8.7: Рішення для глави 7
- Page ID
- 66363
На комутативній діаграмі нижче, припустимо, квадрат (B, C, B ′, C ′) є відкат:
Ми повинні показати, що (A, B, A ′, B ′) квадрат є відкат, якщо (A, C, A ′, C ′) прямокутник є відкат.
Припустимо спочатку, що (A, B, A ′, B ′) є відкат, і візьміть будь-який (X, p, q), як на наступній діаграмі:
де q; f; g '= р; ч\(_{3}\). Тоді за універсальною властивістю відкату (B, C, B ', C') ми отримуємо унікальну пунктирну стрілку r роблячи ліву діаграму нижче комутувати:
Іншими словами r; h\(_{2}\) = г; f ′ і r; г = р. Тоді універсальною властивістю відкату (A, B, A ′, B ′) ми отримуємо унікальну пунктирну стрілку r ': X → A, що робить праву діаграму комутувати, тобто r'; f = r і r '; h\(_{1}\) = q. Це дає існування r з необхідним властивістю, r '; f = r і r'; f = r; g = p. Щоб побачити унікальність, припустимо, дано інші морфізми r\(_{0}\) такі, що r\(_{0}\); f; g = p і r\(_{0}\); h\(_{1}\) = q:
Тоді за унікальністю r ми повинні мати r\(_{0}\); f = r, а потім за унікальністю r ′ ми повинні мати r\(_{0}\) = r ′. Це доводить перший результат.
Другий аналогічний. Припустимо, що (A, C, A ′, C ′) і (B, C, B ′, C ′) є відкатами і припустимо, що дана комутативна діаграма наступної форми:
тобто де r; h\(_{2}\) = q; f ′. Тоді відпустивши р: = r; г, ми маємо
р; ч\(_{3}\) = р; г; ч\(_{3}\) = р; ч\(_{2}\); г '= q; f'; г '
так за універсальною властивістю (A, C, A ′, C ′) відкат, існує унікальний морфізм r ′: X → A такий, що r '; f; g = p і r\(_{0}\); h\(_{1}\) = q, як показано:
Але тепер нехай r\(_{0}\) := r '; f. Він задовольняє r\(_{0}\); g = p і r\(_{0}\); h\(_{2}\) = q; f ', а r задовольняє тим же рівнянням: r; g = p і r; ч\(_{2}\) = q; ф ′. Отже, універсальна властивість (B, C, B ′, C ′) відкат r\(_{0}\) = r ′. Звідси випливає, що r ′ - це відкат (A, B, A ′, B ′) квадрата, за бажанням.
Функція f: A → B є ін'єкційною iff для всіх a\(_{1}\), a\(_{2}\)\(\in\) A, якщо f (a\(_{1}\)) = f (a\(_{2}\)) то a\(_{1}\) = а\(_{2}\).
Це мономорфізм iff для всіх множин X і функцій g\(_{1}\), g\(_{2}\): X → A, якщо g\(_{1}\); f = g\(_{2}\); f то g\(_{1}\) = г\(_{2}\). Дійсно, це відбувається безпосередньо з універсальної властивості відкату від визначення 7.5,
тому що пунктирна стрілка змушена дорівнювати і g,\(_{1}\) і g\(_{2}\), таким чином змушуючи g\(_{1}\) = g\(_{2}\).
1. Припустимо, f - це мономорфізм, нехай a\(_{1}\),\(_{2}\)\(\in\) A бути елементами, і припустимо f (a\(_{1}\)) = f (a\(_{2}\)).
Нехай X = {∗} буде одним набором елементів, а g\(_{1}\), g\(_{2}\): X → A задаються g\(_{1}\) (∗) := a\(_{1}\) та g\(_{2}\) (∗) := a\(_{2}\). Потім g\(_{1}\); f = г\(_{2}\); f, так g\(_{1}\) = g\(_{2}\), тому a\(_{1}\) = a\(_{2}\).
2. Припустимо, що f - ін'єкція, нехай X - множина y, і нехай g\(_{1}\), g\(_{2}\): X → A бути такими, що g\(_{1}\); f = g\(_{2}\); f . У нас буде g\(_{1}\) = g,\(_{2}\) якщо ми можемо показати, що g\(_{1}\) (x) = g\(_{2}\) (x) для кожного x\(\in\) X. Отже, візьміть будь-який \(\in\)х Х; так як f\(_{1}\) (g (x)) = f (g\(_{2}\) (x)) і f є ін'єкційним, у нас є г\(_{1}\) (х) = г \(_{2}\)(x) за бажанням.
1. Припустимо, у нас є відкат, як показано, де i - ізоморфізм:
Нехай j: = i\(^{-1}\) буде оберненою i, і вважають g := (f; j): A → B ′. Потім g; i = f, отже, за наявністю частини універсальної властивості, існує карта j: A → A 'така, що j'; i '= id\(_{A}\) і j'; f '= f; j. Ми будемо робити, якщо ми зможемо показати i '; j' = id\(_{A'}\). Один перевіряє, що (i '; j'); i '= i' і що (i '; j'); f '= i'; f ; j = f '; i; j = f'.
Але id\(_{A'}\) також задовольняє цим властивостям: id\(_{A'}\); i '= i' і id\(_{A'}\); f '= f', тому за унікальністю частини універсальної властивості, (i '; j') = id\(_{A'}\).
2. Нам потрібно показати, що наступна діаграма - це відкат:
Тому візьміть будь-який об'єкт X і морфізми g: X → A і h: X → B такі, що g; f = h; id\(_{B}\).
Нам потрібно показати, що існує унікальний морфізм r: X → A такий, що r; id\(_{A}\) = g і r; f = h. Це просто: перша вимога змушує r = g, а друга вимога потім виконується.
Розглянемо наведену зліва схему, в якій всі три квадрата є відкатами:
Передній і нижній квадрати однакові - передбачуваний відкат - і правий квадрат - це відкат, оскільки f передбачається монічним. Ми можемо завершити його до комутативної діаграми, показаної праворуч, де задній квадрат і верхній квадрат - це відкати за допомогою вправи 7.7. Наша мета - показати, що лівий квадрат - це відкат.
Для цього використовуємо дві аплікації обклеювання леми, вправа 7.4. Оскільки права грань - це відкат, а задня грань - відкат, діагональний прямокутник (злегка намальований) - це також відкат. Оскільки передня грань - це відкат, ліве обличчя - це також відкат.
Нижче наведено епімоно факторизацію f:
1. Якщо V - кванталь з заявленими властивостями, то
• I служить верхнім елементом: v ≤ I для всіх v\(\in\) V.
• v w служить операцією зустрічі, тобто задовольняє тій же універсальній властивості, що і\(\land\), а саме v w - найбільша нижня межа для v і w.
Тепер операція задовольняє ту саму універсальну властивість, що і підведення до степеня (хом-об'єкт), а саме v ≤ (w -o x) iff v W ≤ x. Отже, V - декартова замкнута категорія, і, звичайно, це попередній порядок.
2. Не кожен декартовий закритий попередній порядок походить від кванталі із заявленими властивостями, оскільки кванти мають всі приєднання, а декартові закриті попередні замовлення не потрібні. Пошук зустрічного прикладу декартового закритого попереднього замовлення, в якому відсутні деякі з'єднання - вимагає певної винахідливості, але це можна зробити. Ось один, який ми придумали:
Це попередній порядок товару\(\mathbb{N}\)\(^{op}\) ×\(\mathbb{N}\)\(^{op}\): його об'єкти є парами (a, b)\(\in\)\(\mathbb{N}\) ×\(\mathbb{N}\) з (a, b) ≤ (a ′, b ′) iff, у звичайному порядку на\(\mathbb{N}\) нас є a ′ ≤ a і b ′ ≤ b. Але можна просто подивитися на схему.
Він має верхній елемент, (0, 0), і він має двійкові відповідає, (a, b)\(\land\) (a ′, b ′) = (max (a, a ′), max (b, b ′)). Але він не має нижнього елемента, тому він не має порожнього з'єднання. Таким чином, ми будемо робити, якщо ми зможемо показати, що для кожного x, y, hom-об'єкт x -o y існує. Формула для нього - x -o y =\(\bigvee\) {w | w\(\land\) x ≤ y}, тобто нам потрібні ці конкретні об'єднання, щоб існувати. Починаючи з y\(\land\) x ≤ y, ми маємо y ≤ x -o y. Таким чином, ми можемо замінити формулу на x -o y =\(\bigvee\) {w | y ≤ w і w\(\land\) x ≤ y}. Але набір елементів в\(\mathbb{N}\)\(^{op}\) ×\(\mathbb{N}\)\(^{op}\), які більше, ніж у є кінцевим і непорожнім. \(^{2}\)Таким чином, це скінченне непорожнє об'єднання, і\(\mathbb{N}\)\(^{op}\) ×\(\mathbb{N}\)\(^{op}\) має всі кінцеві непорожні об'єднання: вони задаються Inf.
Дозволяти m:\(\mathbb{Z}\) →\(\mathbb{B}\) бути характерною функцією включення\(\mathbb{N}\)\(\subseteq\)\(\mathbb{Z}\).
1. \(\lceil{m(−5)}\rceil\)= хибний. 2. \(\lceil{m(0)}\rceil\)= істинно.
1. Характеристична функція\(\lceil{id_{\mathbb{N}}\rceil\):\(\mathbb{N}\) →\(\mathbb{B}\) посилає кожне n\(\in\)\(\mathbb{N}\) до true.
2. Нехай! \(_{\mathbb{N}}\): Ø →\(\mathbb{N}\) бути включенням порожнього набору. Характеристична функція\(\lceil{!_{\mathbb{N}}\rceil\):\(\mathbb{N}\) →\(\mathbb{B}\) посилає кожне n\(\in\)\(\mathbb{N}\) до false.
1. Сорт речі (*? *) ми шукаємо це підоб'єкт B, скажімо, A\(\subseteq\) B. Це матиме характерну функцію, і ми намагаємося знайти A, для якого характерною функцією є ¬:\(\mathbb{B}\) →\(\mathbb{B}\).
2. Питання тепер задається «що таке А?» Відповіддю є {false}\(\subseteq\) B.
1. Ось таблиця істинності для P = (P\(\land\) Q):
- Так!
- Характерною функцією для P ⇒ Q є функція\(\lceil{⇒}\rceil\):\(\mathbb{B}\) ×\(\mathbb{B}\) →,\(\mathbb{B}\) задана першим, другим і четвертим стовпцями Eq. (A.3).
- Він класифікує підмножину {(true, true), (false, true), (false, false)\(\subseteq\)\(\mathbb{B}\) ×\(\mathbb{B}\).
Скажімо\(\lceil{E}\rceil\)\(\lceil{P}\rceil\), що,\(\lceil{T}\rceil\):\(\mathbb{N}\) →\(\mathbb{B}\) класифікувати відповідно підмножини E: = {n\(\in\)\(\mathbb{N}\) | n парне}, P: = {n\(\in\)\(\mathbb{N}\) | n є простим}, і Т: = {n\(\in\)\(\mathbb{N}\) | n ≥ 10} з\(\mathbb{N}\).
1. \(\lceil{E}\rceil\)(17) = брехня, тому що 17 не є парним.
2. \(\lceil{P}\rceil\)(17) = істина, тому що 17 є простим.
3. \(\lceil{T}\rceil\)(17) = правда, тому що 17 ≥ 10.
4. Множина класифікована за (\(\lceil{E}\rceil\)\(\land\)\(\lceil{P}\rceil\))\(\lor\)\(\lceil{T}\rceil\) - це те, що всіх натуральних чисел, які або вище 10, або парні прості. Найменші три елементи цього набору - 2, 10, 11.
1. Одновимірним аналогом\(\mathcal{E}\) -кулі навколо точки x\(\in\)\(\mathbb{R}\) є B (x,\(\mathcal{E}\)) := {x ′\(\in\) R || x − x ′ | <\(\mathcal{E}\)}, тобто множина всіх\(\mathcal{E}\) точок у межах x .
2. Підмножина U\(\subseteq\)\(\mathbb{R}\) відкрита, якщо для кожного x\(\in\) U є\(\mathcal{E}\) деякий> 0 такий, що B (x,\(\mathcal{E}\))\(\subseteq\) U.
3. Нехай U\(_{1}\) := {x\(\in\)\(\mathbb{R}\) | 0 < x < 2} і U\(_{2}\) := {x\(\in\)\(\mathbb{R}\) | 1 < x < 3}. Потім U: = U\(_{1}\)\(\cup\) U\(_{2}\) = {x\(\in\)\(\mathbb{R}\) | 0 < х < 3}.
4. Нехай я = {1, 2, 3, 4,...} і для кожного \(\in\)я дозволив U: = {x\(\in\)\(\mathbb{R}\) |\(\frac{1}{i}\) < x < 1}, тому у нас є U\(_{1}\) (\ subseteq\) U\(_{2}\) (\ підмножина\) U\(_{3}\) (\ підмножина\) · · ·.
Їх об'єднання - U: =\(\bigcup\)\(_{i \in I}\) U\(_{i}\) = {x\(\in\)\(\mathbb{R}\) | 0 < x < 1}.
1. Груба топологія на X - це та, чиї єдиними відкритими множинами є X (\ subseteq\) X і Ø (\ subseteq\) X. Це топологія, оскільки вона містить верхню та нижню підмножини, вона замкнута під скінченним перетином (перетин A B дорівнює Ø, якщо той чи інший є Ø), і він закривається при довільному об'єднанні (об'єднання\(\bigcup_{i \in I} A_{i}\) X, якщо A \(_{i}\)= X для деяких \(\in\)я).
2. Тонка топологія на X - це та, де кожна підмножина A (\ subseteq\) X вважається відкритою. Всі умови на топології говорять «якщо такий-і-таке, то такі-таке відкрито», але це все влаштовує, тому що все відкрито!
3. Якщо (X, P (X)) є дискретним, (Y, Op\(_{Y}\)) є будь-яким топологічним простором, а f: X → Y є будь-якою функцією, то вона є неперервною. Дійсно, це просто означає, що для будь-якого відкритого набору U (\ subseteq\) Y відкрито попередній образ f\(^{ −1}\) (U) (\ subseteq\) X, і все в X відкрито.
1. Діаграма Хассе для топології Серпінського дорівнює Ø → {1} → {1, 2}.
2. Набір\(\left(U_{i}\right)_{i \in I}\) охоплює U, якщо
• I = Ø і U = Ø; або
• U\(_{i}\) = U для деяких i\(\in\) I.
Іншими словами, єдиний спосіб, яким якась колекція цих наборів може охоплювати інший набір U, це якщо ця колекція містить U або якщо U порожня, а колекція також порожня.
Нехай (X, Op) топологічним простором, припустимо, що Y (\ subseteq\) X є підмножиною, і розглянемо топологію підпростору Оп\(_{?∩Y}\).
1. Ми хочемо показати, що Y\(\in\) Op\(_{?∩Y}\). Нам потрібно знайти B\(\in\) Op таким чином, що Y = B Y; це легко, ви можете взяти B = Y або B = X, або що-небудь між ними.
2. Нам ще потрібно показати, що Op\(_{?∩Y}\) містить Ø і замкнута під скінченним перетином і довільним об'єднанням. Ø = Ø Y, тому за формулою Ø\(\in\) Оп\(_{?∩Y}\). Припустимо, що A\(_{1}\), A\(_{2}\)\(\in\) Op\(_{?∩Y}\). Тоді існують B\(_{1}\), B\(_{2}\)\(\in\) Op з A\(_{1}\) = \(_{1}\)B Y і A\(_{2}\) = \(_{2}\)B Y. Але тоді \(_{1}\)A A\(_{2}\) = (B\(_{1}\) Y) (B Y\(_{2}\)) = (B B\(_{1}\)\(_{2}\)) Y, так що це в Оп\(_{?∩Y}\) починаючи з B\(_{1}\) B\(_{2}\)\(\in\) Op.
Та ж ідея працює і для довільних спілок: з урахуванням множини I і A\(_{i}\) для кожного \(\in\)i I, у нас є A\(_{i}\) \(_{i}\)= B Y для деяких B\(_{i}\) \(\in\)Оп, і
\(\bigcup_{i \in I} A_{i}=\bigcup_{i \in I}\left(B_{i} \cap Y\right)=\left(\bigcup_{i \in i} B_{i}\right) \cap Y \in \mathbf{O p}_{? \cap Y}\)
Уявімо V-категорію C, де V - кванта, що відповідає відкритим множинам топологічного простору (X, Op). Його діаграма Хассе буде набором крапок і деяких стрілок між ними, кожна з яких позначена відкритим набором U (\ subseteq\) Op. Це може виглядати приблизно так:
Нагадаємо з розділу 2.3, що «відстань» між двома точками обчислюється шляхом об'єднання по всіх шляхах між ними моноїдального добутку відстаней уздовж цього шляху. Наприклад, C (B, C) = (U U) (\(_{3}\)\(\land\)U \(_{4}\)\(\land\)U\(_{1}\)\(_{2}\))\(\lor\), тому що\(\land\) є моноїдальним добутком в V.
Загалом, ми можемо таким чином уявити відкритий набір C (a, b) як своєрідне «обмеження розміру» для отримання від a до b, як мости, які ваша вантажівка повинна проїхати під. Обмеження розміру для отримання від a до себе дорівнює X: немає обмеження. Загалом, щоб пройти по будь-якому заданому маршруту (шляху) від a до b, вам доведеться підходити під кожен міст на шляху, тому беремо їх зустріч. Але ми можемо йти будь-яким шляхом, тому ми беремо об'єднання по всіх стежках.
1. Волокно f над a дорівнює {a\(_{1}\), a\(_{2}\)}.
2. Волокно f над c дорівнює {c\(_{1}\)}.
3. Волокно f над d дорівнює Ø.
4. Нижче показано функцію f ′: X → Y, для якої кожне волокно має один або два елементи.
Зверніться до Eq. (A.4).
1. Ось креслення всіх шести розділів над V\(_{1}\) = {a, b, c}:
2. При V\(_{2}\) = {a, b, c, d} секцій немає: Sec\(_{f}\) (V\(_{2}\)) = Ø.
3. Коли V\(_{3}\) = {a, b, d, e}, множина Sec\(_{f}\) (V\(_{3)\))) має 2 ∗ 3 ∗ 1 ∗ 2 = 12 елементів.
Sec\(_{f}\) ({a, b, c}) і Sec\(_{f}\) ({a, c}) малюються як верхній ряд (набір з шести елементів) і нижній ряд (набір з двох елементів) нижче, а також показано карту обмежень:
1. Нехай g\(_{1}\) := (a\(_{1}\), b\(_{1}\)) і g\(_{2}\) := (b\(_{2}\), e\(_{1}\)); вони не узгоджуються з перекриттям.
2. Ні, немає розділу g\(\in\) Sec\(_{f}\) (U\(_{1}\)\(\cup\) U\(_{2}\)), для якого g |\(_{U_{2}\) = g\(_{1}\) і g |\(_{U_{2}\) = g\(_{2}\)
Ні, немає відповідності один до одного між снопами на M і векторними полями на M. Співвідношення між снопами на M і векторними полями на M полягає в тому, що множина всіх векторних полів на M відповідає одному сніпу, а саме Sec\(_{\pi}\), де\(\pi\): TM → M - дотична зв'язка, як описано в прикладі 7.46. На M так багато снопів, що вони навіть не утворюють набір (це просто «колекція»); знову ж таки, одним з членів цієї гігантської колекції є сноп Sec всіх можливих\(_{\pi}\) векторних полів на M.
1. Діаграма Хассе для топології Серпінського дорівнює Ø → {1} → {1, 2}.
2. Прешеф F на Оп складається з будь-яких трьох множин і будь-яких двох функцій F ({1, 2}) → F ({1}) → F (Ø) між ними.
3. Нагадаємо з вправи 7.31, що єдине нетривіальне покриття (покриття U нетривіальне, якщо воно не містить U) виникає, коли U = Ø в цьому випадку порожня сім'я над U - це кришка.
4. Як пояснено в прикладі 7.36, F буде снопом, якщо F (Ø)\(\cong\) {1}. Таким чином, у нас категорія снопів еквівалентна категорії лише двох множин і однієї функції F ({1, 2}) → F ({1}).
Одноточковий простір X = {1} має два відкритих множини, Ø і {1}, і кожен сніп S\(\in\) Shv (X) призначає S (Ø) = {()} умовою снопа (див. Приклад 7.36). Таким чином, єдиними даними в сніпі S\(\in\) Shv (X) є множина S ({1}). Ось так ми отримуємо відповідність між множинами і снопами на одному точковому просторі. Відповідно до Eq. (7.50), підоб'єктний класифікатор Ω: Op (X)\(^{op}\) → Set в Shv (X) повинен бути функтором, де Ω ({1}) - множина відкритих множин {1}. Таким чином, ми сподіваємося побачити, що існує один до одного correspon- dence між множиною Op ({1}) і набір\(\mathbb{B}\) = {true, false} булевих. Дійсно, є: є два відкритих множини {1}, як ми вже говорили, Ø і {1}, і вони відповідають false і true відповідно.
За еквалами (7.50) та (7.51) визначенням Ω (U) є Ω (U) := {U ′\(\in\) Op | U ′\(\subseteq\) U}, а визначення карти обмежень для V (\ subseteq\) U - U ′ → U ′ V.
1. Це функціонально: враховуючи W\(\subseteq\) V\(\subseteq\) U і U ′\(\subseteq\) U, ми дійсно маємо (U ′ V) W U ′ W, так як W\(\subseteq\) В. Для функціональності нам також потрібно збереження ідентичностей, і це становить U ′ U = U ′ для всіх U ′\(\subseteq\) U.
2. Так, presheaf - це просто функтор; вищевказаної перевірки достатньо.
Нам потрібен граф гомоморфізму наступного виду:
Є тільки один, який класифікує G ′, і ось він. Запишемо γ: =\(\lceil{G′}\rceil\).
- Оскільки D відсутній у G ′, ми маємо γ (D) = 0 (вершина: відсутня).
- Оскільки вершини A, B, C присутні в G ′, ми маємо γ (A) = γ (B) = γ (C) = V (вершина: присутній).
- Вищевказані сили γ (i) = (V, 0; 0) (стрілка від теперішньої вершини до відсутньої вершини: відсутня).
- Оскільки стрілка f знаходиться в G ′, ми маємо γ (f) = (V, V; A) (стрілка від теперішньої вершини до теперішньої вершини: присутній).
- Оскільки стрілки g і h відсутні в G ′, ми маємо γ (g) = γ (h) = (V, V; 0) (стрілка від теперішньої вершини до теперішньої вершини: відсутня).
З U =\(\mathbb{R}\) − {0}\(\subseteq\)\(\mathbb{R}\) ми маємо:
1. Доповненням U є\(\mathbb{R}\) − U {0} і ¬ U - його внутрішня частина, яка є ¬ U.
2. Доповнення ¬ U є\(\mathbb{R}\) −\(\mathbb{R}\), і це відкрито, тому ¬¬ U =\(\mathbb{R}\).
3. Це правда, що U\(\subseteq\) ¬¬ U.
4. Помилково, що ¬¬ U\(\subseteq\)\(^{?}\) U.
1. Якщо для будь-якого V\(\in\) Оп у нас є\(\land\) V = V, то коли V = X ми маємо\(\land\) X: = X = X, але все, що перетинається з X, є самим собою, тому = Х = Х.
2. (\(\lor\)V) := (X\(\cup\) V) = X тримає і (V ⇒ Х)\(\bigcup_{\{R \in \mathbf{O p} \mid R \cap V \subseteq X\}} R=X\) утримує, тому що (X V)\(\subseteq\) X.
3. Якщо для будь-якого набору V\(\in\) Оп у нас є (\(\lor\)V) = V, то коли V = ∅ ми маємо (\(\lor\)Ø) = (Ø) = Ø, але що-небудь об'єднане з Ø само собою, тому = Ø = Ø.
4. (\(\land\)V) = (Ø V) = Ø утримує, і (⇒ V) =\(\bigcup_{\{R \in \mathbf{O p} \mid R \cap Ø \subseteq X\}} R=X\) тримає, тому що (X Ø)\(\subseteq\) V.
S - сніп людей, набір яких змінюється з плином часу: секція в S за будь-який проміжок часу - це людина, яка жива протягом усього цього інтервалу. Розділ у підоб'єкті {S | p} за будь-який проміжок часу - це людина, яка жива і любить погоду протягом цього проміжку часу.
Нам потрібен приклад пробілу X, снопа S\(\in\) Shv (X) та двох предикатів p, q: S → Ω, для яких\(p(s) \vdash_{s: S} q(s)\) тримає. Візьміть X як пробіл в одну точку, візьміть S як сніп, відповідний множині S =\(\mathbb{N}\), нехай p (s) буде предикатом «24 ≤ s ≤ 28,» і нехай q (s) буде предикатом «s is не прайм». Потім\(p(s) \vdash_{s: S} q(s)\) тримає.
Як неформальний приклад, візьміть X, щоб бути поверхнею землі, візьміть S як сніп векторних полів, як у прикладі 7.46 думав з точки зору вітру. Нехай p буде присудок «вітер дме через схід десь від 2 до 5 кілометрів на годину» і нехай q буде присудком «вітер дме десь від 1 до 5 кілометрів на годину». Потім\(p(s) \vdash_{s: S} q(s)\) тримає. Це означає, що для будь-якого відкритого набору U, якщо вітер дме на схід десь від 2 до 5 кілометрів на годину по всій U, то вітер дме десь від 1 до 5 кілометрів на годину по всьому U, а також.
У нас є присудок p:\(\mathbb{N}\) ×\(\mathbb{Z}\) →,\(\mathbb{B}\) заданий p (n, z) iff n ≤ | z |.
1. Присудок (z: Z). p (n, z) тримає {0}\(\subseteq\)\(\mathbb{N}\).
2. Присудок (z: Z). p (n, z) тримає для\(\mathbb{N}\)\(\subseteq\)\(\mathbb{N}\).
3. Присудок (n: N). p (n, z) тримає для Ø\(\subseteq\)\(\mathbb{Z}\).
4. Присудок (n: N). p (n, z) тримає для\(\mathbb{Z}\)\(\subseteq\)\(\mathbb{Z}\).
Припустимо, s - людина жива протягом усього інтервалу U. Застосуйте вищевказане визначення до прикладу p (s, t) = «людина s турбується про новини t» зверху.
1. Формула говорить, що (t: T). p (s, t) «повертає найбільшу відкриту \(\subseteq\)множину V U, для якої p (s |\(_{V}\), t) = V для всіх t\(\in\) T (V).» Зверніть увагу, що T (V) - це набір пунктів, які знаходяться в новині протягом усього інтервалу V. Замінюючи, це стає «найбільшим інтервалом часу V\(\subseteq\) U, протягом якого людина s турбується про новини t для кожного пункту t, який знаходиться в новині по всьому телевізору». Іншими словами, для V, щоб бути непорожнім, людина s повинна була б турбуватися про кожен окремий пункт новин протягом V. Я припускаю, що там відбувається фестиваль або щасливий кошеня десь ця людина s не турбується, але, можливо, я припускаю, що людина s досить психічно «нормальна». Можуть бути люди, які іноді турбуються буквально про все в новині; ми просимо вас, будь ласка, будьте добрі до них.
2. Так, це точно такий же опис.
Припустимо, s - людина жива протягом усього інтервалу U. Застосуйте вищевказане визначення до прикладу p (s, t) = «людина s турбується про новини t» зверху.
1. Формула говорить, що (t: T). p (s, t) «повертає об'єднання \(\bigcup_{i}\)V = V\(_{i}\) всіх відкритих множин V,\(_{i}\) для яких існує деякий t\(_{i}\)\(\in\) T (V\(_{i}\)) задовольняючи р (s |\(_{V_{i}}\), t\(_{i}\)) = V\(_{i}\).» Підставляючи, це стає «об'єднанням всіх часових інтервалів V,\(_{i}\) для якого є якийсь пункт t i в новині про який s турбується протягом усього V»\(_{i}\). Іншими словами, це весь час, що s турбується про принаймні одну річ у новині. Можливо, коли s спить або концентрується на чомусь, вона нічого не турбує, і в цьому випадку інтервали сну або концентрації не були б підмножинами V. Але якщо s сказав: «У минулому році була така низка поганих новин, це як я завжди турбуюся про щось! «, - каже вона, що це як V = «цього минулого року».
2. Це здається гарною річчю для «існує новина, яка турбує s», щоб означати: сама новина дозволяється змінюватися до тих пір, поки залишається занепокоєння людини. Хтось може не погодитися і подумати, що присудок повинен означати «є одна новина, яка турбує s протягом усього інтервалу V». У такому випадку, можливо, ця людина працює в різних топосах, наприклад, там, де сайт має менше покриттів. Дійсно, саме поняття покриття змушує екзистенціальну кількісну оцінку працювати так, як це робить.
Зрозуміло, що якщо j (q)) = j (q), то j (q)) ≤ j (q) по рефлексивності. З іншого боку, припустимо гіпотезу, що p ≤ j (p) для всіх U\(\subseteq\) X і p\(\in\) Ω (U). Якщо j (j (q)) ≤ j (q), то дозволивши p: = j (q) ми маємо як j (p) ≤ p, так і p ≤ j (p). Це означає p\(\cong\) j (p), але Ω є позицією (не просто попереднім порядком), тому p = j (p), тобто j (j (q)) = j (q) за бажанням.
Нехай S буде снопом людей і j бути «припускаючи, що Боб знаходиться в Сан-Дієго...»
1. Візьміть (и), щоб бути «s любить погоду».
2. Дозвольте U інтервал 2019/01—2019/02/01. Для довільної особи s\(\in\) S (U) p (s) є підмножиною U, і це означає підмножину U, протягом якої s любить погоду.
3. Аналогічно j (p (s)) є підмножиною U, і це означає підмножина U протягом якого, припускаючи, що Боб знаходиться в Сан-Дієго, s сподобалася погода. Іншими словами, j (p (s)) вірно, коли Боб не знаходиться в Сан-Дієго, і це правда, коли s любить погоду.
4. Це правда, що p (s) ≤ j (p (s)), за «іншими словами» вище.
5. Це правда, що j (j (p (s)) = j (p (s), тому що припустимо, дається час, протягом якого «якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго, то якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго, то s любить погоду». Тоді, якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго протягом цього часу, то s любить погоду. Але це саме те, що означає j (p (s)).
6. Візьміть q (s), щоб бути «s щасливий». Припустимо, «якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго, то обидва s любить погоду і s щасливий». Тоді обидва «якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго, то s любить погоду» і «якщо Боб знаходиться в Сан-Дієго, то s щасливий» вірні теж. Зворотне однаково зрозуміло.
У нас є o\(_{[a, b]}\) := {[d, u]\(\in\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\) | a < d ≤ u < b}.
1. Оскільки 0 ≤ 2 ≤ 6 ≤ 8, ми маємо [2, 6]\(\in\) o\(_{[0, 8]}\) за наведеною вище формулою.
2. Для того, щоб мати [2, 6]\(\in\)\(^{?}\) \(_{[0, 5]}\)o o\(_{[4, 8]}\), нам потрібно було б мати або [2,6]\(\in\)\(^{?}\) o\(_{[0, 5]}\) або [2,6]\(\in\)\(^{?}\) o\(_{[4, 8]}\). Але формула не тримається ні в тому, і в іншому випадку.
Підмножина U\(\subseteq\)\(\mathbb{R}\) відкрита в топології підпростору\(\mathbb{R}\)\(\subseteq\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\) iff, якщо є відкритий набір U ′\(\subseteq\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\) з U =b U ′\(\mathbb{R}\). Ми хочемо показати, що це так, якщо U відкритий в звичайній топології. Припустимо, що U відкритий в топології підпростору. Тоді U = U ′\(\mathbb{R}\), де U ′\(\subseteq\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\) - об'єднання деяких базипенів, U ′ =\(\bigcup)_{i \in I}\) о\(_{[a_{i}, b_{i}]}\), де o\(_{[a_{i}, b_{i}]}\) = {[d, u]\(\in\) \(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\)| a\(_{i}\) < d < u < b\(_{i}\)}. Оскільки\(\mathbb{R}\) = {[x, x]\(\in\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\)}, то перетин U ′\(\mathbb{R}\) буде
\(U=\bigcup_{i \in I}\left\{x \in \mathbb{R} \mid a_{i}<x<b_{i}\right\}\)
і це всього лише об'єднання відкритих куль B (m\(_{i}\), r\(_{i}\)) де\(m_{i}:=\frac{a_{i}+b_{i}}{2}\)\(r_{i}:=\frac{b_{i}-a_{i}}{2}\) середина і радіус інтервалу (a\(_{i}\), b\(_{i}\)). Відкриті кулі B (m\(_{i}\), r\(_{i}\)) відкриті в звичайній топології на\(\mathbb{R}\) і об'єднання відкрито, тому U відкритий в звичайній топології. Припустимо, що U відкритий в звичайній топології.
Тоді U =\(\bigcup)_{j \in J}\) B (m\(_{j}\),\(\mathcal{E}\)\(_{j}\)) для деякого набору J. Нехай a\(_{j}\) := m\(_{j}\) −\(\mathcal{E}\)\(_{j}\) і b\(_{j}\) := m\(_{j}\) +\(\mathcal{E}\)\(_{j}\). Тоді
\(U=\bigcup_{j \in J}\left\{x \in \mathbb{R} \mid a_{j}<x<b_{j}\right\}=\bigcup_{j \in J}\left(o_{\left[a_{j}, b_{j}\right]} \cap \mathbb{R}\right)=\left(\bigcup_{j \in J} o_{\left[a_{j}, b_{j}\right]}\right) \cap \mathbb{R}\)
яка відкрита в топології підпростору.
Виправте будь-який топологічний простір (X, Op\(_{X}\)) та будь-яку підмножину R\(\subseteq\)\(\mathbb{I}\)\(\mathbb{R}\) інтервального домену. Визначити H\(_{X}\) (U) := {f: U R → X | f є безперервним}.
1. H\(_{X}\) - прешоп: за заданим V\(\subseteq\) U карта обмежень надсилає неперервну функцію f: U R → X до свого обмеження вздовж підмножини V R\(\subseteq\) У Р.
2. Це сніп: задано будь-яке\(_{i}\) сімейство U відкритих множин з U =\(\bigcup_{i}\) U\(_{i}\) і неперервною функцією f\(_{i}\): \(_{i}\)U R → X для кожного i, узгоджуючи перекриття, їх можна склеїти, щоб дати безперервну функціюна все U R, так як U R = (\(\bigcup_{i}\)U\(_{i}\)) R =\(\bigcup_{i}\) U\(_{i}\) (U) \(_{i}\)R).