4.5: Необов'язково - Які векторні поля підкоряються × F = 0

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60879

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми вже знаємо, що якщо векторне поле$\vecs{F} $ проходить скринінговий тест$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ на всіх$\mathbb{R}^2$ або$\mathbb{R}^3\text{,}$ тоді є функція$\varphi$ з$\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}$ Тобто,$\vecs{F} $ є консервативним. Зараз ми розглянемо перший погляд на те, що відбувається ¹, коли$\vecs{F} $ проходить скринінговий тест$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ лише на якомусь належному$\mathcal{D}$ підмножині$\mathbb{R}^n\text{,}$$n=2$ або$3\text{.}$ Ми просто подряпаємо поверхню цієї теми - є ціла підгалузь математики (cohomology). теорія, що входить до складу алгебраїчної топології) стосується загальної форми цього питання. Уявімо, що нам дано векторне поле$\vecs{F} $, яке визначено тільки на$\mathcal{D}$ і будемо вважати

що$\mathcal{D}$ є зв'язаною, відкритою$\mathbb{R}^n$ підмножиною з$n=2$ або$n=3$ (див. Визначення 4.5.1, нижче)
що всі похідні першого порядку всіх векторних полів і функцій, які ми розглядаємо, є неперервними і
що всі криві, які ми розглядаємо, є кусково плавними. Крива є кусково-гладкою, якщо вона є об'єднанням скінченного числа гладких кривих, кінцевою$\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\cdots,\mathcal{C}_m$ точкою якої є початковою точкою$\mathcal{C}_{i+1}$ для кожної кривої$1\le i \lt m\text{.}$ A є гладкою ², якщо вона має параметризацію, перша похідна$\vecs{r} (t)\text{,}$$a\le t\le b\text{,}$ якої$\mathcal{C}_i$$\vecs{r} '(t)$ існує, є безперервним і ненульовим скрізь.

$pSmooth.svg$

Визначення 4.5.1

$n\ge 1$Дозволяти ціле число.

Нехай$\textbf{a}\in\mathbb{R}^n$ і$\varepsilon \gt 0\text{.}$ відкритий куля$\varepsilon$ радіусу по центру$\textbf{a}$ є
\[ B_\varepsilon(\textbf{a})=\big\{\ \textbf{x}\in\mathbb{R}^n\ \big|\ |\textbf{x}-\textbf{a}| \lt \varepsilon\ \big\} \nonumber \]
Зверніть увагу на сувору нерівність в$|\textbf{x}-\textbf{a}| \lt \varepsilon\text{.}$
Підмножина, як кажуть,$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^n$ є «відкритою підмножиною$\mathbb{R}^n$», якщо для кожної точки$\textbf{a}\in\mathcal{O}\text{,}$ існує$\varepsilon \gt 0$ такий, що$B_\varepsilon(\textbf{a})\subset\mathcal{O}\text{.}$ еквівалентно,$\mathcal{O}$ відкритий тоді і лише тоді, коли це об'єднання відкритих куль.
Кажуть,$\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^n$ що підмножина (по шляху) з'єднана, якщо кожна пара точок$\mathcal{D}$ може бути з'єднана кусково-гладкою кривою в$\mathcal{D}\text{.}$

Ось кілька прикладів, які допоможуть пояснити це визначення.

Приклад 4.5.2

Відкритий прямокутник$\mathcal{O}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt x \lt 1,\ 0 \lt y \lt 1\ \big\}$ є відкритою підмножиною$\mathbb{R}^2$ тому, що будь-яка точка$\textbf{a}=(x_0,y_0)\in\mathcal{O}$ є ненульовою$d=\min\big\{x_0,1-x_0,y_0,1-y_0\big\}$ відстанню, а саме від кордону$\mathcal{O}\text{.}$ Отже, відкритий куля$B_{d/2}(\textbf{a})$ міститься в$\mathcal{O}\text{.}$
Закритий прямокутник не$\mathcal{C}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0\le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\ \big\}$ є відкритим підмножиною$\mathbb{R}^2\text{.}$ Наприклад,$\vecs{0}=(0,0)$ це точка в$\mathcal{C}\text{.}$ Незалежно від того, що$\varepsilon \gt 0$ ми вибираємо, відкритий куля не$B_\varepsilon(\vecs{0})$ міститься в$\mathcal{C}$ тому, що$B_\varepsilon(\vecs{0})$ містить точку$(-\frac{\varepsilon}{2},0)\text{,}$ якого немає в$\mathcal{C}\text{.}$

$openSquare.svg$

$closedSquare.svg$

$xAxis.svg$
$x$-axis,$\mathcal{X}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y=0\ \big\}\text{,}$ in не$\mathbb{R}^2$ є відкритою підмножиною,$\mathbb{R}^2$ тому що для будь-якої точки$(x_0,0)\in\mathcal{X}$ і будь-якої$\varepsilon \gt 0\text{,}$ кулі$B_\varepsilon\big((x_0,0)\big)$ містить точки з$y$ ненульовими координатами і тому не міститься в$\mathcal{X}\text{.}$
Союз відкритих куль
\[\begin{align*} &B_1\big((0,0)\big)\cup B_1\big((2,0)\big)\\ &\hskip1in=\left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big|x^2+y^2 \lt 1\text{ or }(x\!-\!2)^2+y^2 \lt 1 \right \} \end{align*}\]
не пов'язаний, так як будь-який безперервний шлях від, наприклад,$(2,0)$ до$(0,0)$ повинен вийти союз. На малюнку зліва нижче «порожній диск» був намальований$(1,0)$ лише для того, щоб підкреслити,$(1,0)$ що точка не в об'єднанні.
З іншого боку об'єднання «закритих куль»
\[ \left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big|x^2+y^2\le 1\text{ or }(x-2)^2+y^2\le 1 \right \} \nonumber \]

підключається. Наприклад, відрізок прямої лінії від$(2,0)$ до$(0,0)$ залишається в союзі.

$openUnion.svg$ $closedUnion.svg$

Багато, але не всі, з основних фактів, які ми розробили, в §2.4.1, про консервативні поля в$\mathbb{R}^n$ також застосовується (з тими ж доказами) до полів на$\mathcal{D}\text{.}$

Теорема 4.5.3

Для векторного поля$\vecs{F} $ на$\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^n\text{,}$

\[\begin{align*} \vecs{F} \text{ is conservative on $\mathcal{D}$} &\iff \vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{ on $\mathcal{D}$, for some function $\varphi$}\\ &\iff \text{for each $P_0,P_1\in\mathcal{D}$, the integral }\int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{ takes}\\ &\hskip 0.5in \text{the same value for all curves $\mathcal{C}$ from $P_0$ to $P_1$}\\ &\iff \oint_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =0\ \text{ for all closed curves $\mathcal{C}$ in $\mathcal{D}$}\\ &\ \Longrightarrow \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0\ \text{ on $\mathcal{D}$} \end{align*}\]

Зауважте, що останній рядок цієї теореми містить лише один спосіб імплікації.

Поєднання цього з теоремою Стокса 4.4.1 (коли$n=3\text{,}$ або теорема Гріна 4.3.2 коли$n=2$) дає нам наступні два наслідки.

Теорема 4.5.4

Якщо$\mathcal{D}$ має властивість, яка
\[ \begin{split} &\text{every closed curve $\mathcal{C}$ in $\mathcal{D}$ is the boundary} \\ &\text{of a bounded oriented surface, $\mathcal{S}$, in $\mathcal{D}$} \end{split} \tag{H} \nonumber \]
потім
\[ \vecs{F} \text{ is conservative on $\mathcal{D}$} \iff \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0\text{ on $\mathcal{D}$} \nonumber \]
Для будь-якого,$\mathcal{D}\text{,}$ якщо$\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0$ на$\mathcal{D}\text{,}$ то$\vecs{F} $ є локально консервативним. Це означає, що для кожної точки$\textbf{x}_0\in\mathcal{D}\text{,}$ є функція$\varepsilon \gt 0$ і$\varphi$ така, що$\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi$ на$B_\varepsilon(\textbf{x}_0)\text{.}$

Доказ

(а) Це просто тому, що якщо$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ на$\mathcal{D}$ і якщо крива$\mathcal{C}=\partial\mathcal{S}\text{,}$ з$\mathcal{S}$ орієнтованою поверхнею,$\mathcal{D}\text{,}$ то теорема Стокса дає

\[ \int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\int_{\partial\mathcal{S}} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_\mathcal{S} \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S=0 \nonumber \]

Так$\vecs{F} $ консервативно за теоремою 4.5.3.

(б) Це вірно просто тому, що$B_\varepsilon(\textbf{x}_0)$ задовольняє властивість (H).

Приклад 4.5.5

Ось кілька прикладів$\mathcal{D}$, які порушують (H).

Коли$\mathcal{D}=\mathcal{D}_1=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt |(x,y)| \lt 3\big\}$ (відкритий куля з його центром видалений), то коло$x^2+y^2=4$ є кривою$\mathcal{D}$, в якій не межа поверхні в$\mathcal{D}\text{.}$ Коло$x^2+y^2=4$ є кордоном диска,$x^2+y^2 \lt 4\text{,}$ але диск$x^2+y^2 \lt 4$ не міститься в$\mathcal{D}$ тому що точка$(0,0)$ знаходиться в диску, а не в$\mathcal{D}\text{.}$ Див. малюнок зліва нижче.
Коли$\mathcal{D}=\mathcal{D}_2 =\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ |(x,y,z)| \lt 2, |(x,y)| \gt 0\big\}$ (відкритий куля з$z$ -віссю видалено), то коло$x^2+y^2=1\text{,}$$z=0$ є кривою$\mathcal{D}$, в якій не межа поверхні в$\mathcal{D}\text{.}$ Коло є межею багатьох різних поверхонь,$\mathbb{R}^3\text{,}$ але кожна містить точку на$z$ -осі і так не міститься в$\mathcal{D}\text{.}$ Див. малюнок в центрі нижче.

$pDisk.svg$ $lSphere.svg$ $pSphere.svg$

З іншого боку, ось приклад, який задовольняє (H).

Нехай$\mathcal{D}=\mathcal{D}_3=\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ 0 \lt |(x,y,z)| \lt 2\big\}$ (відкритий куля з його центром видалені). Наприклад, коло$x^2+y^2=1\text{,}$$z=0$ - це межа поверхні$\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ x^2+y^2+z^2=1, z \gt 0\big\}\subset\mathcal{D}\text{.}$ Див. Рисунок праворуч вгорі.

Це залишає питання про те, що відбувається при порушенні (Н). Ми просто розглянемо один приклад, який, однак, дає смак загальної теорії.

Проколотий диск є

$pDisk2.svg$

\[ \mathcal{D}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt |(x,y)| \lt 1\ \big\} \nonumber \]

Ми почнемо з розгляду одного конкретного векторного поля, яке проходить скринінговий тест, але яке не може бути консервативним. Поле, яке ми бачили в прикладі 2.3.14, є

\[ \vecs{T} h =-\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

з доменом визначення$\mathcal{D}\text{.}$ Ми спочатку перевіримо, що він проходить скринінговий тест:

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h &=\Big\{\frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(-\frac{y}{x^2+y^2}\Big)\Big\}\hat{\mathbf{k}}\\ &=\Big\{\Big(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}\Big) +\Big(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}\Big)\Big\}\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{align*}\]

Далі ми перевіримо, що він не може бути консервативним. Позначають по$\mathcal{C}_\varepsilon$ колу$x^2+y^2=\varepsilon^2\text{,}$ з орієнтацією проти годинникової стрілки. Параметризувати$\mathcal{C}_\varepsilon$ за$\vecs{r} (\theta)=\varepsilon\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}}+\varepsilon\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}$ допомогою$0\le\theta\le2\pi\text{.}$ Then

\[\begin{align*} &\int_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} =\int_0^{2\pi} \vecs{T} h\big(\vecs{r} (\theta)\big)\cdot\frac{\text{d}\vecs{r} }{d\theta}(\theta)\ d\theta\\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \Big(-\frac{1}{\varepsilon}\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{1}{\varepsilon}\cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\Big) \cdot\big(-\varepsilon\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}}+\varepsilon\cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ d\theta \tag{E1}\\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \!\! d\theta\\ &\hskip0.25in=2\pi \end{align*}\]

не дорівнює нулю. За теоремою 4.5.3,$\vecs{T} h$ не може бути консервативним на проколотому диску, оскільки інтеграл$\int_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} $ навколо замкнутої кривої$\mathcal{C}_\varepsilon$ ненульовий.

Далі ми перевіримо, чи є він локально консервативним. Тобто він може бути записаний у формі$\vecs{ \nabla} \theta(x,y)$ біля будь-якої точки свого$(x_0,y_0)$ домену. Визначити,$\theta(x,y)$ щоб бути полярним кутом$(x,y)$ з, наприклад,$-\pi \lt \theta \lt \pi\text{.}$ Це$\theta$ визначається на всіх,$\mathcal{D}\text{,}$ крім негативної дійсної осі. Область визначення,$\mathcal{D}_\pi\text{,}$ намальована зліва внизу.

$pDiskPi.svg$ $pDisk0.svg$

Якщо$(x_0,y_0)$ трапляється лежати на негативній дійсній осі, просто замініть$-\pi \lt \theta \lt \pi$ на інший інтервал довжини,$2\pi\text{,}$ як$0 \lt \theta \lt 2\pi\text{.}$ область визначення$\theta$ потім зміниться на$\mathcal{D}_0\text{,}$ ескіз праворуч вгорі.

Тепер це проста справа, щоб перевірити, що$\vecs{ \nabla} \theta(x,y)=\vecs{T} h(x,y)$ в області визначення$\theta\text{.}$ Якщо$x\ne 0\text{,}$ тоді, з малюнка нижче,

$triangleTh.svg$

у нас є що$\tan\theta(x,y)=\frac{y}{x}\text{,}$ і$\cos\theta(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{,}$ так

\[\begin{alignat*}{3} \frac{\partial }{\partial x}\tan\theta(x,y) &=-\frac{y}{x^2} & &\quad\implies\quad& &\Big[\frac{\partial }{\partial x}\theta(x,y)\Big]\ \sec^2\theta(x,y) =-\frac{y}{x^2}\\ & & & \quad\implies\quad& &\frac{\partial }{\partial x}\theta(x,y) =-\frac{y}{x^2}\cos^2\theta(x,y)\\ & & & & &\hskip0.25in=-\frac{y}{x^2}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}\\ \frac{\partial }{\partial y}\tan\theta(x,y) &=\frac{1}{x} & &\quad\implies\quad& &\Big[\frac{\partial }{\partial y}\theta(x,y)\Big]\ \sec^2\theta(x,y) =\frac{1}{x}\\ & & &\quad\implies\quad& & \frac{\partial }{\partial y}\theta(x,y) =\frac{1}{x}\cos^2\theta(x,y)\\ & & & & &\hskip0.25in=\frac{1}{x}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} \end{alignat*}\]

Якщо$x=0\text{,}$ тоді ми повинні мати$y\ne 0$ (оскільки не$(0,0)$ знаходиться в області визначення до$\theta$), і ми можемо використовувати$\cot\theta(x,y)=\frac{x}{y}$ замість цього і прийти до того ж результату.

Поки що ми тільки що розглянули одне векторне поле на$\mathcal{D}\text{.}$ Ми тепер готові розглянути будь-яке векторне поле$\mathcal{D}$,$\vecs{F} $ на якому проходить скринінговий тест$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ на$\mathcal{D}\text{.}$ Ми стверджуємо, що існує функція$\varphi$ на$\mathcal{D}$ такий, що

\[ \vecs{F} =\alpha_\vecs{F} \,\vecs{T} h+\vecs{ \nabla} \varphi\qquad\text{where}\qquad \alpha_\vecs{F} = \frac{1}{2\pi}\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \tag{E2} \nonumber \]

Значення цього твердження полягає в тому, що він говорить про те, що якщо векторне поле на$\mathcal{D}$ проходить скринінговий тест на$\mathcal{D}\text{,}$ потім, або воно консервативне (це так, якщо і тільки якщо$\alpha_\vecs{F} =0$), або, якщо воно не може бути консервативним, то воно відрізняється від консервативного поля (а саме$\vecs{ \nabla} \varphi$) тільки константа (а саме$\alpha_\vecs{F} $) разів фіксоване векторне поле,$\vecs{T} h\text{.}$ тобто існує лише одне неконсервативне векторне поле, на$\mathcal{D}$ якому проходить скринінговий тест, аж до множення на константи і додавання консервативних полів. Це приємний простий сюрприз.

Зверніть увагу, що у визначенні$\alpha_\vecs{F} \text{,}$ ми не вказували радіус$\varepsilon$ кола$\mathcal{C}_\varepsilon$, який буде використовуватися для інтеграційної кривої. Це тому, що відповідь на інтеграл не залежить від вибору$\varepsilon\text{.}$ Щоб переконатися в цьому, візьміть будь-який$0 \lt \varepsilon' \lt \varepsilon \lt 1$ і розгляньте поверхню$S=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ \varepsilon' \lt |(x,y)| \lt \varepsilon\big\}\text{.}$

$pDisk3.svg$

Він повністю міститься в$\mathcal{D}\text{.}$ кордоні$S$ складається з двох частин. Зовнішня частина$\mathcal{C}_\varepsilon\text{,}$ орієнтована проти годинникової стрілки, як зазвичай. Внутрішня частина,$\mathcal{C}_{\varepsilon'}\text{,}$ але орієнтована за годинниковою стрілкою. Зазвичай позначається$-\mathcal{C}_{\varepsilon'}\text{.}$ Так, теоремою Стокса,

\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} -\oint_{\mathcal{C}_{\varepsilon'}}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} +\oint_{-\mathcal{C}_{\varepsilon'}}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \\ &=\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =0 \end{align*}\]

Нарешті, щоб перевірити претензію (E2), ми перевіряємо, що векторне поле$\textbf{G}=\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{T} h$ консервативне для цього достатньо перевірити, що$\oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0$ для будь-якої замкнутої кривої насправді ми можемо обмежити нашу увагу$\mathcal{C}$ кривими,$\mathcal{C}$ які є простими, закритими, орієнтованими проти годинникової стрілки$\mathcal{D}\text{.}$$\mathcal{D}\text{.}$ криві на кривій$\mathcal{D}\text{.}$ А називають простими, якщо вона не перетинається сама. Закриті криві, які не є простими, можна розділити на прості замкнуті підкриві. А зміна орієнтації$\mathcal{C}$ якраз змінює знак$\oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{,}$ яких ніяк не впливає, нуль він чи ні.

Отже, нехай$\mathcal{C}$ буде простий, закритий, проти годинникової стрілки орієнтована крива в$\mathcal{D}\text{.}$ Ми повинні перевірити, що$\oint_\mathcal{C}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{.}$ Будь-яка проста замкнута крива в$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$ ділиться на три взаємно неспільних підмножини ³ —$\mathcal{C}$ сама, множина точок всередині$\mathcal{C}$ і множина точок Зовні$\mathcal{C}\text{.}$ Так як$(0,0)$ не на$\mathcal{C}\text{,}$ ньому має бути або зовні,$\mathcal{C}\text{,}$ як на малюнку зліва внизу, або всередині$\mathcal{C}$ як на малюнку праворуч внизу.

$pDisk4.svg$ $pDisk5.svg$

Випадок 1:$(0,0)$ зовні$\mathcal{C}\text{.}$ У цьому випадку$\mathcal{C}$ межа множини,$S\text{,}$ яка повністю міститься$\mathcal{D}\text{,}$ саме у всіх точках всередині$\mathcal{C}\text{.}$ Отже, за теоремою Стокса,
\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\partial S}\big(\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{T} h\big)\cdot \text{d}\vecs{r} \\ &=\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S -\alpha_\vecs{F} \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =0-\alpha_\vecs{F} 0\\ &=0 \end{align*}\]
Випадок 2:$(0,0)$ всередині$\mathcal{C}\text{.}$ Оскільки$(0,0)$ немає,$\mathcal{C}\text{,}$ ми можемо вибрати досить$\varepsilon$ малий, щоб коло$\mathcal{C}_\varepsilon$ лежало повністю всередині$\mathcal{C}\text{.}$ Тоді крива$\mathcal{C}-\mathcal{C}_\varepsilon$ - це межа множини,$S\text{,}$ яка повністю міститься в$\mathcal{D}\text{,}$ а саме частина$\mathcal{D}$ того, що знаходиться між$\mathcal{C}_\varepsilon$ і$\mathcal{C}\text{.}$ Так, за теоремою Стокса,
\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} -\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\mathcal{C}-\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\partial S}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S \vecs{ \nabla} \times\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &=0 \end{align*}\]
так як$\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h=0$ на$\mathcal{D}\text{.}$ Звідси
\[ \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} -\alpha_\vecs{F} \oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} =2\pi\alpha_\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} (2\pi)=0 \nonumber \]
за визначенням, (Е2),$\alpha_\vecs{F} $ і (Е1).

Так$\textbf{G}$ консервативно$\mathcal{D}$ і$\vecs{F} $ має форму (Е2) на$\mathcal{D}\text{.}$

Ідеї, які ми тут досліджували, можна узагальнити зовсім небагато. Наприклад, якби у нас був диск з$n \gt 1$ проколами, ми могли б використовувати аргументи, подібні до тих, які наведені вище, щоб показати, що будь-яке векторне поле$\vecs{F} $, яке проходить скринінговий тест, має бути форми

\[ \vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi + \sum_{\ell=1}^n \alpha_\ell\,\vecs{T} h_\ell \nonumber \]

$\vecs{T} h_\ell$просто будучи$\vecs{T} h$ вищепереведеним таким чином, щоб бути зосередженим на$\ell^{\rm th}$ проколі.

Рассел Кроу поставив пов'язане питання у фільмі Прекрасний розум. Фільм заснований на житті американського математика Джона Неша, який отримав Нобелівську премію з економіки.
Слово «гладкий» не має універсального значення в математиці. Він використовується з різними значеннями в різних контекстах. Ми тут використовуємо одне зі стандартних визначень. Інше стандартне визначення вимагає, щоб всі похідні всіх замовлень були безперервними.
Цей, інтуїтивно очевидний, але важко довести, результат називається теоремою Джордана кривої. Він названий на честь французького математика Каміля Джордана (1838—1922), який вперше це довів.