1.9: Необов'язково - Центральні сили

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60855

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Одним з великих тріумфів ньютонівської механіки стало пояснення законів Кеплера ¹, в якому йшлося

Планети простежують еліпси про сонце як фокус.
Вектор радіуса$\vecs{r} $ змітає рівні ділянки в рівні рази.
Квадрат періоду кожної планети пропорційний кубу великої осі орбіти планети.

Ньютон показав, що всі ці поведінки випливають з припущення, що$\textbf{a}(t)$ прискорення кожної планети підпорядковується закону руху,$m\textbf{a} =\vecs{F} $ де$m$ маса планети і

\[ \vecs{F} = -\frac{GMm}{r^3}\vecs{r} \nonumber \]

це «гравітаційна сила», застосована на планеті Сонцем. $G$Ось константа ², звана «гравітаційна константа» або «універсальна гравітаційна константа»,$M$ являє собою масу сонця,$\vecs{r} $ є вектором від сонця до планети і$r=|\vecs{r} |\text{.}$

У цьому розділі ми покажемо, що деякі з цих властивостей випливають із слабшого припущення, що$\textbf{a}(t)$ прискорення кожної планети підпорядковується закону руху,$\vecs{F} $ будучи$m\textbf{a} =\vecs{F} $ центральною силою. Тобто припущення, яке паралельно$\vecs{F} $ Перевірка того, що інші властивості випливають із конкретної форми сили тяжіння, пропорційної,$r^{-2}\text{,}$ буде відкладено до необов'язкового §1.10.$\vecs{r} \text{.}$

Отже, в цьому розділі, ми припускаємо, що у нас є параметризована крива$\vecs{r} (t)$ і що ця крива підпорядковується

\[ m\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t) = \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big) \nonumber \]

де, для всіх$\vecs{r} \in\mathbb{R}^3\text{,}$$\vecs{F} (\vecs{r} )$ паралельно$\vecs{r} \text{.}$ Ми покажемо, що

$\vecs{r} (t)$Шляхи лежить в площині через походження і що
вектор радіусу$\vecs{r} $ змітає рівні ділянки в рівні рази.

Ми почнемо з спроби вгадати, що таке літак. Зробіть вигляд, що ми знаємо, що$\vecs{r} (t)$ лежить у фіксованій площині через початок. Потім$\vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)$ лежить в тій же площині і$\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)$ перпендикулярно площині. Якщо наш шлях дійсно лежить у фіксованій площині,$\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)$ не може змінити напрямок — він завжди повинен бути паралельним вектору нормалі до площини. Отже, давайте визначимося

\[ \boldsymbol{\Omega}(t) = \vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t) \nonumber \]

і перевірити, як це залежить від часу. За правилом продукту,

\[\begin{align*} \dfrac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}(t) &=\dfrac{d\ }{dt}\big(\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\big) =\vecs{v} (t)\times\vecs{v} (t) + \vecs{r} (t)\times\textbf{a}(t)\\ &=\frac{1}{m}\vecs{r} (t)\times\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\\ &=\vecs{0} \tag{A} \end{align*}\]

тому що$\vecs{r} (t)$ і$\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)$ паралельні. Так$\boldsymbol{\Omega}(t)$ що ³ насправді незалежні від$t\text{.}$ Це постійний вектор, який ми просто позначимо$\boldsymbol{\Omega}\text{.}$

Як$\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)=\boldsymbol{\Omega}\text{,}$ ми маємо, що$\vecs{r} (t)$ завжди перпендикулярно$\boldsymbol{\Omega}$ і

\[ \vecs{r} (t)\cdot\boldsymbol{\Omega} =0 \nonumber \]

Якщо$\boldsymbol{\Omega}\ne \vecs{0}\text{,}$ це саме те твердження, яке$\vecs{r} (t)$ завжди лежить в площині через початок з нормальним вектором$\boldsymbol{\Omega}\text{.}$
Якщо$\boldsymbol{\Omega}=\vecs{0}\text{,}$ тоді$\vecs{r} (t)$ завжди паралельно$\vecs{v} (t)$ і є якась функція$\alpha(t)$ така, що
\[ \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \vecs{v} (t) = \alpha(t)\,\vecs{r} (t) \nonumber \]
Це лінійне звичайне диференціальне рівняння першого порядку, яке ми можемо вирішити за допомогою інтегруючого коефіцієнта. Набір
\[ \beta(t) = \int_0^t\alpha(t)\ \text{d}t \nonumber \]
Тоді
\[\begin{align*} \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \alpha(t)\,\vecs{r} (t) &\iff e^{-\beta(t)} \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) -\alpha(t)e^{-\beta(t)}\,\vecs{r} (t)=0\\ &\iff \dfrac{d\ }{dt}\big[e^{-\beta(t)}\vecs{r} (t)\big] = 0\\ &\iff e^{-\beta(t)}\vecs{r} (t) = \vecs{r} (0)\\ &\iff \vecs{r} (t) = e^{\beta(t)}\vecs{r} (0) \end{align*}\]
так що$\vecs{r} (t)$ лежить на лінії через походження. Це має сенс — частинка завжди рухається паралельно своєму радіусному вектору.

На цьому перевірка, яка$\vecs{r} (t)$ лежить в площині через початок.

Тепер покажемо, що вектор радіуса$\vecs{r} (t)$ змітає рівні площі в рівні рази. Іншими словами, тепер ми перевіряємо, що швидкість, з якою$\vecs{r} (t)$ змітає область, не залежить від часу. Для цього ми переписуємо твердження, яке$|\vecs{r} (t)\times\vecs{v} (t)\big|$ є постійним у полярних координатах. Написання,$\vecs{r} (t) = r(t)\hat{\textbf{r}}\big(\theta(t)\big)$ а потім застосування Lemma 1.8.2.b дає це

\[\begin{align*} \text{constant} = \big|\vecs{r} \times\vecs{v} \big| &= \Big|r\hat{\textbf{r}} \times\Big(\dfrac{dr}{dt}\ \hat{\textbf{r}} + r\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\Big)\Big| =r^2\dfrac{d\theta}{dt}\\ &\text{since}\quad |\hat{\textbf{r}} \times\hat{\textbf{r}} |=0,\ |\hat{\textbf{r}}\times\hat{\boldsymbol{\theta}}|=1 \end{align*}\]

є постійним. Зараз досить спостерігати, що$r(t)^2\dfrac{d\theta}{dt}(t)$ рівно в два рази перевищує швидкість, з якою$\vecs{r} (t)$ змітає область. Щоб переконатися в цьому, досить поглянути на малюнок нижче. Затінена область, по суті, клин круглого диска радіусом$r\text{.}$ (Якщо$r(t)$ б не залежати від$t\text{,}$ нього був би точно клин круглого диска.) Його площа - це$\frac{\text{d}\theta}{2\pi}$ частка площі повного диска, яка

\[ \frac{\text{d}\theta}{2\pi}\ \pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\,\text{d}\theta \nonumber \]

$equalArea.svg$

Вправи

Етап 3

1 ✳

$\vecs{r} (t) = x(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + y (t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + z(t)\,\hat{\mathbf{k}}$Дозволяти положення частинки в той час$t$. Припустимо, рух частинки задовольняє диференціальному$\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}} = f (r) \vecs{r} $ рівнянню де$r = |\vecs{r} |$.

Припустимо,$f(r)$ це довільна функція$r$. Доведіть або спростуйте кожне з наступних тверджень.
1. Рух частинки площинний.
2. Шляхи частки змітають рівні ділянки в рівні рази.
Знайдіть всі форми,$f(r)$ для яких рух частинки завжди лежить на прямій лінії.
Дайте певну форму,$f(r)$ для якої рух частинки могло б лежати на еліпсі.

2 ✳

Об'єкт рухається по кривій в$xy$ -площині, що має полярне рівняння$r=\frac{1}{\theta+\alpha }$ (де$\alpha $ константа) під впливом центральної сили, так що об'єкт не має поперечного прискорення.

Переконайтеся, що$r^2\dot\theta=h$ залишається постійним при переміщенні об'єкта.
Висловлюємо величину прискорення об'єкта як функцію$r$ і$h\text{.}$

Німецький астроном Йоганнес Кеплер (1571—1630) розробив ці закони під час спроби пов'язати п'ять позаземних планет, відомих тоді до п'яти платонічних твердих тіл. Він базував закони на великій кількості ретельних вимірювань, проведених датським астрономом Тихо Браге (1546—1601). Тоді Ісаак Ньютон (англ., 1642—1727) надав пояснення в 1687 році. Кеплер також написав статтю під назвою «Про шестикутної сніжинці». Тихо Браге втратив ніс у поєдинку на мечах і з того часу носив протез носа. Історія полягає в тому, що Браге помер від лопнув сечового міхура, який став результатом його відмови залишати обідній стіл перед господарем.
Його цінність становить близько$6.67408\times10^{-11} \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{sec}^{-2}\text{.}$
$m\,\boldsymbol{\Omega}(t)$Фізики називають кутовий момент часу$t$ і називають (А) як (приклад) збереження кутового моменту. Збереження моменту імпульсу експлуатується в гірокомпасах та ковзанах (щоб обертатися швидше/повільніше).