4.7: Необов'язково - Узагальнена теорема Стокса

Як ми бачили, фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності, теорема Грінса та теорема Стокса мають низку спільних рис. Насправді існує єдина структура, яка охоплює і узагальнює їх усі, і існує єдина теорема, про яку всі вони є окремими випадками. Тепер ми дамо оголені кістки введення в цю основу і теорему. Правильне лікування зазвичай займає значну частину повного курсу. Ось контур того, що ми будемо робити:

• Спочатку визначимо диференціальні форми. Щоб спробувати зробити речі максимально простими і конкретними, ми визначимо лише ¹ диференціальні форми на\(\mathbb{R}^3\) - всі наші функції будуть визначені на\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Дуже грубо кажучи,\(k\) форма - це те, що ви пишете після інтегрального знака інтеграла над\(k\) розмірним об'єкт. \(k\)Ось один з\(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{.}\) Як приклад, a\(1\) -форма - це вираз форми\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\text{.}\) Для\(k=0\text{,}\) думати про точку як про нульовий вимірний об'єкт і думати про оцінку функції в точці як «інтегруючи функцію над точкою».
• Потім ми визначимо деякі операції над диференціальними формами, щоб ми могли їх скласти, помножити, диференціювати і, врешті-решт, інтегрувати. Похідна від a\(k\) -форма\(\omega\) - це\((k+1)\) форма, яка\(\text{d}\omega\text{.}\) позначається Вийде, що
  • диференціювання\(0\) -форми становить прийняття градієнта,
  • диференціювання\(1\) -форма становить взяття завитка, і
  • диференціювання a\(2\) -форма становить прийняття розбіжності.
• Нарешті ми дійдемо до узагальненої теореми Стокса, яка говорить, що якщо\(\omega\) є\(k\) -форма (з\(k=0,1,2\)) і\(D\)\((k+1)\) -мірна область інтеграції, то

  \[ \int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega \nonumber \]

  Вийде, що

  • коли\(k=0\text{,}\) це лише фундаментальна теорема числення та
  • коли\(k=1\text{,}\) це і теорема Гріна, і наша теорема Стокса, і
  • коли\(k=2\text{,}\) це теорема про розбіжність.

Тепер приступимо до роботи. Для простоти ми будемо вважати протягом усього цього розділу, що всі похідні всіх функцій існують і є безперервними. Наше перше завдання - визначити диференціальні форми.

Як ми вже говорили вище, ми визначимо 1-форму як вираз виду\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\text{.}\) Коли ви дізналися визначення інтеграла символ «\(\text{d}x\)» не отримав жодного математичного значення сам по собі. Значення надавалося лише колекціям символів на кшталт невизначеного інтеграла «\(\int f(x)\ \text{d}x\)» і певного інтеграла «\(\int_a^b f(x)\ \text{d}x\)». Пізніше в цьому розділі ми дамо значення\(\text{d}x\text{.}\) Ми будемо, в Визначення 4.7.9, визначити оператор диференціації, який ми будемо викликати\(\text{d}}\text{.\) Тоді\(\text{d}x\) буде той оператор диференціації, застосований до функції\(f(x)=x\text{.}\) Однак до цього нам доведеться лікувати\(\text{d}x\) і \(\text{d}y\)і\(\text{d}z\) так само, як символи. Їх єдина роль\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\) полягає в тому, щоб дозволити нам розрізнити ²\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) і\(F_3(x,y,z)\text{.}\)

Аналогічно ми визначимо 2-форму як\(F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\text{.}\) вираз форми Знову є символ, а саме «\(\wedge\)», якому ми ще не надали сенсу. У Визначенні 4.7.3 ми визначимо твір, який називається клиновим твором\(\wedge\), з символом множення. Тоді\(\text{d}x\wedge\text{d}y\) буде клиновий продукт\(\text{d}x\) і\(\text{d}y\text{.}\) До тих пір нам доведеться ставитися\(\text{d}y\wedge\text{d}z\text{,}\)\(\text{d}z\wedge\text{d}x\) і так\(\text{d}x\wedge\text{d}y\) само, як ще три безглузді символи.

Нарешті ось визначення.

Визначення 4.7.1

1. A\(0\) -форма - це функція\(f(x,y,z)\text{.}\)
2. A\(1\) -форма - це вираз форми

   \[ F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z \nonumber \]

   з\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) і\(F_3(x,y,z)\) будучи функціями трьох змінних.
3. A\(2\) -форма - це вираз форми

   \[ F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

   з\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) і\(F_3(x,y,z)\) будучи функціями трьох змінних.
4. A\(3\) -form - це вираз форми\(f(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\text{,}\)\(f(x,y,z)\) з функцією трьох змінних.

На цьому етапі (буде більше пізніше) просто подумайте про «\(\text{d}x\)», «\(\text{d}y\)», «\(\text{d}z\)», «\(\text{d}x\wedge\text{d}y\)» і так далі, як символи. Ще не намагайтеся надати їм ніякого значення.

Існує чотири операції за участю диференціальних форм — додавання, множення (\(\wedge\)), диференціація (\(\mathrm{d}\)) та інтеграція. Ось їх визначення. По-перше, додавання визначається, і працює, саме так, як ви очікуєте.

Визначення 4.7.2. Додавання диференціальних форм

1. Сума\(0\) -форм\(f\) і\(g\) є\(0\) -форма\(f+g\text{.}\)
2. Сума двох\(1\) -форм є\(1\) -форма

   \[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big]\\ +&\big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ =& (F_1+G_1)\,\text{d}x + (F_2+G_2)\,\text{d}y + (F_3+G_3)\,\text{d}z \end{align*}\]

3. Сума двох\(2\) -форм є\(2\) -форма

   \[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ +&\big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ =&(F_1+G_1)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + (F_2+G_2)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + (F_3+G_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

4. Сума двох\(3\) -форм є\(3\) -форма

   \[\begin{gather*} f\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \ +\ g\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \ =\ \big(f+g\big)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{gather*}\]

Є одна зморшка в розмноженні. Це не комутативно, тобто\(\alpha\wedge\beta\) не повинно бути таким, як\(\beta\wedge\alpha\text{.}\) Ви вже бачили деякі некомутативні продукти. Якщо\(\textbf{a}\) і\(\textbf{b}\) є двома векторами,\(\mathbb{R}^3\text{,}\) то\(\textbf{a}\times\textbf{b} = -\textbf{b}\times \textbf{a}\text{.}\) також, якщо\(A\) і\(B\) є двома\(n\times n\) матрицями, матричний добуток не\(AB\) повинен бути таким же, як\(BA\text{.}\)

Визначення 4.7.3. Множення диференціальних форм

Тепер ми визначимо правило множення для диференціальних форм. Якщо\(\omega\) є a\(k\) -form і\(\omega'\) є a\(k'\) -форма, то продукт буде a\((k+k')\) -форма і буде позначено\(\omega\wedge\omega'\) (прочитайте «омега клин омега прайм»). Вона визначається наступними властивостями.

1. Якщо\(f\) є функцією (тобто a\(0\) -form), то

   \[\begin{align*} f\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] &= (fF_1)\,\text{d}x \!+\! (fF_2)\,\text{d}y \!+\! (fF_3)\,\text{d}z\\ f\big[F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z \!+\! F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x \!+\! F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big] &=(fF_1)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + (fF_2)\,\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip1.25in + (fF_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\\ f\big[g\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big] &= (fg)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

   Традиційно не записується при множенні диференціальної форми на функцію (тобто a\(0\) -form).\(\wedge\)
2. \(\omega\wedge\omega'\)є лінійним в\(\omega\) і в\(\omega'\text{.}\) Це означає, що\(f_1\text{,}\)\(f_2\) якщо\(\omega = f_1\omega_1+f_2\omega_2\text{,}\) де функції\(\omega_1,\omega_2\) і форми, то

   \[ \big(f_1\omega_1+f_2\omega_2\big)\wedge \omega'= f_1 (\omega_1\wedge\omega') +f_2 (\omega_2\wedge\omega') \nonumber \]

   Аналогічно,

   \[ \omega\wedge\big(f_1\omega'_1+f_2\omega'_2\big)= f_1 (\omega\wedge\omega'_1) +f_2 (\omega\wedge\omega'_2) \nonumber \]

3. Якщо\(\omega\) є\(k\) -форма і\(\omega'\) є\(k'\) -форма, то

   \[ \omega\wedge\omega'=(-1)^{kk'}\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   Тобто якщо хоча б один з\(k\) і\(k'\) є парним, то

   \[ \omega\wedge\omega'=\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   (так що клиновий продукт є комутативним) і якщо\(k\) і обидва непарні\(k'\), то

   \[ \omega\wedge\omega'=-\omega'\wedge\omega \nonumber \]

   (щоб клиновий продукт був антикомутативним). Зокрема, якщо\(\omega\) це\(d\) -форма з\(d\) непарним

   \[ \omega\wedge\omega = 0 \nonumber \]

4. Клиновий твір асоціативне. Це означає, що

   \[ (\omega\wedge\omega')\wedge\omega''=\omega\wedge\big(\omega'\wedge\omega''\big) \nonumber \]

Таким чином, клиновий твір підпорядковується більшості звичайних правил множення, з одним великим винятком, що якщо\(\omega\)\(k\) -форма і\(\omega'\) є\(k'\) -форма з\(k\) і\(k'\) обидва непарні, то\(\omega\wedge\omega'=-\omega'\wedge\omega\text{.}\)

Найкращий спосіб отримати ручку на клиновому виробі - це опрацювати деякі приклади, як ці.

Приклад 4.7.4

\(\omega' = G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\)Дозволяти\(\omega = F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) і бути будь-якими двома\(1\) -формами. Їх продукт

\[\begin{align*} \omega\wedge\omega' &=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ &= \ \big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_1\,\text{d}x\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.1in +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_2\,\text{d}y\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.1in+ \big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_1\,\text{d}x\big) +\big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_2\,\text{d}y\big) +\big(F_3\,\text{d}z\big)\wedge\big(G_3\,\text{d}z\big)\\ &\hskip0.5in\text{(by linearity, i.e. by part (b) of the last Definition)}\\ &= \ F_1G_1\,\text{d}x\wedge\,\text{d}x + F_1G_2\,\text{d}x\wedge\,\text{d}y + F_1G_3\,\text{d}x\wedge\,\text{d}z\\ &\hskip0.1in +F_2G_1\,\text{d}y\wedge\,\text{d}x + F_2G_2\,\text{d}y\wedge\,\text{d}y + F_2G_3\,\text{d}y\wedge\,\text{d}z\\ &\hskip0.1in+ F_3G_1\,\text{d}z\wedge\,\text{d}x + F_3G_2\,\text{d}z\wedge\,\text{d}y + F_3G_3\,\text{d}z\wedge\,\text{d}z\\ &= \big(F_1G_2-F_2G_1)\,\text{d}x\wedge\text{d}y +\big(F_3G_1-F_1G_3)\,\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip0.1in +\big(F_2G_3-F_3G_2)\,\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

оскільки

\[ \text{d}x\wedge\,\text{d}x=\text{d}y\wedge\,\text{d}y=\text{d}z\wedge\,\text{d}z=0 \nonumber \]

і

\[ \text{d}x\wedge\,\text{d}y=-\text{d}y\wedge\,\text{d}x\qquad \text{d}x\wedge\,\text{d}z=-\text{d}z\wedge\,\text{d}x\qquad \text{d}z\wedge\,\text{d}y=-\text{d}y\wedge\,\text{d}z \nonumber \]

Зауважте, що, дивлячись на останній приклад, якщо ми переглядаємо\(\vecs{F} =(F_1,F_2,F_3)\) і\(\textbf{G}=(G_1,G_2,G_3)\) як вектори, ми можемо написати продукт просто як

Рівняння 4.7.5

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip1in=(\vecs{F} \times\textbf{G})_1\, \text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{F} \times\textbf{G})_2\, \text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{F} \times\textbf{G})_3\, \text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

де ми використовуємо\((\vecs{F} \times\textbf{G})_\ell\) для позначення\(\ell^{\rm th}\) складової перехресного добутку\(\vecs{F} \times\textbf{G}\text{.}\) В особливому випадку, що\(F_3=G_3=0\text{,}\) ми маємо

Рівняння 4.7.6

\[\begin{align*} \big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y\big] &=\big(F_1G_2-F_2G_1)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &=\det\left[\begin{matrix} F_1 & F_2 \\ G_1 & G_2\end{matrix}\right] \text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

Тепер ми можемо зрозуміти, чому у Визначенні 4.7.1.c\(2\) -forms

• не було\(\text{d}x\wedge\text{d}x\) або\(\text{d}y\wedge\text{d}y\) або\(\text{d}z\wedge\text{d}z\) термінів — всі вони нульові і
• не було\(\text{d}y\wedge\text{d}x\) або\(\text{d}z\wedge\text{d}y\) або\(\text{d}x\wedge\text{d}z\) термінів — всі вони можуть бути переписані з використанням\(\text{d}x\wedge\text{d}y\text{,}\)\(\text{d}y\wedge\text{d}z\) і\(\text{d}z\wedge\text{d}x\) термінів (або навпаки).

Причина того, що ми вирішили написати визначення 4.7.1.c як

\[ F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

на відміну від у формі, наприклад,

\[ f_1\,\text{d}x\wedge\text{d}y + f_2\,\text{d}x\wedge\text{d}z + f_3\,\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

було зробити такі формули, як 4.7.5 роботи. Легкий спосіб запам'ятати

\[ F_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

це перейменувати (у вашій голові)\(x,y,z\) щоб\(x_1,x_2,x_3\text{.}\) Потім індекси в трьох терміні

\[ F_1\,\text{d}x_2\wedge\text{d}x_3 + F_2\,\text{d}x_3\wedge\text{d}x_1 + F_3\,\text{d}x_1\wedge\text{d}x_2 \nonumber \]

є\(1,2,3\) справедливими\(2,3,1\) і\(3,1,2\) — три циклічні перестановки\(1,2,3\text{.}\)

Приклад 4.7.7

Добуток (загальної)\(1\) -форми\(\omega = F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) і (загальної)\(2\) -форми\(\omega'=\big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\) (знову зверніть увагу на нумерацію коефіцієнтів в\(2\) -формі)

\[\begin{align*} \omega\wedge\omega' &=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &= \ F_1G_1\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2G_2\,\text{d}y\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3G_3\,\text{d}z\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ & = \big(F_1G_1+F_2G_2+F_3G_3)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Тут ми використовували, що, для\(1\) -форм,\(\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha\text{,}\) так що

\[\begin{align*} \text{d}y\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x &=-\text{d}y\wedge\text{d}x\wedge\text{d}z=\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ \text{d}z\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y &=-\text{d}x\wedge\text{d}z\wedge\text{d}y =\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Ми також використовували, що будь-який клиновий\(\text{d}\{x\text{ or y\text{ or }z\}}\) добуток трьох з принаймні дві координати однакові дорівнює нулю. Наприклад

\[ \text{d}x\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x = - \text{d}x\wedge\text{d}x\wedge\text{d}z =0 \nonumber \]

Так

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z + G_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + G_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip4in = \vecs{F} \cdot\textbf{G}\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Приклад 4.7.8

Поєднуючи приклади 4.7.4 і 4.7.7, ми маємо клиновий добуток будь-яких трьох (загальних)\(1\) -форм\(F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\) і\(G_1\,\text{d}x + G_2\,\text{d}y + G_3\,\text{d}z\) і\(H_1\,\text{d}x + H_2\,\text{d}y + H_3\,\text{d}z\) є

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x \!+\! F_2\,\text{d}y \!+\! F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x \!+\! G_2\,\text{d}y \!+\! G_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[H_1\,\text{d}x + H_2\,\text{d}y + H_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip0.1in=\big[F_1\,\text{d}x + F_2\,\text{d}y + F_3\,\text{d}z\big] \wedge\\ &\hskip1in \big[(\textbf{G}\times\textbf{H})_1\, \text{d}y\wedge\text{d}z +(\textbf{G}\times\textbf{H})_2\, \text{d}z\wedge\text{d}x +(\textbf{G}\times\textbf{H})_3\, \text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip0.1in =\big\{F_1(\textbf{G}\times\textbf{H})_1 + F_2(\textbf{G}\times\textbf{H})_2 + F_3(\textbf{G}\times\textbf{H})_3\big\} \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.1in =\big\{F_1(G_2H_3\!-\!G_3H_2) \!+\! F_2(G_3H_1\!-\!G_1H_3) \!+\! F_3(G_1H_2\!-\!G_2H_1\big\} \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Це може бути виражено чисто з точки зору детермінант. Згадування правила розширення детермінанта уздовж його верхнього ряду

\[\begin{align*} &\big[F_1\,\text{d}x \!+\! F_2\,\text{d}y \!+\! F_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[G_1\,\text{d}x \!+\! G_2\,\text{d}y \!+\! G_3\,\text{d}z\big] \wedge \big[H_1\,\text{d}x \!+\! H_2\,\text{d}y \!+\! H_3\,\text{d}z\big]\\ &\hskip3in =\det\left[\begin{matrix} F_1 & F_2 & F_3 \\ G_1 & G_2 & G_3 \\ H_1 & H_2 & H_3 \end{matrix}\right] \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

Наступна наша операція - диференціальний оператор, який об'єднує та узагальнює градієнт, завиток і дивергенцію.

Визначення 4.7.9. Диференціація диференціальних форм

Якщо\(\omega\) є\(k\) -form, то\(\text{d}\omega\) є\(k+1\) -form, з\(\mathrm{d}\) будучи унікальним ³ таким оператором, який підпорядковується

1. \(\text{d}\)лінійний. Тобто, якщо\(\omega_1,\omega_2\) є\(k\) -форми, а\(a_1,a_2\in\mathbb{R}\text{,}\) потім

   \[ \text{d}\big(a_1\omega_1+a_2\omega_2\big) =a_1\text{d}\omega_1+a_2\text{d}\omega_2 \nonumber \]

2. \(\text{d}\)підпорядковується «правилу градуйованого продукту». Точно, якщо\(\omega^{(k)}\) це\(k\) -форма і\(\omega^{(\ell)}\) є\(\ell\) -форма, то

   \[ \text{d}\big(\omega^{(k)\wedge\omega^{(\ell)}\big)} =\big(d\omega^{(k)}\big)\wedge\omega^{(\ell)} +(-1)^k\omega^{(k)} \wedge \big(\text{d}\omega^{(\ell)}\big) \nonumber \]

3. Якщо\(f(x,y,z)\) це\(0\) -форма, то

   \[\begin{align*} \text{d}f &=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z\\ &=\vecs{ \nabla} f(x,y,z)\cdot\text{d}\vecs{r} \qquad\text{where } \text{d}\vecs{r} = \text{d}x\,\hat{\pmb{\imath}} + \text{d}y\,\hat{\pmb{\jmath}} + \text{d}z\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

4. Для будь-якої диференціальної форми\(\omega\text{,}\)

   \[ \text{d}\big(\mathrm{d}\omega\big)=0 \nonumber \]

Приклад 4.7.10

1. Якщо\(f(x,y,z) = x\text{,}\) тоді

   \[ \text{d}f =\frac{\partial x}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial x}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial x}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z =\text{d}x \nonumber \]

   Тобто\(\text{d}x\) дійсно є оператор,\(\text{d}\) застосований до функції\(x\text{.}\) Аналогічно,\(\text{d}y\) дійсно є оператором,\(\text{d}\) застосованим до функції\(y\) і\(\mathrm{d}z\) дійсно є оператором,\(\text{d}\) застосованим до функції.\(z\text{.}\)
2. Для будь-якої\(k\) форми\(\omega\)

   \[\begin{align*} \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}x\big] &=\text{d}\omega\wedge\text{d}x + (-1)^k\omega\wedge\text{d}\big(\mathrm{d}x\big)\\ &=\text{d}\omega\wedge\text{d}x \end{align*}\]

   Аналогічно

   \[ \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}y\big]=\text{d}\omega\wedge\text{d}y\qquad \text{d}\big[\omega\wedge\mathrm{d}z\big]=\text{d}\omega\wedge\text{d}z \nonumber \]

3. Для будь-якої\(1\) форми

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\mathrm{d}x + F_2\text{d}y + F_3\text{d}z\big] =\text{d}F_1\wedge\text{d}x + \text{d}F_2\wedge\text{d}y + \text{d}F_3\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in=\Big(\frac{\partial F_1}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_1}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_1}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_2}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_2}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}y\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_3}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_3}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in= \Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\Big) \ \text{d}y\wedge\text{d}z +\Big(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Big) \ \text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big) \ \text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in= (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

4. Для будь-якої\(2\) форми

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\,\mathrm{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big]\\ &\hskip0.5in=\text{d}F_1\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z + \text{d}F_2\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x + \text{d}F_3\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in=\Big(\frac{\partial F_1}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_1}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_1}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_2}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_2}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x\\ &\hskip2in +\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial F_3}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial F_3}{\partial z}\ \text{d}z\Big)\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\\ &\hskip0.5in= \Big(\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}\Big) \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &\hskip0.5in= \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \end{align*}\]

5. Для будь-якої\(3\) форми

   \[\begin{align*} \text{d}\big[f\,\mathrm{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big] &=\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}\ \text{d}z\Big) \wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\\ &=0 \end{align*}\]

Приклад 4.7.11

У визначенні 4.7.9.c, ми визначили, для будь-якої функції\(f(x,y,z)\) трьох змінних

\[\begin{align*} \text{d}f &=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\ \text{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\ \text{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \text{d}z \end{align*}\]

Аналогічні формули ⁴ для функцій однієї або двох змінних також застосовуються.

\[\begin{align*} \text{d}f(t) & = \dfrac{df}{dt}(t)\,\text{d}t\\ \text{d}f(u,v) &=\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\ \text{d}u +\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\ \text{d}v \end{align*}\]

1. \(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\)Дозволяти бути\(1\) -форма. Припустимо, що ми підставляємо\(x=x(t)\text{,}\)\(y=y(t)\) і\(z=z(t)\text{,}\) так, що ми обмежуємо нашу\(1\) -форму параметризованою кривою. Потім, пишучи\(\vecs{r} (t) = \big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\)

   \[\begin{align*} &F_1\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}x(t) + F_2\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}y(t)\\ &\hskip2in + F_3\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\text{d}z(t)\\ &\hskip0.5in=F_1\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dx}{dt}(t)\,\text{d}t + F_2\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dy}{dt}(t)\,\text{d}t + F_3\big(\vecs{r} (t)\big)\dfrac{dz}{dt}(t)\,\text{d}t\\ &\hskip0.5in= \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,\text{d}t \end{align*}\]

2. \(F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\)Дозволяти бути\(2\) -форма. Припустимо, що ми підставляємо\(x=x(u,v)\text{,}\)\(y=y(u,v)\) і\(z=z(u,v)\text{,}\) так, що ми обмежуємо нашу\(2\) -форму параметризованою поверхнею. Потім, пишучи\(\vecs{r} (u,v) = \big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\text{,}\)

   \[\begin{align*} &F_1\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}y(u,v)\wedge\text{d}z(u,v)\\ &\hskip1in + F_2\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}z(u,v)\wedge\text{d}x(u,v)\\ &\hskip1in + F_3\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,\text{d}x(u,v)\wedge\text{d}y(u,v)\\ &=F_1\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial y}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &\hskip1in + F_2\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial x}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &\hskip1in + F_3\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial x}{\partial v}\text{d}v\Big)\wedge \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\text{d}u +\frac{\partial y}{\partial v}\text{d}v\Big)\\ &=\Big[F_1\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} -\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial u}\Big) +F_2\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} -\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}\Big)\\ &\hskip1in +F_3\big(\vecs{r} (u,v)\big)\, \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} -\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\Big) \Big] \text{d}u\wedge\text{d}v\\ &=\Big[\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u,v)\Big] \text{d}u\wedge\text{d}v \end{align*}\]

Підсумуємо те, що ми бачили в прикладі 4.7.10.

Лемма 4.7.12

1. Для будь-якої\(0\) форми

   \[ \text{d}f =\vecs{ \nabla} f(x,y,z)\cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

2. Для будь-якої\(1\) форми

   \[\begin{align*} &\text{d}\big[F_1\mathrm{d}x + F_2\text{d}y + F_3\text{d}z\big]\\ &\hskip1in = (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \end{align*}\]

3. Для будь-якої\(2\) форми

   \[ \text{d}\big[F_1\,\mathrm{d}y\wedge\text{d}z + F_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y\big] = \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

4. Для будь-якої\(3\) форми

   \[ \text{d}\big[f\,\mathrm{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\big]=0 \nonumber \]

Наша остаточна операція - інтеграція диференціальних форм.

Визначення 4.7.13. Інтеграція диференціальних форм

1. \(f(x,y,z)\)Дозволяти бути a\(0\) -форма і\(P=(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3\) бути точкою. Тоді

   \[ \int_{P} f = f\big(x_0,y_0,z_0\big) \nonumber \]

   Більш загально якщо, для кожного\(1\le i\le \ell\text{,}\)\(P_i=(x_i,y_i,z_i)\in\mathbb{R}^3\) точка і\(n_i\) є цілим числом, то

   \[ \int_{\Sigma_{i=1}^\ell n_iP_i} f = \sum_{i=1}^\ell n_i f\big(x_i,y_i,z_i\big) \nonumber \]

2. \(\omega = \vecs{F} (\vecs{r} )\cdot\text{d}\vecs{r} = F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z \)Дозволяти бути\(1\) -форма. \(\mathcal{C}\)Дозволяти крива, яка параметризується\(\vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{.}\) Потім, мотивована прикладом 4.7.11.a вище,

   \[ \int_{\mathcal{C}}\omega = \int_a^b \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\ \text{d}t =\int_{\mathcal{C}} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \nonumber \]

3. \(\omega = F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\)Дозволяти бути\(2\) -форма. \(S\)Дозволяти бути орієнтованої поверхні, яка параметризується\(\vecs{r} (u,v) = \big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\big)\text{,}\) з\((u,v)\) працює над області\(R\) в\(uv\) -площині. Припустимо, що\(\vecs{r} (u,v)\) це збереження орієнтації в тому сенсі, що\(\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = +\frac{\partial \vecs{r} }{\partial u} \times \frac{\partial \vecs{r} }{\partial v}\,\text{d}u\,\text{d}v\text{.}\) Тоді, мотивований прикладом 4.7.11.b вище,

   \[\begin{align*} \int_{S}\omega &= \iint_R \Big[\vecs{F} \big(\vecs{r} (u,v)\big)\cdot \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u,v)\Big] \text{d}u\wedge\text{d}v = \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

4. \(\omega = f(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z\)Дозволяти бути\(3\) -форма. Нехай\(V\) буде твердим в\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Тоді

   \[\begin{align*} \int_{V}\omega &= \iiint_V f(x,y,z)\,\text{d}x\text{d}y\text{d}z \end{align*}\]

Нарешті, після всіх цих визначень у нас є дуже компактна теорема, яка одночасно охоплює фундаментальну теорему числення, теорему Гріна. Теорема Стокса та теорема розбіжності. Якби ми дали всі наші визначення в\(n\) вимірах, а не лише три виміри, це охопило б набагато більше. Ця загальна теорема також називається теоремою Стокса.

Теорема 4.7.14. Теорема Стокса

Якщо\(\omega\) є\(k\) -form (with\(k=0,1,2\)) і\(D\) є\((k+1)\) -мірною доменом інтеграції, то

\[ \int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega \nonumber \]

\(\partial D\)Ось межа\(D\) (відповідним чином орієнтована).

Щоб побачити зв'язок між загальною теоремою Стокса 4.7.14 та теоремами Стокса та розбіжності попередньої частини цього розділу, ось\(k=1\) і\(k=2\) випадки теореми 4.7.14 знову.

• \(\omega = F_1 \text{d}x + F_2 \text{d}y + F_3 \text{d}z\)Дозволяти бути\(1\) -форма і нехай\(S\) бути кусково гладкою орієнтованою поверхнею, як у (наш оригінал) теорема Стокса 4.4.1. Потім, Лемма 4.7.12.b,

  \[ d\omega = (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_1\,\text{d}y\wedge\text{d}z +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_2\,\text{d}z\wedge\text{d}x +(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )_3\,\text{d}x\wedge\text{d}y \nonumber \]

  Отже, частинами (c) (але із\(\vecs{F} \) заміненими на\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \)) та (b) Визначення 4.7.13 висновок\(\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega\) (загальної) теореми Стокса 4.7.14

  \[\begin{gather*} \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\int_S d\omega=\int_{\partial S}\omega =\int_{\partial S}\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \end{gather*}\]

  що є висновком (нашого оригіналу) теореми Стокса 4.4.1.
• \(\omega = F_1(x,y,z)\,\text{d}y\wedge\text{d}z + F_2(x,y,z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x + F_3(x,y,z)\,\text{d}x\wedge\text{d}y\)бути a\(2\) -форма і нехай\(V\) бути твердим, як у теоремі розбіжності 4.2.2. Потім, Лемма 4.7.12.c,

  \[ d\omega = \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z \nonumber \]

  Отже, частинами (d) (з\(f =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \)) і (c) Визначення 4.7.13 висновок (\(\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega\)загальної) теореми Стокса 4.7.14 є

  \[\begin{gather*} \iiint_V \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}x\text{d}y\text{d}z =\int_V d\omega=\int_{\partial V}\omega =\iint_{\partial V}\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{gather*}\]

  що є висновком теореми розбіжності 4.2.2.

 

1. Взагалі диференціальна форма визначається на многообразі, що представляє собою абстрактне узагальнення багатовимірної поверхні, як сфера або тор.
2. Ми також могли б визначити, наприклад,\(1\) -form як упорядкований\(\big( F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,\, F_3(x,y,z)\big)\) список з трьох функцій і просто переглянути\(F_1(x,y,z)\,\text{d}x + F_2(x,y,z)\,\text{d}y + F_3(x,y,z)\,\text{d}z\) як інше позначення для\(\big( F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,\, F_3(x,y,z)\big)\text{.}\)
3. \(\text{d}\)Це унікальне якраз означає, що дія\(\text{d}\) на будь-яку диференціальну форму повністю визначається чотирма правилами (а), (b), (c), (d). Ми побачимо в прикладі 4.7.10.c, d, e, що це дійсно так.
4. Дійсно, ви можете розглядати\(f(t)\) як функцію трьох змінних, які трапляється бути незалежними від двох з трьох змінних. Аналогічно ви можете розглядати\(f(u,v)\) як функцію трьох змінних, які, трапляється, не залежать від однієї з трьох змінних.