1.11: Необов'язково - Астроїд

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60870

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Уявіть собі кулю радіуса, що$a/4$ кочується по внутрішній частині кола радіуса$a\text{.}$ Крива,$P$ промальована точкою, намальованою на внутрішньому колі (це синя крива на малюнках нижче) називається астроїдом ¹. Ми знайдемо його рівняння.

$astroid1AA.svg$ $astroid1BB.svg$ $astroid1CC.svg$

$astroid1DD.svg$ $astroid1EE.svg$ $astroid1FF.svg$

Визначте кути$\theta$ і$\phi$ як на малюнку зліва нижче.

$astroid.svg$ $astroid3.svg$

Тобто

вектор від центру,$O\text{,}$ окружності радіуса$a$ до центру,$Q\text{,}$ кулі радіуса$a/4$ є$\frac{3}{4}a\big(\cos\theta,\sin\theta\big)$ і
вектор від центру,$Q\text{,}$ кулі радіуса$a/4$ до точки$P$$\frac{1}{4}a\big(\cos\phi,-\sin\phi\big)$

Як$\theta$ проходить від 0 до$\frac{\pi}{2}\text{,}$ точки контакту між двома колами проходить через одну чверть окружності радіуса кола,$a\text{,}$ яка є відстанню,$\frac{1}{4}(2\pi a)\text{,}$ яка, в свою чергу, точно дорівнює окружності внутрішнього кола. Отже, якщо$\phi=0$ для$\theta=0$ (тобто якщо$P$ починається на$x$ -осі),$\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$$P$ то for знову контактує з великим колом на північному полюсі як внутрішнього, так і зовнішнього кіл. Тобто$\phi=\frac{3\pi}{2}$ коли$\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}$ (Див. Малюнок праворуч вгорі.) Так$\phi=3\theta$ і$P$ має координати

\[ \frac{3}{4}a\big(\cos\theta,\sin\theta\big) +\frac{1}{4}a\big(\cos\phi,-\sin\phi\big) =\frac{a}{4}\big(3\cos\theta+\cos 3\theta,3\sin\theta-\sin 3\theta\big) \nonumber \]

Як, згадуючи свій подвійний кут, або ще краще ваш потрійний кут, триг ідентичності,

\[\begin{align*} \cos3\theta&=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\ &=\cos\theta[\cos^2\theta-\sin^2\theta]-2\sin^2\theta\cos\theta\\ &=\cos\theta[\cos^2\theta-3\sin^2\theta]\\ \sin3\theta&=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\ &=\sin\theta[\cos^2\theta-\sin^2\theta]+2\sin\theta\cos^2\theta\\ &=\sin\theta[3\cos^2\theta-\sin^2\theta] \end{align*}\]

у нас є

\[\begin{alignat*}{2} 3\cos\theta+\cos 3\theta &=\cos\theta[3+\cos^2\theta-3\sin^2\theta] & &=\cos\theta[3+\cos^2\theta-3(1-\cos^2\theta)] \\ &=4\cos^3\theta\\ 3\sin\theta-\sin 3\theta &=\sin\theta[3-3\cos^2\theta+\sin^2\theta] & &=\sin\theta[3-3(1-\sin^2\theta)+\sin^2\theta] \\ &=4\sin^3\theta \end{alignat*}\]

і координати$P$ спростити

\[ x(\theta)= a\cos^3\theta\qquad y(\theta)=a\sin^3\theta \nonumber \]

Оф! Як шлях$\ x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\cos^2\theta+a^{2/3}\sin^2\theta \ ,$, який простежується,$P$ підпорядковується рівнянню

\[ x^{2/3}+y^{2/3} =a^{2/3} \nonumber \]

що напрочуд просто, враховуючи те, що ми пройшли, щоб дістатися сюди.

Залишається небезпека того, що можуть існувати точки$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$, які$(x,y)$ підкоряються рівнянню,$\theta\text{.}$ які не мають форми$x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta$ для будь-якого Тобто існує небезпека, що параметризована крива$x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta$ охоплює лише частину$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}$ Ми тепер покажемо, що параметризована крива$x= a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta$ насправді охоплює все,$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ як$\theta$ працює від$0$ до$2\pi\text{.}$

По-перше, зауважте, що$x^{2/3}=\big(\root 3\of x\big)^2\ge 0$ і$y^{2/3}=\big(\root 3\of y\big)^2\ge 0\text{.}$ Отже, якщо$(x,y)$ підкоряється,$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}$ то обов'язково$0\le x^{2/3}\le a^{2/3} $ і так$-a\le x\le a\text{.}$ Як$\theta$ проходить від$0$ до$2\pi\text{,}$$a\cos^3\theta$ приймає всі значення між$-a$$a$ і, отже, приймає всі можливі значення$x\text{.}$ For кожен$x\in[-a,a]\text{,}$$y$ приймає два значення, а саме$\pm{[a^{2/3}-x^{2/3}]}^{3/2}\text{.}$ якщо$x=a\cos^3\theta_0=a\cos^3(2\pi-\theta_0)\text{,}$ два відповідних значення$y$ є точно$a\sin^3\theta_0$ і$-a\sin^3\theta_0=a\sin^3(2\pi-\theta_0)\text{.}$

Назва «астроїд» походить від грецького слова «астра», що означає зірка, з суфіксом «oid» означає «мають форму». Крива вперше обговорювалася Йоганном Бернуллі в 1691—92 роках.