A.6:3d системи координат

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60922

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

A.6.1 Декартові координати

Ось малюнок, що показує визначення трьох декартових координат$(x,y,z)$

$cart1.svg$

і ось три фігури, що показують поверхню$x\text{,}$ постійної поверхні постійної$x\text{,}$ і поверхню постійної$z\text{.}$

$cart3.svg$ $cart4.svg$ $cart2.svg$

Нарешті, ось малюнок, що показує елемент об'єму$\text{d}V$ в декартових координатах.

$cart5.svg$

A.6.2 Циліндричні координати

Ось малюнок, що показує визначення трьох циліндричних координат

\[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \theta&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

$cyl1.svg$

Декартові і циліндричні координати пов'язані

\[\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta & z&=z\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

Ось три фігури, що показують поверхню$r\text{,}$ постійної, поверхню постійної$\theta\text{,}$ і поверхню постійної.$z\text{.}$

$cyl3.svg$ $cyl4.svg$ $cyl2.svg$

Нарешті, ось малюнок, що показує елемент об'єму$\text{d}V$ в циліндричних координатах.

$cyl5.svg$

A.6.3 Сферичні координати

Ось малюнок, що показує визначення трьох сферичних координат

\[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \varphi&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \theta&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

$spherical.svg$

а ось ще дві фігури, що дають вид збоку і зверху попередньої фігури.

$sphericalSide.svg$ $sphericalTop.svg$

Декартові і сферичні координати пов'язані

\[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta & y&=\rho\sin\varphi\sin\theta & z&=\rho\cos\varphi\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & \varphi&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

Ось три фігури, що показують поверхню$\rho\text{,}$ постійної, поверхню постійної$\theta\text{,}$ і поверхню постійної.$\varphi\text{.}$

$spher2.svg$ $spher3.svg$ $spher4.svg$