A.2: Повноваження та логарифми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60923

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

A.2.1 Повноваження

У наступному,$x$ і$y$ є довільними дійсними числами,$q$ є довільною константою, яка строго більше нуля і$e$ становить 2.7182818284, до десяти знаків після коми.

$\displaystyle e^0=1,\quad q^0=1$
$\displaystyle e^{x+y}=e^xe^y, \quad e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}, \quad q^{x+y}=q^xq^y, \quad q^{x-y}=\frac{q^x}{q^y}$
$\displaystyle e^{-x}=\frac{1}{e^x}, \quad q^{-x}=\frac{1}{q^x}$
$\displaystyle \big(e^x\big)^y=e^{xy}, \quad \big(q^x\big)^y=q^{xy}$
$\displaystyle \dfrac{d}{dx}e^x=e^x, \quad \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}, \quad \dfrac{d}{dx}q^x=(\ln q)\ q^x$
$\int e^x\ \text{d}x=e^x+C, \quad \int e^{ax}\ \text{d}x=\frac{1}{a}e^{ax}+C$якщо$a\ne 0$
$\displaystyle e^x =\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}q^x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}q^x=0$якщо$q \gt 1$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}q^x=0, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}q^x=\infty$якщо$0 \lt q \lt 1$
Графік роботи$2^x$ наведено нижче. Графік$q^x\text{,}$ для будь-якого$q \gt 1\text{,}$ аналогічний.

$expGraph2.svg$

A.2.2 Логарифми

Далі$x$ і$y$ є довільними дійсними числами, які строго більше 0 (крім випадків, коли не вказано інше),$p$ і$q$ є довільними константами, які строго більше одиниці, і$e$ становлять 2.7182818284, до десяти знаків після коми. Позначення$\ln x$ означає, що$\log_e x\text{.}$ деякі люди використовують,$\log x$ щоб означати, що$\log_{10} x\text{,}$ інші використовують його, щоб означати,$\log_e x$ а треті використовують його як означати$\log_2 x\text{.}$

$\displaystyle e^{\ln x}=x,\quad q^{\log_q x}=x$
$\ln \big(e^x\big)=x,\quad \log_q \big(q^x\big)=x\quad$для всіх$-\infty \lt x \lt \infty$
$\displaystyle \log_q x=\frac{\ln x}{\ln q}, \quad \ln x=\frac{\log_p x}{\log_p e}, \quad \log_q x=\frac{\log_p x}{\log_p q}$
$\ln 1=0,\quad \ln e=1$
$\log_q 1=0,\quad \log_q q=1$
$\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y, \quad \log_q(xy)=\log_q x+\log_q y$
$\displaystyle \ln\big(\frac{x}{y}\big)=\ln x-\ln y, \quad \log_q\big(\frac{x}{y}\big)=\log_q x-\log_q y$
$\displaystyle \ln\big(\frac{1}{y}\big)=-\ln y, \quad \log_q\big(\frac{1}{y}\big)=-\log_q y$
$\displaystyle \ln(x^y)=y\ln x, \quad \log_q(x^y)=y\log_q x$
$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \dfrac{d}{dx}\log_q x = \frac{1}{x\ln q}$
$\displaystyle \int \ln x\ \text{d}x= x\ln x-x +C, \quad \int \log_q x\ \text{d}x= x\log_q x-\frac{x}{\ln q} +C$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\ln x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\ln x=-\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_q x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\log_q x=-\infty$
Графік роботи$\log_{10} x$ наведено нижче. Графік$\log_q x\text{,}$ для будь-якого$q \gt 1\text{,}$ аналогічний.

$logGraph10.svg$