(X\) і\(Y\) є точками, вибраними випадковим чином з інтервалу [0, 1], то ймовірність того, що\((X,Y)\) лежить в підмножині\(D\) одиничного квадрата,\([0,1] \times[0,1]\) дорівнює\(\iint_{D} d x d y\).

(а) Знайдіть ймовірність того, що\(X \leq Y\).

(б) Знайти ймовірність того, що\(X+Y \leq 1\).

(c) Знайти ймовірність того, що\(XY \geq \frac{1}{2} \).

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Якщо\(X\)\(Y\), і\(Z\) є точками, вибраними випадковим чином з інтервалу [0, 1], то ймовірність того, що\((X,Y,Z)\) лежить в підмножині\(D\) одиничного куба,\([0,1] \times[0,1] \times[0,1]\) дорівнює\(\iiint_{D} d x d y d z\).

(а) Знайдіть ймовірність того, що\(X \leq Y \leq Z \).

(б) Знайти ймовірність того, що\(X+Y+Z \leq 1\).

Відповідь

(а)\(\frac{1}{6}\)

(б)\(\frac{1}{6}\)