A.8: Конічні перерізи та чотирикутні поверхні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60931

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Конічний перетин - це крива перетину конуса і площини, яка не проходить через вершину конуса. Це проілюстровано на малюнках нижче.

$conePlaneCircle.svg$ $conePlaneEllipse.svg$ $conePlaneParabola.svg$ $conePlaneHyperbola.svg$

Еквівалентне ¹ (і часто використовується) визначення полягає в тому, що конічний переріз - це множина всіх точок у$xy$ -площині, які$Q(x,y)=0$ підкоряються

\[ Q(x,y) = Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F =0 \nonumber \]

будучи поліномом ступеня два ². Обертаючи і перекладаючи нашу систему координат, рівняння конічного перерізу можна привести в одну з форм ³.

Це твердження може бути виправдано за допомогою лінійної алгебри з власним значенням/власним векторним аналізом. Це виходить за рамки того, що ми можемо тут висвітлити, але це не надто складно для стандартного курсу лінійної алгеби.

$\alpha x^2 + \beta y^2 =\gamma $за допомогою$\alpha ,\be,\gamma \gt 0\text{,}$ якого є еліпс (або коло),
$\alpha x^2 - \beta y^2 =\gamma $при$\alpha ,\beta \gt 0\text{,}$$\gamma \ne0\text{,}$ якому знаходиться гіпербола,
$x^2 = \delta y\text{,}$з$\delta\ne 0$ яким відбувається парабола.

Тривимірні аналоги конічних перерізів, поверхні в трьох вимірах, задані квадратними рівняннями, називаються квадриками. Прикладом може служити сфера$x^2+y^2+z^2=1\text{.}$

Ось кілька таблиць, що дають всі квадратні поверхні.

найменування	еліптичний циліндр	параболічний циліндр	гіперболічний циліндр	сфера
рівняння в стандартній формі	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$y=ax^2$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$x^2\!+\!y^2\!+\!z^2=r^2$
$x=$постійний перетин	дві лінії	один рядок	дві лінії	коло
$y=$постійний перетин	дві лінії	дві лінії	дві лінії	коло
$z=$постійний перетин	еліпс	парабола	гіпербола	коло
ескіз	$cylinder.svg$	$parabolic_cylinder.svg$	$hyperbolic_cylinder.svg$	$sphere.svg$

Малюнок А.8.1. Таблиця конічних перерізів

найменування	еліпсоїд	еліптичний параболоїд	еліптичний конус
рівняння в стандартній формі	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$
$x=$постійний перетин	еліпс	парабола	два рядки$x=0\text{,}$ гіперболи, якщо$x\ne 0$
$y=$постійний перетин	еліпс	парабола	два рядки$y=0\text{,}$ гіперболи, якщо$y\ne 0$
$z=$постійний перетин	еліпс	еліпс	еліпс
ескіз	$ellipsoid.svg$	$elliptic_paraboloid.svg$	$cone.svg$

Малюнок А.8.2. Таблиця квадратних поверхонь-1

найменування	гіперболоїд одного листа	гіперболоїд двох аркушів	гіперболічний параболоїд
рівняння в стандартній формі	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}$
$x=$постійний перетин	гіпербола	гіпербола	парабола
$y=$постійний перетин	гіпербола	гіпербола	парабола
$z=$постійний перетин	еліпс	еліпс	два рядки$z=0\text{,}$ гіперболи, якщо$z\ne 0$
ескіз	$hyperboloid1.svg$	$hyperboloid2.svg$	$hyperbolic_paraboloid.svg$

Малюнок А.8.3. Таблиця квадратних поверхонь-2

Це поза межами нашої сфери, щоб довести цю еквівалентність. Технічно ми також повинні вимагати, щоб$A\text{,}$$B\text{,}$$C\text{,}$$D\text{,}$$E\text{,}$$F\text{,}$ константи були дійсними числами,$A\text{,}$$B\text{,}$$C$ які не є нулем, що$Q(x,y)=0$ має більше одного дійсного розв'язку, і що многочлен не може бути врахований у добуток з двох многочленів першого ступеня.