5.2: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60881

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

1 ✳

Правда чи брехня?

$\vecs{ \nabla} \cdot(\textbf{a} \times\vecs{r} ) = 0\text{,}$де$\textbf{a}$ постійний вектор в$\mathbb{R}^3$, і$\vecs{r} $ є векторним полем$\vecs{r} = (x, y, z)\text{.}$
$\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} f) = 0$для всіх скалярних полів$f$ на$\mathbb{R}^3$ з неперервними другими частинними похідними.
$\vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = \vecs{ \nabla} (f)\cdot \vecs{F} + f \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}$для кожного векторного поля$\vecs{F} $ в$\mathbb{R}^3$ з неперервними частинними похідними та кожної скалярної функції$f$ в$\mathbb{R}^3$ з неперервними частинними похідними.
$\vecs{F} $Припустимо, векторне поле з неперервними частинними похідними в області$D$,$D\text{,}$ де знаходиться$\mathbb{R}^3$ без походження. Якщо$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \gt 0$ протягом усього,$D\text{,}$ то потік$F$ через сферу радіуса$5$ з центром у початку є позитивним.
Якщо$\vecs{F} $ векторне поле визначено і має безперервні часткові похідні$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}$ скрізь$\mathbb{R}^3\text{,}$ і воно задовольняє скрізь, то для кожної сфери потік з однієї півкулі дорівнює потоку в протилежну півкулю.
Якщо$\vecs{r} (t)$ є двічі безперервно диференційованим шляхом$\mathbb{R}^2$ з постійною кривизною,$\kappa\text{,}$ то$\vecs{r} (t)$ параметризує частину кола радіуса.$1/\kappa\text{.}$
$\vecs{F} = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}\,,\,\frac{x}{x^2+y^2}\right)$Векторне поле є консервативним у своїй області, яка$\mathbb{R}^2\text{,}$ без походження.
Якщо векторне поле$\vecs{F} = (P, Q)$ в$\mathbb{R}^2$ має$Q = 0$ скрізь,$\mathbb{R}^2\text{,}$ то лінійний інтеграл$\oint\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $ дорівнює нулю, для кожної простої замкнутої кривої в$\mathbb{R}^2\text{.}$
Якщо прискорення і швидкість рухомої частинки в$\mathbb{R}^3$ постійні, то рух відбувається по спіралі.

2 ✳

Правда чи брехня?

$\vecs{ \nabla} \times(\textbf{a} \times\vecs{r} ) = 0\text{,}$де$\textbf{a}$ постійний вектор в$\mathbb{R}^3$, і$\vecs{r} $ є векторним полем$\vecs{r} = (x, y, z)\text{.}$
$\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f) = 0$для всіх скалярних полів$f$ на$\mathbb{R}^3$ з неперервними другими частинними похідними.
$\vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} ) = 0$для кожного векторного поля$\vecs{F} $ з$\mathbb{R}^3$ неперервними другими частинними похідними.
$\vecs{F} $Припустимо, векторне поле з неперервними частинними похідними в області$D$,$D\text{,}$ де знаходиться$\mathbb{R}^3$ без походження. Якщо$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}$ тоді потік$\vecs{F} $ через сферу радіуса$5$ з центром у початку$0\text{.}$
$\vecs{F} $Припустимо, векторне поле з неперервними частинними похідними в області$D$,$D\text{,}$ де знаходиться$\mathbb{R}^3$ без походження. Якщо$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =\vecs{0}$ тоді$\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $ дорівнює нулю, то для кожної простої і плавної замкнутої кривої$\mathbb{R}^3$,$C$ в якій уникає походження.
Якщо$\vecs{F} $ векторне поле визначено і має безперервні часткові похідні$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \gt 0\text{,}$ скрізь$\mathbb{R}^3\text{,}$ і воно задовольняє скрізь, то для кожної сфери потік з однієї півкулі більший, ніж потік у протилежну півкулю.
Якщо$\vecs{r} (t)$ шлях$\mathbb{R}^3$ з постійною кривизною,$\kappa\text{,}$ то$\vecs{r} (t)$ параметризує частину кола радіуса.$1/\kappa\text{.}$
$\vecs{F} = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}\,,\,\frac{x}{x^2+y^2} \,,\,z\right)$Векторне поле є консервативним у своїй області, яка$\mathbb{R}^3\text{,}$ без$z$ -осі.
Якщо всі лінії потоку векторного поля$\mathbb{R}^3$ паралельні$z$ -осі, то циркуляція векторного поля навколо кожної замкнутої кривої дорівнює$0\text{.}$
Якщо швидкість рухомої частинки постійна, то її прискорення ортогонально її швидкості.

3 ✳

Правда чи брехня? Якщо$\vecs{r} (t)$ положення в момент переміщення$t$ об'єкта$\mathbb{R}^3\text{,}$ і двічі диференційоване, то$\vecs{r} (t)$$|\vecs{r} ''(t)|$ є тангенціальною складовою його прискорення.
Нехай$\vecs{r} (t)$ є плавною кривою в$\mathbb{R}^3$ з одиничними дотичними, нормальними та бінормальними векторами$\hat{\textbf{T}}(t)\text{,}$$\hat{\textbf{N}}(t)\text{,}$$\hat{\textbf{B}}(t)\text{.}$ Які два з цих векторів охоплюють площину, нормаль до кривої на$\vecs{r} (t)\text{?}$
Правда чи брехня? Якщо$\vecs{F} = P\hat{\pmb{\imath}} + Q\hat{\pmb{\jmath}} + R\hat{\mathbf{k}}$ є векторним полем на$\mathbb{R}^3$ таких, що$P\text{,}$$Q\text{,}$$R$ мають безперервні похідні першого порядку, а якщо$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{0}$ всюди на$\mathbb{R}^3$,$\vecs{F} $ то консервативне.
Правда чи брехня? Якщо$\vecs{F} = P\hat{\pmb{\imath}} + Q\hat{\pmb{\jmath}} + R\hat{\mathbf{k}}$ векторне поле на$\mathbb{R}^3$ таких, які$P\text{,}$$Q\text{,}$$R$ мають неперервні похідні другого порядку, то$\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \cdot F) = 0\text{.}$
Правда чи брехня? Якщо$\vecs{F} $ векторне поле на$\mathbb{R}^3$ таке, що$|\vecs{F} (x, y, z)| = 1$ для всіх$x\text{,}$$y\text{,}$$z\text{,}$ і$S$ якщо сфера,$x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}$ то$\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = 4\pi\text{.}$
Правда чи брехня? Кожна закрита поверхня$S$ в$\mathbb{R}^3$ орієнтована. (Нагадаємо,$S$ що замкнутий, якщо це межа твердої області$E\text{.}$)

4 ✳

У кривій, показаній нижче (спіраль, що лежить на поверхні конуса), кривизна збільшується, зменшується або постійна при збільшенні z?
$helixCone.svg$
З двох функцій, показаних нижче, одна - функція,$f(x)$ а одна - її кривизна$\kappa(x)\text{.}$ Що таке?
$OE10D_10b.svg$
$C$Дозволяти крива перетину циліндра$x^2 + z^2 = 1$ і сідла$xz = y\text{.}$ Parametrise$C\text{.}$ (Обов'язково вкажіть область вашої параметризації.)
$H$Дозволяти бути гвинтовий пандус (також відомий як гелікоїд), який обертається навколо$z$ -осі в напрямку годинникової стрілки, розглянутого зверху, починаючи з осі y, коли$z = 0\text{,}$ і піднімаючись$2\pi$ одиниць кожного разу, коли він робить повний оборот. $S$Дозволяти тієї частини$H$, яка лежить зовні циліндра$x^2 + y^2 = 4\text{,}$ над$z = 0$ площиною і нижче$z = 5$ площини. Виберіть одну з наведених нижче функцій і вкажіть домен, на якому вибрана вами функція параметризує S. (Підказка: можлива лише одна з наступних функцій.)
1. $\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \cos v, u \sin v, u\big)$
2. $\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \cos v, u \sin v, v\big)$
3. $\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \sin v, u \cos v, u\big)$
4. $\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \sin v, u \cos v, v\big)$
Запишіть параметризовану криву нульової кривизни і довжини дуги$1\text{.}$ (обов'язково вкажіть область вашої параметризації.)
Якщо$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} $ є постійною$C$ на всіх$\mathbb{R}^3\text{,}$ і$S$ є кубом одиниці об'єму, такий, що потік назовні через кожну сторону$S$ є$1\text{,}$ те, що є$C\text{?}$
Нехай
\[ \vecs{F} (x, y) = \big(ax + by\,,\, cx + dy\big) \nonumber \]
Дайте повний набір$a\text{,}$$b\text{,}$$c$ і$d$ такий, що$\vecs{F} $ консервативний.
Якщо$\vecs{r} (s)$ було параметризовано довжиною дуги ($s$тобто довжиною дуги), яка довжина дуги$\vecs{r} (s)$ між$s = 3$ і$s = 5\text{?}$
$\vecs{F} $Дозволяти бути 2D векторне поле, яке визначається скрізь, крім точок, позначених$P$ і$Q\text{.}$ Припустимо, що$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0$ скрізь на області$\vecs{F} \text{.}$ Розглянемо п'ять кривих$R\text{,}$$S\text{,}$$T\text{,}$$U\text{,}$ і$V$ показані на малюнку.
Що з наступного обов'язково вірно?

$OE10D_10i.svg$
1. $\displaystyle \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $
2. $\displaystyle \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = 0$
3. $\displaystyle \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $
4. $\displaystyle \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $
5. $\displaystyle \int_V \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = 0$
Запишіть 3D векторне поле$\vecs{F} $ таким чином, щоб для всіх замкнутих$S\text{,}$ поверхонь обсяг,$S$ укладений, дорівнював
\[ \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]
Розглянемо векторне поле$\vecs{F} $ в$xy$ -площині, показаному нижче. Чи є$\hat{\mathbf{k}}^{\rm th}$ складовою$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} $ при$P$ позитивному, негативному або нульовому?

$shearField.svg$

5 ✳

Скажіть, чи є наступні твердження істинними чи хибними.

Якщо$\vecs{F} $ це 3D векторне поле, визначене на всіх$\mathbb{R}^3$,$S_1$ і$S_2$ є двома поверхнями з однаковою межею, але$\iint_{S_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \ne \iint_{S_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}$ тоді ніде не$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} $ дорівнює нулю.
Якщо$\vecs{F} $ є векторним полем, що задовольняє$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} $ = 0, домен якого не просто з'єднаний, то не$\vecs{F} $ є консервативним.
Окуляційна окружність кривої$C$ в точці має той же одиничний дотичний вектор, одиничний нормальний вектор та кривизну, що і$C$ в цій точці.
Планета, що обертається навколо Сонця, має період, пропорційний кубу великої осі орбіти.
Для будь-якого 3D векторного поля$\vecs{F} \text{,}$$\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )$ = 0.
Поле, розбіжність якого дорівнює нулю скрізь у своїй області, має замкнуті поверхні$S$ у своїй області.
Гравітаційне силове поле консервативне.
Якщо$\vecs{F} $ поле визначено на всіх$\mathbb{R}^3$ таких, що$\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 3$ для деякої кривої$C\text{,}$ тоді$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} $ ненульовий в якийсь момент.
Нормальна складова прискорення для кривої постійної кривизни - постійна.
Крива, визначена
\[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^4)\,\hat{\pmb{\imath}} + 3t^4\hat{\pmb{\jmath}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty, \nonumber \]
збігається з кривою, визначеною
\[ \vecs{r} _2(t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + 3t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

6 ✳

Які з наведених нижче тверджень є істинними (T), а які є хибними (F)?

Усі дійсні функції$f(x,y,z)$ та всі векторні поля$\vecs{F} (x, y, z)$ мають домен,$\mathbb{R}^3$ якщо не вказано інше.

Якщо$f$ це суцільна реальна ціннісна функція і$S$ гладка орієнтована поверхня, то
\[ \iint_S f\, \text{d}S = -\iint_{-S} f\,\text{d}S \nonumber \]
де `$-S$'позначає поверхню,$S$ але з протилежною орієнтацією.
Припустимо, що компоненти векторного поля$\vecs{F} $ мають неперервні часткові похідні. Якщо$\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0$ для кожної закритої гладкої поверхні, то$\vecs{F} $ варто консервативно.
Припустимо,$S$ це гладка поверхня, обмежена гладкою простою$C\text{.}$ замкнутою кривою Орієнтація$C$ визначається орієнтацією$S$ як у теоремі Стокса. Припустимо, дійсна цінна функція$f$ має неперервні часткові похідні. Тоді
\[ \int_C f\,\text{d}x =\iint_S \left(\frac{\partial f}{\partial z}\hat{\pmb{\jmath}} - \frac{\partial f}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}\right)\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]
Припустимо, дійсна ціннісна функція$f(x,y,z)$ має неперервні часткові похідні другого порядку. Тоді
\[ (\vecs{ \nabla} f ) \times (\vecs{ \nabla} f ) = \vecs{ \nabla} \times (\vecs{ \nabla} f ) \nonumber \]
Крива, параметризована
\[ \vecs{r} (t) = \big(2 + 4t^3 \,,\, -t^3 \,,\, 1 - 2t^3\big)\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
має кривизну$\kappa(t) = 0$ для всіх$t\text{.}$
Якщо плавна крива$s$ параметризується$\vecs{r} (s)$ де довжина дуги, то її дотичний вектор задовольняє
\[ |\vecs{r} '(s)| = 1 \nonumber \]
Якщо$S$ є сферою$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ і$\vecs{F} $ є постійним векторним полем, то$\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0\text{.}$
Існує векторне поле, компоненти$\vecs{F} $ якого мають неперервні часткові похідні другого порядку такі, що$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = (x, y, z)\text{.}$

7 ✳

$\vecs{F} = P (x, y)\,\hat{\pmb{\imath}} + Q(x, y)\,\hat{\pmb{\jmath}}$Векторне поле зображено нижче.

$OE08A_3.svg$

У наступних питаннях дайте відповідь, яку найкраще підкріплює сюжет.

Похідна$P_y$ в точці з$A$ маркуванням є (а) позитивним, (b) негативним, (c) нулем, (d) недостатньо інформації, щоб сказати.
Похідна$Q_x$ в точці з$A$ маркуванням є (а) позитивним, (b) негативним, (c) нулем, (d) недостатньо інформації, щоб сказати.
Завиток$\vecs{F} $ у точці, позначеній,$A$ є (a) у напрямку$+\hat{\mathbf{k}}$ (b) у напрямку$-\hat{\mathbf{k}}$ (c) нуля (d) немає достатньої інформації, щоб сказати.
Робота, виконана векторним полем над частинкою, що рухається з точки$B$ в точку$C$ вздовж кривої,$\mathcal{C}_1$ є (a) позитивним (b) негативним (c) нулем (d), що не вистачає інформації, щоб сказати.
Робота, виконана векторним полем над частинкою, що рухається з точки$B$ в точку$C$ вздовж кривої,$\mathcal{C}_2$ є (a) позитивним (b) негативним (c) нулем (d), що не вистачає інформації, щоб сказати.
Векторне поле$\vecs{F} $ є (a) градієнтом деякої функції$f$ (b) завиток деякого векторного поля$\textbf{G}$ (c) не консервативне (d) вільне розбіжність.

8 ✳

Які з наведених нижче тверджень є істинними (T), а які є хибними (F)?

Крива, визначена
\[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2 )\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2 )\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
збігається з кривою, визначеною
\[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
Крива, визначена
\[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2 )\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0 \le t \le 1 \nonumber \]
збігається з кривою, визначеною
\[ \vecs{r} _2(t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0 \le t \le 1 \nonumber \]
Якщо плавна крива$s$ параметризується$\vecs{r} (s)$ де довжина дуги, то її дотичний вектор задовольняє
\[ |\vecs{r} '(s)| = 1 \nonumber \]
Якщо$\vecs{r} (t)$ визначає плавну криву$C$ в просторі, яка має постійну кривизну,$\kappa \gt 0\text{,}$ то$C$ є частиною кола з радіусом.$1/\kappa\text{.}$
Якщо швидкість рухомого об'єкта постійна, то його прискорення ортогонально його швидкості.
Векторне поле
\[ \vecs{F} (x, y, z) = \frac{-y}{x^2+y^2} \hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2} \hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
консервативний.
Припустимо,$\vecs{F} (x, y, z)$ векторне поле визначено на відкритій області, а його складові мають неперервні часткові похідні. Якщо$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\text{,}$$\vecs{F} $ то консервативний.
Регіон$D =\left \{ (x, y) \big|B x^2 + y^2 \gt 1 \right \}$ просто пов'язаний.
Регіон$D = \left \{ (x, y) \big|B y - x^2 \gt 0 \right \}$ просто пов'язаний.
Якщо$\vecs{F} $ є векторним полем, компоненти якого мають дві неперервні часткові похідні, то
\[ \iint_S \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0 \nonumber \]
$S$коли межа твердої області$E$ в$\mathbb{R}^3\text{.}$

9 ✳

Які з наведених нижче тверджень є істинними (T), а які є хибними (F)?

Якщо плавна крива$C$$s$ параметризується$\vecs{r} (s)$ де довжина дуги, то вектор дотичної$\vecs{r} '(s)$ задовольняє$|\vecs{r} '(s)| = 1\text{.}$
Якщо$\vecs{r} (t)$ визначає плавну криву$C$ в просторі, яка має постійну кривизну,$\kappa \gt 0\text{,}$ то$C$ є частиною кола з радіусом.$1/\kappa\text{.}$
Припустимо,$\vecs{F} $ неперервне векторне поле з відкритим доменом$D\text{.}$ If
\[ \int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0 \nonumber \]
для кожної кусково-гладкої замкнутої кривої$C$ в$D\text{,}$ потім$\vecs{F} $ консервативна.
Припустимо,$\vecs{F} $ це векторне поле з відкритою областю,$D\text{,}$ а компоненти$\vecs{F} $ мають неперервні часткові похідні. Якщо$\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} = 0$ всюди на$D\text{,}$$\vecs{F} $ то консервативний.
Крива, визначена
\[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
збігається з кривою, визначеною
\[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]
Крива, визначена
\[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t \le 1 \nonumber \]
збігається з кривою, визначеною
\[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]
Припустимо,$\vecs{F} (x, y, z)$ це векторне поле, компоненти якого мають неперервні часткові похідні другого порядку. Тоді$\vecs{ \nabla} \cdot (\vecs{ \nabla} \times F) = 0\text{.}$
Припустимо, дійсна ціннісна функція$f(x, y, z)$ має неперервні часткові похідні другого порядку. Тоді$\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f) = 0\text{.}$
Регіон$D = \left \{ (x, y) \big| x^2 + y^2 \gt 1 \right \}$ просто пов'язаний.
Регіон$D = \left \{ (x, y) \big| y - x^2 \gt 0 \right \}$ просто пов'язаний.

10 ✳

$\vecs{F} \text{,}$$\textbf{G}$Дозволяти бути векторні поля, і$f\text{,}$$g$ бути скалярні поля. Припустимо$\vecs{F} \text{,}$$\textbf{G}\text{,}$$f\text{,}$$g$, що визначені на всіх$\mathbb{R}^3$ і мають безперервні часткові похідні всіх порядків скрізь. Позначте кожне з наступних як True (T) або False (F).

Якщо$C$ замкнута крива, а$\vecs{ \nabla} f=\vecs{0}\text{,}$ потім$\int_C f\,\text{d}s=0\text{.}$
Якщо$\vecs{r} (t)$ параметризація плавної кривої,$C$ а$\textbf{B}(t)$ бінормальна постійна, то$C$ є прямою лінією.
Якщо$\vecs{r} (t)$ положення частинки, яка рухається з постійною швидкістю, то$\vecs{r} '(t)\cdot\vecs{r} ''(t)=0\text{.}$
Якщо$C$ шлях від точок$A$ до,$B\text{,}$ то лінійний інтеграл$\int_C\big(\vecs{F} \times\textbf{G}\big)\cdot\text{d}\vecs{r} $ не залежить від контуру.$C\text{.}$
Лінійний інтеграл$\int_C f\,\text{d}s$ не залежить від орієнтації кривої$C\text{.}$
Якщо$S$ є параметричною поверхнею,$\vecs{r} (u,v)$ то нормаль до$S$ задається
\[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u} \end{gather*}\]
Площа поверхні параметричної поверхні,$S$ заданої параметричною$\vecs{r} (u,v) = x(u,v)\,\hat{\pmb{\imath}} + y(u,v)\,\hat{\pmb{\jmath}} + z(u,v)\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}$$(u,v)\in D\text{,}$, задається
\[\begin{gather*} \iint_D \left(1+\big(\tfrac{\partial z}{\partial u}\big)^2 +\big(\tfrac{\partial z}{\partial v}\big)^2\right)^{1/2} \text{d}u\text{d}v \end{gather*}\]
Якщо$\vecs{F} $ поле швидкості нестисливої рідини, то$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0\text{.}$
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{F} \times\textbf{G}\big) = (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G} + (\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})\vecs{F} $

11 ✳

Скажіть, чи є наступні твердження істинними (T) або false (F). Можна припустити, що всі функції та векторні поля визначені скрізь і скрізь мають похідні всіх порядків.

Розбіжність$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} $ дорівнює нулю, для кожного$\vecs{F} \text{.}$
У просто пов'язаному регіоні,$\int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} $ залежить тільки від кінцевих точок$C\text{.}$
Якщо$\vecs{ \nabla} f = 0\text{,}$ то$f$ є постійною функцією.
Якщо$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{0}\text{,}$ то$\vecs{F} $ є постійним векторним полем.
Якщо$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}$ то$\iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0$ для кожної закритої поверхні$S\text{.}$
Якщо$\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0$ для кожної замкнутої кривої,$C\text{,}$ то$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\text{.}$
Якщо$\vecs{r} (t)$ шлях у трьох просторі з постійною швидкістю,$|\vecs{v} (t)|\text{,}$ то прискорення перпендикулярно дотичному вектору, тобто.$\textbf{a}\cdot\hat{\textbf{T}} = 0\text{.}$
Якщо$\vecs{r} (t)$ шлях у трьох просторі з постійною кривизною,$\kappa\text{,}$ то$\vecs{r} (t)$ параметризує частину кола радіуса.$1/\kappa\text{.}$
$\vecs{F} $Дозволяти векторне поле і припустимо, що$S_1$ і$S_2$ орієнтовані поверхні з тією ж граничною кривою$C\text{,}$ і$C$ дається напрямок, сумісне з орієнтаціями$S_1$ і$S_2$. Тоді$\iint_{S 1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = \iint_{S 2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\text{.}$
Нехай$A(t)$ буде область, вимітається траєкторією планети час$t=0$ від часу$t\text{.}$ постійна$\dfrac{dA}{dt}$.

12 ✳

Знайдіть правильну ідентичність, якщо$f$ це функція і$\textbf{G}$ і$\vecs{F} $ є векторними полями. Виберіть істинне твердження.

$\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} ) + (\vecs{ \nabla} f ) \times\vecs{F} $
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} ) + \vecs{F} \cdot \vecs{ \nabla} f$
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} ) + \vecs{F} \cdot \vecs{ \nabla} f$
Ніщо з перерахованого вище не відповідає дійсності.

13 ✳

Правда чи брехня. Розглянемо векторні поля$\vecs{F} $ та скалярні функції$f$$g$, які визначені та згладжені у всьому тривимірному просторі. $\vecs{r} =(x,y,z)$Дозволяти представляють змінну точку в просторі, і нехай$\boldsymbol{\omega} = (\omega_1,\omega_2,\omega_3)$ бути постійним вектором. $\Omega$Дозволяти бути плавно обмеженим доменом із зовнішньою$\hat{\textbf{n}}\text{.}$ нормою Які з наступних є ідентичностями, завжди дійсними за цими припущеннями?

$\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} f = 0$
$\displaystyle \vecs{F} \times\vecs{ \nabla} f = f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} $
$\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2 f = \vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot f)$
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} f = \vecs{0}$
$\displaystyle (\vecs{ \nabla} \times f)+(\vecs{ \nabla} \times g) = \vecs{ \nabla} f\times\vecs{ \nabla} g$
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0$
$\vecs{ \nabla} \cdot\frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^2} = 0$для$\vecs{r} \ne\vecs{0}$
$\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(\boldsymbol{\omega}\times\vecs{r} ) = \vecs{0}$
$\displaystyle \iiint_\Omega f\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}V =-\iiint_\Omega \vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{F} \,\text{d}V +\iint_{\partial\Omega} f\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S$
$\displaystyle \iint_{\partial\Omega} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =- \iiint_\Omega \vecs{ \nabla} f\,\text{d}V$

14 ✳

Визначте, чи дані твердження є True або False. Наведіть причину або зустрічнийприклад.

Постійне векторне поле консервативне на$\mathbb{R}^3\text{.}$
Якщо$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0$ для всіх точок в області$\vecs{F} $ то$\vecs{F} $ є постійним векторним полем.
$\vecs{r} (t)$Дозволяти параметризації кривої$C$ в$\mathbb{R}^3\text{.}$ If$\vecs{r} (t)$ і$\dfrac{d\vecs{r} }{dt}$ ортогональні у всіх точках кривої$C\text{,}$ потім$C$ лежить на поверхні сфери$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ для деяких$a \gt 0\text{.}$
$\kappa$Кривизна в точці на кривій залежить від орієнтації кривої.
Домен консервативного векторного поля повинен бути просто пов'язаний.

15 ✳

Надайте коротку відповідь на кожне питання.

Обчислити$\vecs{ \nabla} \cdot\big(x^2 y\,\hat{\pmb{\imath}} + e^y \sin x\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{zx}\,\hat{\mathbf{k}}\big)$
Обчислити$\vecs{ \nabla} \times(\cos x^2\,\hat{\pmb{\imath}} - y^3 z\,\hat{\pmb{\jmath}} + xz\,\hat{\mathbf{k}}\big)$
Нехай
\[ \vecs{F} = \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} +\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}} +z^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

і нехай$D$ буде доменом$\vecs{F} \text{.}$ Розглянемо наступні чотири заяви.
1. $D$підключається
2. $D$відключено
3. $D$просто підключається
4. $D$не просто підключається
Виберіть один з наступних варіантів:
1. (II) і (III) вірні
2. (I) і (III) вірні
3. (I) і (IV) вірні
4. (II) і (IV) вірні
5. Недостатньо інформації для визначення
Правда чи брехня? Якщо швидкість частинки постійна, то прискорення частинки дорівнює нулю. Якщо ваша відповідь вірна, вкажіть причину. Якщо ваша відповідь помилкова, надайте приклад лічильника.

16 ✳

Чи є кожне з наступних тверджень True або False? Нагадаємо,$f \in C^k$ це означає, що всі похідні$f$ до порядку$k$ існують і є безперервними.

$\vecs{ \nabla} \times(f \vecs{ \nabla} f ) = \vecs{0}$для всіх$C^2$ скалярних функцій$f$ в$\mathbb{R}^3\text{.}$
$\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} ) = \vecs{ \nabla} f \cdot\vecs{F} + f\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} $для всіх$C^1$ скалярних функцій$f$ і$C^1$ векторних$\vecs{F} $ полів$\mathbb{R}^3\text{.}$
Плавна просторова крива$C$ з постійною кривизною$\kappa = 0$ повинна бути частиною прямої.
Гладка просторова крива$C$ з постійною кривизною$\kappa \ne 0$ повинна бути частиною кола радіуса$1/\kappa\text{.}$
Якщо$f$ будь-яка функція згладжування$\mathbb{R}^3$ визначена в і якщо$C$ є будь-яке коло, то$\int_C\vecs{ \nabla} f\cdot\text{d}\vecs{r} =0\text{.}$
Припустимо,$\vecs{F} $ це гладке векторне поле в$\mathbb{R}^3$ і$\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0$ скрізь. Тоді для кожної сфери потік з однієї півкулі дорівнює потоку в протилежну півкулю.
$\vecs{F} (x, y,z)$Дозволяти безперервно диференційоване векторне поле, яке визначається для кожного$(x, y, z)\text{.}$ Тоді,$\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0$ для будь-якої замкнутої поверхні$S\text{.}$ (Закрита поверхня є поверхнею, яка є кордоном твердої області.)

17 ✳

True або false (причини повинні бути наведені):

Якщо рівне векторне поле на$\mathbb{R}^3$ завитку вільне, а розбіжність вільне, то його потенціал гармонійний. За визначенням,$\phi(x,y,z)$ є гармонійним, якщо$\big(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0\text{.}$
Якщо$\vecs{F} $ на рівному консервативному векторному полі,$\mathbb{R}^3\text{,}$ то його потік через будь-яку гладку замкнуту поверхню дорівнює нулю.

18 ✳

Наступні твердження можуть бути істинними або хибними. Вирішіть, який. Якщо це правда, дайте доказ. Якщо false, наведіть контрприклад.

Якщо$f$ будь-яка функція згладжування$\mathbb{R}^3$ визначена в і якщо$C$ є будь-яке коло, то$\int_{C}\vecs{ \nabla} f \cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{.}$
Існує векторне поле$\vecs{F} $, яке підпорядковується$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}$

19 ✳

Короткі відповіді:

$S$Дозволяти бути рівною поверхнею$f(x,y,z)=0\text{.}$ Чому$\int_C \vecs{ \nabla} f\cdot \text{d}\vecs{r} =0$ для будь-якої кривої$C$ на$S\text{?}$
Точка, що рухається в просторі з позицією$\vecs{r} (t)$ в часі,$t$ задовольняє$\textbf{a}(t)=f(t)\vecs{r} (t)$ умові для всіх$t$ для якоїсь дійсної ціннісної функції$f\text{.}$ Чому$\vecs{v} \times\vecs{r} $ постійний вектор?
Чому траєкторія точки в (b) міститься в площині?
Бінормальний вектор частинки,$\hat{\textbf{B}}\text{,}$ що рухається у просторі, завжди ортогональний до одиничного дотичного вектора$\hat{\textbf{T}}$ та одиниці нормальної$\hat{\textbf{N}}\text{?}$
Якщо кривизна шляху частинки, що рухається в просторі, постійна, чи є прискорення нульовим, коли відбувається максимальна швидкість?

20 ✳

Область$R$ обмежена простою замкнутою$\mathcal{C}\text{.}$ кривою Крива$\mathcal{C}$ орієнтована таким чином, що$R$ лежить зліва від$\mathcal{C}$ при ходьбі$\mathcal{C}$ в напрямку$\mathcal{C}\text{.}$ Визначити, чи дорівнює кожен з наступних виразів площі$R\text{.}$ Ви повинні обґрунтувати свої висновки.

$\displaystyle \frac{1}{2} \int_\mathcal{C} -y \,d x +x \,d y$
$\displaystyle \frac{1}{2} \int_\mathcal{C} -x \,d x + y \,d y$
$\displaystyle \int_\mathcal{C} y \,d x$
$\displaystyle \int_\mathcal{C} 3y\,d x + 4x \,d y$

21 ✳

Скажіть, чи є кожне з наступних тверджень істинним чи хибним, і поясніть, чому.

Рухома частинка має вектори швидкості та прискорення, які задовольняють$|\vecs{v} | = 1$ і$|\textbf{a}|=1$ в усі часи. Тоді кривизна шляху цієї частинки є постійною.
Якщо$\vecs{F} $ будь-яке гладке векторне поле визначено в$\mathbb{R}^3$ і якщо$S$ є будь-якою сферою, то
\[ \iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0 \nonumber \]
$\hat{\textbf{n}}$Ось зовнішня норма до$S\text{.}$
Якщо$\vecs{F} $ і$\textbf{G}$ є гладкими векторними полями в$\mathbb{R}^3$ і якщо$\displaystyle \oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_C \textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} $ для кожного кола,$C\text{,}$ то$\vecs{F} =\textbf{G}\text{.}$

22 ✳

Три швидкощі:

Рухома частинка з положенням$\vecs{r} (t) = (x(t),y(t),z(t))$ задовольняє
\[ \textbf{a} = f(\vecs{r} ,\vecs{v} )\vecs{r} \nonumber \]
для деяких скалярно-значних функції$f\text{.}$ Доведіть, що$\vecs{r} \times\vecs{v} $ є постійною.
Обчисліть,$\iint_\mathcal{S}(x\,\hat{\pmb{\imath}} - y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z^2\,\hat{\mathbf{k}})\cdot \hat{\textbf{n}}\text{d}S\text{,}$ де$\mathcal{S}$ межа будь-якого твердого правого кругового циліндра радіусу$b$ з однією основою в площині,$z=1$ а іншою основою в площині.$z=3\text{.}$
$\textbf{G}$Дозволяти$\vecs{F} $ і бути гладкі векторні поля, визначені в$\mathbb{R}^3\text{.}$ Припустимо, що, для кожного кола у$C\text{,}$ нас$S$ є$\oint_{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S \textbf{G}\cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}$ де орієнтований диск з межею$C\text{.}$ Доведіть, що$\textbf{G}=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}$