4.6: Насправді необов'язково - більше інтерпретації Div і Curl

Зараз ми збираємось визначити набагато детальніше, ніж раніше ¹, що розбіжність та завиток векторного поля говорить нам про потік цього векторного поля.

Розглянемо (можливо стисливу) рідину з полем швидкості\(\vecs{v} (\textbf{x},t)\text{.}\) Виберіть будь-який час\(t_0\) і дійсно крихітний шматок рідини; припустимо, що, в той час\(t_0\text{,}\) це куб з кутами на

\[ \left \{\textbf{x}_0+n_1\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}+n_2\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}+n_3\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\big|n_1,n_2,n_3\in\{0,1\}\right \} \nonumber \]

\(\varepsilon \gt 0\)Ось довжина кожного ребра куба і вважається дійсно маленькою. Вектори\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) і\(\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\) являють собою три взаємно перпендикулярних одиничних вектора, які дають орієнтацію країв куба. Вектори від кута\(\textbf{x}_0\) до трьох найближчих сусідніх кутів є\(\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) і\(\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )}\text{.}\)

З плином часу шматок рідини переміщається. Зокрема, рухаються кути. Позначимо\(\varepsilon\textbf{b}^{(1)}(t)\) вектором, на час\(t\text{,}\) приєднуючи\(n_1=n_2=n_3=0\) кут до\(n_1=1,\ n_2=n_3=0\) кута. Визначте\(\varepsilon\textbf{b}^{(2)}(t)\) і\(\varepsilon\textbf{b}^{(3)}(t)\) аналогічно. Протягом дуже близьких до\(t_0\) нас часів ми можемо думати про наш шматок рідини як по суті паралелепіпед з краями.\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\)

Концентруючись на\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}(t)\) краях шматочка рідини, а не на кутах, ми ігноруємо будь-які переклади, які могли зазнати шматок рідини. Ми хочемо, замість цього, визначити, як змінюється розмір і орієнтація паралелепіпеда зі\(t\) збільшенням.

\(t_0\text{,}\)\(\textbf{b}^{(k)}=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)За часом Швидкості кутів шматка рідини в часі\(t_0\) становлять

\[ \vecs{v} \big(\textbf{x}_0+n_1\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}+n_2\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}+n_3\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (3  \right )},t_0\big) \nonumber \]

Зокрема, в\(t_0\text{,}\) той час хвіст\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}\) має швидкість,\(\vecs{v} (\textbf{x}_0,t_0)\) а голова\(\varepsilon\textbf{b}^{(k)}\) має швидкість\(\vecs{v} (\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0)\text{.}\) Отже (використовуючи наближення Тейлора),

\[ \varepsilon\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)=\vecs{v} \big(\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0\big) -\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\sum_{j=1}^3\varepsilon\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_{j} +O(\varepsilon^2) \nonumber \]

і так

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0) =\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j +O(\varepsilon) \nonumber \]

Позначення\(O(\varepsilon^n)\) являє собою функцію, яка обмежена постійним часом\(\varepsilon^n\) для всіх досить малих.\(\varepsilon\text{.}\) Тобто, ми говоримо, що\(\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)\) це\(\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vecs{v} }{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) плюс невелика помилка, яка обмежена постійним часом\(\varepsilon\text{.}\) Позначення\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) якраз відноситься до\(j^{\rm th}\) складова вектора\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Позначте\(\mathcal{V}\)\(3\times 3\) матрицею, елемент\((i,j)\) матриці якої

\[ \mathcal{V}_{i,j}=\frac{\partial \vecs{v} _i}{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \qquad 1\le i,j\le 3 \tag{M} \nonumber \]

Тоді ми можемо написати вище більш компактно:

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t_0)=\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t_0)+O(\varepsilon) \nonumber \]

\(\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t_0)\)Ось добуток\(3\times 3\) матриці\(\mathcal{V}\) і\(3\times 1\) стовпцевого вектора\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)\text{.}\) Вивчаємо поведінку\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) для малих\(\varepsilon\) і\(t\) близьких до\(t_0\text{,}\) шляхом вивчення поведінки розв'язків початкових задач.

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)=\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t)\qquad \textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \tag{IVP} \nonumber \]

Щоб розігрітися, спочатку розглянемо два двовимірних приклади. В обох прикладах поле швидкості\(\vecs{v} (x,y)\) є лінійним в\((x,y)\text{.}\) Отже, в цих прикладах,\(\vecs{v} \big(\textbf{x}_0+\varepsilon\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},t_0\big)-\vecs{v} \big(\textbf{x}\textbf{x}_0,t_0\big)\) точно\(\sum_{j=1}^3\varepsilon\frac{\partial\vecs{v} } {\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}_j\) і рішення (IVP) збігається з точним\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\) Після кожного прикладу ми обговорюємо широкий клас з, які генерують поведінку, подібну до цього\(\mathcal{V}\) приклад.

Приклад 4.6.1. \(\vecs{v} (x,y)= 2x\hat{\pmb{\imath}}+3y\hat{\pmb{\jmath}}\)

У цьому прикладі

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}2&0\\ 0&3\end{matrix}\right] \nonumber \]

Розв'язок задачі початкового значення

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1\\\beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}\textbf{b}_1'(t)=2\textbf{b}_1(t) & \textbf{b}_1(0)=\beta_1\\ \textbf{b}_2'(t)=3\textbf{b}_2(t) & \textbf{b}_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

є

\[ \begin{matrix}\textbf{b}_1(t)=e^{2t}\beta_1\\ \textbf{b}_2(t)=e^{3t}\beta_2\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}e^{2t}&0\\ 0&e^{3t}\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Якщо один вибирає\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}=\hat{\pmb{\imath}}\) і\(\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}=\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) краю,\(\textbf{b}^{(1)}(t)=e^{2t}\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\) і\(\textbf{b}^{(2)}(t)=e^{3t}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\text{,}\) шматок рідини ніколи не змінюють напрямок. Але їх довжина дійсно змінюється. Відносна швидкість зміни довжини в одиницю часу,\(|\dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)|/|\textbf{b}^{(k)}(t)|\text{,}\) становить\(2\) для\(\textbf{b}^{(1)}\) і 3 для На\(\textbf{b}^{(2)}\text{.}\) малюнку нижче темніший прямокутник - це початковий квадрат. Тобто квадрат з\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) краями Більш світлий прямокутник - це те, що з краями\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) для деяких\(t\) трохи більше, ніж\(t_0\text{.}\)

Зі збільшенням часу початковий куб стає все більшим і більшим прямокутником.

Приклад 4.6.2. Приклад 4.6.1, узагальнений

Поведінка Прикладу 4.6.1 є типовою для, які є симетричними матрицями, тобто які підкоряються ²\(\mathcal{V}_{i,j}=\mathcal{V}_{j,i}\) для всіх\(i,j\text{.}\) Будь-яка\(d\times d\) симетрична матриця ³ (з реальними записами)\(\mathcal{V}\)

• має\(d\) реальні власні значення
• має\(d\) взаємно ортогональні дійсні одиниці власних векторів.

Позначте власними\(\lambda_k,\ 1\le k\le d\text{,}\) значеннями\(\mathcal{V}\) і вибирайте\(d\) взаємно перпендикулярні дійсні одиничні вектори,\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{,}\) які підкоряються\(\mathcal{V}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=\lambda_k\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) всім\(1\le k\le d\text{.}\) Тоді

\[ \textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \nonumber \]

підкоряється

\[ \dfrac{d\textbf{b}^{(k)}}{dt}(t)=\lambda_ke^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \mathcal{V}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} =\mathcal{V}\textbf{b}^{(k)}(t)\quad\text{and}\quad \textbf{b}^{(k)}(t_0)= \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )} \nonumber \]

Так\(\textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\lambda_k (t-t_0)}\ \hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) задовольняє (IVP) для всіх\(t\) і\(1\le k\le d\text{.}\)

Якщо ми почнемо, в той час\(t_0\text{,}\) з куба, ребра якого,\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{,}\) є власними векторами\(\mathcal{D}\text{,}\) то, як час прогресує ребра,\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{,}\) шматок рідини ніколи не змінює напрямок. Але їх довжини змінюються з відносною швидкістю зміни довжини за одиницю часу, що припадає\(\lambda_k\) на число ребра\(k\text{.}\) Ця швидкість зміни може бути позитивною (ребро зростає з часом) або негативною (край стискається в часі) залежно від ознаки\(\lambda_k\text{.}\)

Обсяг шматка рідини за часом\(t\)\(V(t)=e^{\lambda_1 (t-t_0)}\cdots e^{\lambda_d (t-t_0)}\text{.}\) дорівнює Відносна швидкість зміни обсягу за одиницю часу -\(V'(t)/V(t)=\lambda_1\cdots+\lambda_d\text{,}\) сума\(d\) власних значень. Сума власних значень будь-якої\(d\times d\) матриці\(\mathcal{V}\) задається її слідом\(\sum_{i=1}^d \mathcal{V}_{i,i}\text{.}\) Для матриці (M)

\[ \frac{V'(t_0)}{V(t_0)} =\sum_{i=1}^d \frac{\partial v_i}{\partial x_i}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) \nonumber \]

Отже, принаймні, коли матриця,\(\mathcal{V}\) визначена в (M), симетрична, розбіжність\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) дає відносну швидкість зміни обсягу за одиницю часу для нашого крихітного шматка рідини в часі\(t_0\) і положенні\(\textbf{x}_0\text{.}\) Таким чином, коли\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} =0\) обсяг фіксований. Зокрема, це той випадок, коли рідина нестислива.

Насправді ми можемо розслабити умову симетрії.

Приклад 4.6.3. Приклад 4.6.1, узагальнений ще раз

Для будь-якої\(d\times d\)\(\mathcal{V}\text{,}\) матриці рішення

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(t_0)=\textbf{e} \nonumber \]

є

\[ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e} \nonumber \]

де експоненціальна\(d\times d\) матриця\(B\) визначається степеневим рядом

\[ e^B=1+B+\frac{1}{2} B^2+\frac{1}{3!}B^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}B^n \nonumber \]

з\(1\) позначенням матриці\(d\times d\) ідентичності. Ця сума сходиться ⁴

для всіх\(d\times d\) матриць\(B\text{.}\) Крім того, це легко перевірити, використовуючи силовий ряд, який\(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\) підпорядковується\(\dfrac{d}{dt}e^{\mathcal{V} (t-t_0)}=\mathcal{V} e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\) і є матрицею ідентичності, коли\(t=t_0\text{.}\) Так\(\textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e}\) дійсно підкоряється\(\textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\) і\(\textbf{b}(t_0)=\textbf{e}\text{.}\)

Виберіть будь-які\(d\) вектори\(\textbf{e}^{(k)},\ 1\le k\le d\text{,}\) та визначте\(\textbf{b}^{(k)}(t)=e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\textbf{e}^{(k)}\text{.}\) Також нехай\(E\) буде\(d\times d\) матриця,\(k^{\rm th}\) стовпець якої є\(\textbf{e}^{(k)}\) і\(E(t)\) бути\(d\times d\) матрицею,\(k^{\rm th}\) стовпець якої є\(\textbf{b}^{(k)}(t)\text{.}\) Тоді обсяг паралелепіпеда з ребрами\(\textbf{e}^{(k)},\ 1\le k\le d\text{,}\) дорівнює\(V(t_0)=\det E\) а обсяг паралелепіпеда з краями\(\textbf{b}^{(k)}(t),\ 1\le k\le d\text{,}\) дорівнює

\[ V(t)=\det E(t)=\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}E\big) =\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\big)\det E =\det\big(e^{\mathcal{V} (t-t_0)}\big)V(t_0) \nonumber \]

Звичайно, тепер ми повинні обчислити детермінант експоненціальної матриці. На щастя, є простий спосіб зробити це. Для будь-якої\(d\times d\) матриці у\(B\text{,}\) нас є ⁵,\(\det e^B=e^{\mathrm{tr} B}\text{,}\) де\(\mathrm{tr} B\text{,}\) називається слід матриці\(B\text{,}\) - це сума діагональних елементів матриці\(B\text{.}\) So.

\[ V(t)=e^{(t-t_0)\mathrm{tr} \mathcal{V} }V(t_0)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{V'(t_0)}{V(t_0)}=\mathrm{tr} \mathcal{V}=\sum_{i=1}^d \mathcal{V}_{i,i} \nonumber \]

Отже, для будь-якої матриці,\(\mathcal{V}\) визначеної як в (M), і будь-який вибір розбіжності\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) дає відносну швидкість зміни обсягу в одиницю часу для нашого крихітного шматка рідини в часі\(t_0\) і положенні.\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )},\ 1\le k\le d\text{,}\)\(\textbf{x}_0\text{.}\)

Приклад 4.6.4. \(\vecs{v} (x,y)= -y\hat{\pmb{\imath}}+x\hat{\pmb{\jmath}}\)

У цьому прикладі

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0&-1\\ 1&0\end{matrix}\right] \nonumber \]

Рішення ⁶ до

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=-b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

є

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cos t-\beta_2\sin t\\ b_2(t)=\beta_1\sin t+\beta_2\cos t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}\cos t&-\sin t\\ \sin t& \cos t\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Отже, вектор\(\textbf{b}(t)\) має таку ж довжину, як\(\textbf{b}(0)\text{.}\) кут між\(\textbf{b}(t)\) і\(\textbf{b}(0)\) є просто\(t\) радіанами. Отже, у цьому прикладі, незалежно від того, який напрямок векторів\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) ми вибираємо, шматок рідини просто обертається з одним радіаном за одиницю часу. На малюнку нижче окреслений прямокутник - це початковий квадрат. Тобто квадрат з краями\(\textbf{b}^{(k)}(t_0)=\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) Затінений прямокутник - це те, що з краями\(\textbf{b}^{(k)}(t)\) для деяких\(t\) трохи більше, ніж\(t_0\text{.}\)

Приклад 4.6.5. Приклад 4.6.4, узагальнений

Поведінка Прикладу 4.6.4 є типовим\(\mathcal{V}_{i,j}=-\mathcal{V}_{j,i}\) для, які є антисиметричними матрицями, тобто які підкоряються всім\(i,j\text{.}\) Як ми вже спостерігали, для будь-якої\(d\times d\) матриці\(\mathcal{V}\text{,}\) рішення\(\ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t),\ \textbf{b}(0)=\textbf{e} \ \) є\(\ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} t}\textbf{e} \text{.}\) Ми тепер показуємо, що якщо\(\mathcal{V}\) є\(3\times 3\) антисиметричним\(\mathcal{V}\) матриці, далі\(e^{\mathcal{V} t}\) йде обертання.

Припускаючи, що\(\mathcal{V}\) це не нульова матриця (в цьому випадку\(e^{\mathcal{V} t}\) є тотожною матрицею для всіх\(t\)), ми можемо знайти число\(\Omega \gt 0\) і одиничний вектор\(\hat{\mathbf{k}}=(k_1,k_2,k_3)\) (не обов'язково стандартний вектор одиниці, паралельний\(z\) -осі) такі, що

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0 & -\Omega k_3 & \Omega k_2\\ \Omega k_3& 0 & -\Omega k_1\\ -\Omega k_2& \Omega k_1&0\end{matrix}\right] \tag{R} \nonumber \]

Це легко. Оскільки\(\mathcal{V}\) антисиметричний, всі записи на його діагоналі повинні бути нульовими. \(\Omega\)Визначити бути\(\sqrt{\mathcal{V}_{1,2}^2+\mathcal{V}_{1,3}^2+\mathcal{V}_{2,3}^2}\) і\(k_1=-\mathcal{V}_{2,3}/\Omega\text{,}\)\(k_2=\mathcal{V}_{1,3}/\Omega\text{,}\)\(k_3=-\mathcal{V}_{1,2}/\Omega\text{.}\) також, нехай\(\hat{\pmb{\imath}}\) будь одиничний вектор ортогональний\(\hat{\mathbf{k}}\) (знову ж таки, не обов'язково стандартний) і\(\hat{\pmb{\jmath}}=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\) Так\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}},\ \hat{\mathbf{k}}\) є правостороння система з трьох взаємно перпендикулярних одиничних векторів.

Зауважте, що для будь-якого вектора\(\textbf{e}=(e_1,e_2,e_3)\)

\[ \mathcal{V}\textbf{e}=\left[\begin{matrix}0 & -\Omega k_3 & \Omega k_2\\ \Omega k_3& 0 & -\Omega k_1\\ -\Omega k_2& \Omega k_1&0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}e_1\\ e_2\\ e_3\end{matrix}\right] =\Omega\left[\begin{matrix}k_2e_3-k_3e_2\\ k_3e_1-k_1e_3\\ k_1e_2-k_2e_1\end{matrix}\right] =\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \textbf{e} \nonumber \]

Зокрема,

\[\begin{align*} \mathcal{V}\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\pmb{\imath}}=\Omega\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}\hat{\pmb{\jmath}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}\hat{\mathbf{k}}&=\Omega\hat{\mathbf{k}}\times \hat{\mathbf{k}}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}\hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega^2\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}\hat{\pmb{\imath}}=-\Omega^2\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^2\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}\vecs{0}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\jmath}}=-\Omega^3\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}^2\hat{\pmb{\imath}}=\Omega^3\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^3\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}^2\vecs{0}=\vecs{0}\\ \mathcal{V}^4\hat{\pmb{\imath}}&=\Omega \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\jmath}}=\Omega^4\hat{\pmb{\imath}} & \mathcal{V}^4\hat{\pmb{\jmath}}&=-\Omega \mathcal{V}^3\hat{\pmb{\imath}}=\Omega^4\hat{\pmb{\jmath}} & \mathcal{V}^4\hat{\mathbf{k}}&=\mathcal{V}^3\vecs{0}=\vecs{0} \end{align*}\]

і так далі. Для всіх непарних\(n\ge 1\text{,}\)

\[ \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\imath}}=(-1)^{(n-1)/2}\Omega^n\hat{\pmb{\jmath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\jmath}}=-(-1)^{(n-1)/2}\Omega^n\hat{\pmb{\imath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\mathbf{k}}=\vecs{0} \nonumber \]

і все навіть\(n\ge 2\text{,}\)

\[ \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\imath}}=(-1)^{n/2}\Omega^n\hat{\pmb{\imath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\pmb{\jmath}}=(-1)^{n/2}\Omega^n\hat{\pmb{\jmath}} \qquad \mathcal{V}^n\hat{\mathbf{k}}=\vecs{0} \nonumber \]

Звідси ми можемо написати

\[\begin{align*} e^{\mathcal{V} t}\hat{\pmb{\imath}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\pmb{\imath}} =\sum_{n\ {\rm even}}\!\! \frac{(-1)^{n/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\imath}} \ +\sum_{n\ {\rm odd}}\! \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\jmath}}\\ &=\phantom{-}\cos(\Omega t)\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin(\Omega t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ e^{\mathcal{V} t}\hat{\pmb{\jmath}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\pmb{\jmath}} =\sum_{n\ {\rm even}}\!\! \frac{(-1)^{n/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\jmath}} \ -\sum_{n\ {\rm odd}}\! \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}(\Omega t)^n\hat{\pmb{\imath}}\\ &=-\sin(\Omega t)\,\hat{\pmb{\imath}}+\cos(\Omega t)\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ e^{\mathcal{V} t}\hat{\mathbf{k}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\mathcal{V} t)^n\hat{\mathbf{k}}\\ &=\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Так\(e^{\mathcal{V} t}\) відбувається поворот на кут\(\Omega t\) навколо осі.\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Приклад 4.6.6. Приклад 4.6.5, продовження

Незалежно від того, чи є матриця,\(\mathcal{V}\) визначена в (M) антисиметричною, пов'язана матриця з записами

\[ A_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}-\mathcal{V}_{j,i}\big) \nonumber \]

є. Коли\(\mathcal{V}\) антисиметричний,\(A\) і\(\mathcal{V}\) збігається. Матриця\(A\) є (щоб виписати її явно)

\[ \frac{1}{2}\!\!\left[\begin{matrix}0 & \!\!\!\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& \!\!\!\frac{\partial v_1}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\\ \!-\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& 0 & \! \!\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_2}\big(\\textbf{x}_0,t_0\big)\\ \!-\!\frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_1}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& \!\!-\!\frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x_3}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) \!+\!\frac{\partial \vecs{v} _3}{\partial x_2}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)& 0\end{matrix}\right] \nonumber \]

Порівнюючи це з (R), ми бачимо, що

\[ \Omega \hat{\mathbf{k}}=\frac{1}{2}\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big) \nonumber \]

Так, принаймні, коли матриця,\(\mathcal{V}\) визначена в (M) є антисиметричною, наш крихітний куб обертається навколо осі зі\(\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) швидкістю\(\frac{1}{2}\big|\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\big|\text{.}\)

Зауваження 4.6.7

У узагальненні, Приклад 4.6.5, Приклад 4.6.4, ми розглянули лише вимір 3. Це хороша вправа у власних значеннях та власних векторах для обробки загального виміру. Ось основні факти про антисиметричних матрицях з реальними записами, які використовуються.

• Усі власні значення антисиметричних матриць є або нульовими, або чистими уявними.
• Для антисиметричних матриць з дійсними записами ненульові власні значення надходять у складних сполучених парах. Відповідні власні вектори також можуть бути обрані як складні кон'югати.

Виберіть як базисні вектори (як\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}},\ \hat{\mathbf{k}}\) зазначено вище)

• власні вектори з власним значенням 0 (вони діють як\(\hat{\mathbf{k}}\) вище)
• дійсна і уявна частини кожної комплексної сполученої пари власних векторів (вони діють так, як\(\hat{\pmb{\imath}},\ \hat{\pmb{\jmath}}\) вище)

Резюме поки що:

Зараз ми побачили, що

• коли матриця,\(\mathcal{V}\) визначена в (M) симетрична, а вектори\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) напрямку куба є власними векторами\(\mathcal{V}\text{,}\) тоді, в\(t_0\text{,}\) той час шматок рідини не змінює орієнтацію, а змінює об'єм з миттєвою відносною швидкістю\(\nabla\cdot\vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) і
• коли матриця,\(\mathcal{V}\) визначена в (М), є антисиметричною, то, в\(t_0\text{,}\) той час, коли шматок рідини не змінює форму або розмір,\(\nabla\times \vecs{v} \) але обертається навколо осі зі\(\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\) швидкістю. З цієї\(\frac{1}{2}\big|\nabla\times \vecs{v} \big(\textbf{x}_0,t_0\big)\big|\text{.}\) причини часто називають вимірювачем «завихреності».

Вони згодні з нашими попередніми тлумаченнями розбіжності і завивки.

Загальний випадок:

Тепер розглянемо загальну матрицю.\(\mathcal{V}\text{.}\) Її завжди можна записати як суму.

\[ \mathcal{V}=S+A \nonumber \]

симетричної матриці\(S\) та антисиметричної матриці\(A\text{.}\) Просто визначте

\[ S_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}+\mathcal{V}_{j,i}\big)\qquad A_{i,j}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{V}_{i,j}-\mathcal{V}_{j,i}\big) \nonumber \]

Як ми вже спостерігали, рішення

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\textbf{e} \nonumber \]

є

\[ \textbf{b}(t)=e^{\mathcal{V} t}\textbf{e}=e^{(A+S) t}\textbf{e} \nonumber \]

Якби\(S\) і\(A\) були звичайні числа, ми б мали\(e^{(A+S) t}=e^{At}e^{St}\text{.}\) Але для матриць це не повинно бути так, якщо\(S\) і\(A\) трапиться коммутіруют ⁷. Для довільних матриць все ще вірно, що

\[ e^{(A+S) t}=\lim_{n\rightarrow\infty }\Big[e^{At/n}e^{St/n}\Big]^n \nonumber \]

Це називається формулою продукту ^{Lie 8}. Це показує, що наш крихітний шматок рідини змішує поведінку\(A\) і\(S\text{,}\) масштабування трохи, потім трохи обертається, потім масштабування трохи і так далі.

Приклад 4.6.8. \(\ \vecs{v} (x,y)= 2y\hat{\pmb{\imath}}\)

У цьому прикладі

\[ \mathcal{V}=\left[\begin{matrix}0&2\\ 0&0\end{matrix}\right]=S+A\qquad{\rm with}\qquad S=\left[\begin{matrix}0&1\\ 1&0\end{matrix}\right]\qquad A=\left[\begin{matrix}0&1\\ -1&0\end{matrix}\right] \nonumber \]

Рішення для повного потоку

\[ \textbf{b}'(t)=\mathcal{V}\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)= \left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=2b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=0 & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

є

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1+2\beta_2 t\\ b_2(t)=\beta_2\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[\begin{matrix}1& 2t\\ 0&1\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Розчин на\(S\) частину потоку

\[ \textbf{b}'(t)=S\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

є ⁹

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cosh t+\beta_2\sinh t\\ b_2(t)=\beta_1\sinh t+\beta_2\cosh t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[ \begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix} \right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

Власні вектори\(S\) є

\[ \hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right]\qquad \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1\\ -1\end{matrix}\right] \nonumber \]

Відповідні власні значення є\(+1\) і Власні\(-1\text{.}\) вектори підкоряються

\[\begin{align*} e^{St}\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}&=\left[\begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix}\right]\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )} =e^t\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\\ e^{St}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}&=\left[\begin{matrix}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{matrix}\right]\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )} =e^{-t}\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )} \end{align*}\]

Під\(S\) частиною течії\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )}\) шкали за коефіцієнтом\(e^t\text{,}\) яких більше одиниці для\(t \gt 0\) і\(\hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) шкали, за коефіцієнтом\(e^{-t}\text{,}\) яких менше одиниці, для\(t \gt 0\text{.}\)

Розчин на\(A\) частину потоку

\[ \textbf{b}'(t)=A\textbf{b}(t)\quad \textbf{b}(0)=\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2\end{matrix}\right] \quad\text{or equivalently}\quad \begin{matrix}b_1'(t)=b_2(t) & b_1(0)=\beta_1\\ b_2'(t)=-b_1(t) & b_2(0)=\beta_2\end{matrix} \nonumber \]

є

\[ \begin{matrix}b_1(t)=\beta_1\cos t+\beta_2\sin t\\ b_2(t)=-\beta_1\sin t+\beta_2\cos t\end{matrix} \quad\text{or equivalently}\quad \textbf{b}(t)=\left[ \begin{matrix}\cos t& \sin t\\ -\sin t&\cos t\end{matrix}\right]\textbf{b}(0) \nonumber \]

\(A\)Частина потоку обертається за годинниковою стрілкою навколо початку з одним радіаном в одиницю часу.

Ось деякі цифри, які допоможуть нам це візуалізувати.

• Перший показує квадрат з краями\(\hat{\textbf{e}}^{\left (1  \right )},\ \hat{\textbf{e}}^{\left (2  \right )}\) і його зображення під повним потоком\(t=0.4\) пізніше. Під цим повним потоком вектор\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\rightarrow e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\) Темно затінений паралелограм має ребра.\(e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)
• Другий показує своє зображення під одиницями\(0.4\) часу\(S\) -потоку (тобто\(\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\rightarrow e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\)). Злегка затінений прямокутник має краю\(e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)
• Третій застосовує одиниці\(0.4\) часу\(A\) -потоку до затіненого прямокутника другої фігури. Отже, злегка затінений прямокутник третьої фігури має краї,\(e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) а темно затінений прямокутник має краю.\(e^{0.4A}e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Звичайно\(e^{0.4A}e^{0.4S}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) (як в темно затіненому прямокутнику третьої фігури) не дуже вдале наближення для\(e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) (як в темно затіненому паралелограмі першої цифри). Набагато краще брати\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) з\(n\) великими. На кожному з наведених нижче малюнків зображено два паралелограма. У кожному затіненій області є ребра,\(e^{0.4\mathcal{V}}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}=e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) а окреслена область має ребра.\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

Таким чином, ми бачимо, що зі\(n\) збільшенням\(\big[e^{0.4A/n}e^{0.4S/n}\big]^{n}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\) стає кращим і кращим наближенням до\(e^{0.4(A+S)}\hat{\textbf{e}}^{\left (k  \right )}\text{.}\)

1. Ми також будемо використовувати трохи більше математики, ніж раніше. У цьому розділі ми використаємо матричні власні значення та власні вектори та вирішимо деякі прості системи звичайних диференціальних рівнянь. Нам також потрібно буде використовувати багато індексів і верхніх індексів. Це виглядає лише страхітливо.
2. З точки зору нашого вихідного векторного поля, ця умова полягає в\(\frac{\partial \vecs{v} _i}{\partial x_j}\big(\textbf{x}_0,t_0\big) =\frac{\partial \vecs{v} _j}{\partial x_i}\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\text{.}\) тому, що так, у трьох вимірах, воно зводиться до вимоги, яка\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} \) дорівнює нулю в точці\(\big(\textbf{x}_0,t_0\big)\text{.}\)
3. Це було доведено французьким математиком і фізиком Августен-Луї Коші (1789—1857) в 1829 році.
4. Доказ не такий важкий, хоча ми лише окреслимо його. Просто позначимо\(\beta\) величиною найбільшого елемента матриці\(B\text{.}\) Потім скористайтеся визначенням добутку матриці, щоб довести, що найбільший елемент матриці\(B^n\) має величину не більше.\((d\beta)^n\text{.}\)
5. Знову ж таки, ми цього не доведемо. Але для діагональної матриці це просто — достатньо обчислити обидві сторони. Таким чином, для діагональної матриці це також легко - діагоналізувати.
6. Ви можете знайти рішення або за допомогою вгадування, або за допомогою власних значень і власних векторів.
7. За визначенням, матриці\(S\) і\(A\) комутують при\(AS=SA\text{.}\)
8. Ця формула названа на честь норвезького математика Маріуса Софуса Лі (1842—1899). У 1870 році його заарештували і утримували у в'язниці у Франції протягом місяця, оскільки його підозрювали в німецькому шпигуні. Його математичні записки вважалися абсолютно секретними закодованими повідомленнями.
9. Нагадаємо, що\(\sinh t = \frac{1}{2}\big(e^t-e^{-t}\big)\) і\(\cosh t = \frac{1}{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\text{.}\)