A.7: Позначення системи координат ISO

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60944

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому тексті ми вибрали символи для різних полярних, циліндричних та сферичних координат, які є стандартними для математики. Існує ще один, інший, набір символів, які зазвичай використовуються в фізичних науках і техніці. Дійсно, існує міжнародна конвенція, яка називається ISO 80000-2, яка визначає ці символи ¹. У цьому додатку ми узагальнюємо визначення та стандартні властивості полярної, циліндричної та сферичної систем координат за допомогою символів ISO.

A.7.1 Полярні координати

У конвенції ISO символи$\rho$ і$\phi$ використовуються (замість$r$ і$\theta$) для полярних координат.

\[\begin{align*} \rho&=\text{ the distance from }(0,0)\text{ to }(x,y)\\ \phi&=\text{ the (counter-clockwise) angle between the $x$-axis }\\ & \qquad \text{ and the line joining $(x,y)$ to $(0,0)$} \end{align*}\]

$ISOpolar.svg$

Декартові та полярні координати пов'язані

\[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi \\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} \end{align*}\]

Наступні дві цифри показують ряд ліній константи$\phi\text{,}$ зліва, а криві константи$\rho\text{,}$ праворуч.

$ISOpolarTh.svg$ $ISOpolarR.svg$

Зауважте, що полярний кут$\phi$ визначається лише до цілих кратних.$2\pi\text{.}$ Наприклад, точка$(1,0)$ на$x$ осі -може мати,$\phi=0\text{,}$ але може мати$\phi=2\pi$ або Іноді$\phi=4\pi\text{.}$ зручно призначати$\phi$ від'ємні значення. Коли$\phi\lt 0\text{,}$ кут проти годинникової стрілки$\phi$ відноситься до кута$|\phi|\text{.}$ за годинниковою стрілкою Наприклад, точка$(0,-1)$ на негативній$y$$\phi=-\frac{\pi}{2}$ осі може мати і може мати$\phi=\frac{3\pi}{2}\text{.}$

$ISOpolarNegTh.svg$

Також іноді зручно розширити вищевказані визначення, сказавши, що$x=\rho\cos\phi$ і$y=\rho\sin\phi$ навіть коли$\rho$ є негативним. Наприклад, на наступному малюнку показано$(x,y)$ для$\rho=1\text{,}$$\phi=\frac{\pi}{4}$ і для$\rho=-1\text{,}$$\phi=\frac{\pi}{4}\text{.}$

$ISOpolarNeg.svg$

Обидві точки лежать на лінії через початок, що робить кут$45^\circ$ з$x$ -віссю, і обидві є відстанню від початку. Але вони знаходяться по протилежних сторонам походження.

Елемент площі в полярних координатах

\[ \mathrm{d}A = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi \nonumber \]

$ISOpolarA.svg$

A.7.2 Циліндричні координати

У конвенції ISO символи$\rho\text{,}$$\phi$ і$z$ використовуються (замість$r\text{,}$$\theta$ і$z$) для циліндричних координат.

\[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \phi&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

$ISOcyl1.svg$

Декартові і циліндричні координати пов'язані

\[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi & z&=z\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

Ось три фігури, що показують поверхню$\rho\text{,}$ постійної, поверхню постійної$\phi\text{,}$ і поверхню постійної.$z\text{.}$

$ISOcyl3.svg$ $ISOcyl4.svg$ $ISOcyl2.svg$

Нарешті, ось малюнок, що показує елемент об'єму$\mathrm{d}V$ в циліндричних координатах.

$ISOcyl5.svg$

A.7.3 Сферичні координати

У конвенції ISO символи$r$ (замість$\rho$),$\phi$ (замість$\theta$) і$\theta$ (замість$\phi$) використовуються для сферичних координат.

\[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \theta&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \phi&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

$ISOspherical.svg$

Ось ще дві фігури, що дають вид збоку і зверху попередньої фігури.

$ISOsphericalSide.svg$ $ISOsphericalTop.svg$

Декартові і сферичні координати пов'язані

\[\begin{align*} x&=r\sin\theta\cos\phi & y&=r\sin\theta\sin\phi & z&=r\cos\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & \theta&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

Ось три фігури, що показують поверхню$r\text{,}$ постійної, поверхню постійної$\phi\text{,}$ і поверхню постійної.$\theta\text{.}$

$ISOspher2.svg$ $ISOspher3.svg$ $ISOspher4.svg$

Нарешті, ось малюнок, що показує елемент об'єму$\mathrm{d}V$ в сферичних координатах

$ISOspher5.svg$

і два витяжки з наведеного вище малюнка, щоб було легше побачити, як чинники$r\ \mathrm{d}\theta$ і$r\sin\theta\ \mathrm{d}\phi$ виникають.

Він визначає більше, ніж просто ці символи. Дивіться https://en.Wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 та https://en.Wikipedia.org/wiki/ISO/IEC_80000 Повний ISO 80000-2 доступний за адресою[1] — за $. https://www.iso.org/standard/64973.html