8.6: Рішення для глави 6
- Page ID
- 66324
Нехай A = {a, b}, і розглянемо попередні замовлення, показані тут:\(\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}\)\(\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}\),\(\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}\) →\(\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}\),\(\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}\)\(\leftrightarrows\)\(\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}\).
- Самий лівий (дискретний передпорядок на A) не має початкового об'єкта, тому що a\(nleq\) b і b\(nleq\) a.
- Середній має один початковий об'єкт, а саме a.
- Самий правий (ко-дискретний попередній порядок на A) має два початкових об'єкти.
Нагадаємо, що об'єкти вільної категорії на графі - це вершини графа, а морфізми - шляхи. Таким чином, вільна категорія на графі G має початковий об'єкт, якщо існує вершина v, яка має унікальний шлях до кожного об'єкта. У 1. і 2. вершина a має цю властивість, тому вільні категорії на графах 1. і 2. мають початкові об'єкти. У графі 3. Ні a, ні b не мають шляху один до одного, і тому немає початкового об'єкта. У графі 4., вершина a має багато шляхів до себе, і, отже, її вільна категорія також не має початкового об'єкта.
1. Решта умов полягають в тому, що f (1\(_{R}\)) = 1\(_{S}\), а f (r 1 ∗\(_{R}\) r 2) = f (r 1) ∗\(_{S}\) f (r 2).
2. Початковим об'єктом у категорії Rig є риг натуральних чисел (\(\mathbb{N}\), 0, +, 1, ∗).
Той факт, що є початковим, означає, що для будь-якої іншої установки R = (R\(_{R}\), 0\(_{R}\), +\(_{R}\), 1, ∗\(_{R}\)) існує унікальний риговий гомоморфізм f:\(\mathbb{N}\) → R.
Що це за гомоморфізм? Ну, щоб бути великим гомоморфізмом, f повинен відправити 0 до 0\(_{R}\), 1 до 1\(_{R}\). Крім того, ми також повинні мати f (m + n) = f (m) +\(_{R}\) f (n), а отже
Отже, якщо є риговий гомоморфізм f:\(\mathbb{N}\) → R, він повинен бути заданий за вищевказаною формулою. Але чи правильно ця формула працює для множення?
Залишилося перевірити f (m ∗ n) = f (m) ∗\(_{R}\) f (n), і це буде випливати з розподільчої здатності. Відзначивши, що f (m ∗ n) дорівнює сумі m n копій 1\(_{R}\), ми маємо
Таким чином (\(\mathbb{N}\), 0, +, 1, ∗) є початковим об'єктом у Rig.
У визначенні 6.1, це початковий об'єкт Ø\(\in\) C, який є універсальним. У цьому випадку всі об'єкти c\(\in\) C є «порівнянними об'єктами». Таким чином, універсальна властивість початкового об'єкта полягає в тому, що до будь-якого об'єкта\(\in\) c C існує унікальна карта Ø → c, що надходить від початкового об'єкта.
Якщо c\(_{1}\) є початковим, то за універсальною властивістю, для будь-якого c існує унікальний морфізм c\(_{1}\) → c; зокрема, існує унікальний морфізм c\(_{1}\) → c\(_{2}\), назвіть його f. Аналогічно, якщо c\(_{2}\) є початковим, то існує унікальний морфізм c\(_{2}\) → c\(_{1}\), назвіть його g. Але як ми знаємо, що f і g взаємно обернені? Ну так як c\(_{1}\) є початковим є унікальний морфізм c\(_{1}\) → c\(_{1}\). Але ми можемо думати про два: id c 1 і f; г. При цьому вони повинні бути рівними. Аналогічно для c\(_{2}\), так що у нас є f; g = id\(_{c_{1}}\) і g; f = id\(_{c_{2}}\), що є визначенням f і g взаємно обернені.
Нехай (P, ≤) є попереднім порядком, а p, q\(\in\) P. Нагадаємо, що попередній порядок - це категорія з не більше одного морфізму, позначеного ≤, між будь-якими двома об'єктами. Також нагадаємо, що всі діаграми в попередньому порядку комутують, оскільки це означає, що будь-які два морфізми з однаковим доменом і кодоменом рівні.
Переклавши визначення 6.11 на цей випадок, співпродукт p + q є P є елементом P таким, що p ≤ p + q та q ≤ p + q, і такий, що для всіх елементів x\(\in\) P з картами p ≤ x і q ≤ x, у нас є p + q ≤ x. Але це говорить саме про те, що p + q є об'єднанням: це найменший елемент вище як p, так і q. Таким чином, копродукти в попередніх замовленнях точно такі ж, як приєднання.
Функція [f, g] визначається
[f, g]: A B\(\longrightarrow\) T
яблуко1\(\mapsto\) а
банан1\(\mapsto\) б
\(\mapsto\)груша1 л
вишня 1\(\mapsto\) см
апельсин1\(\mapsto\) л
яблуко 2\(\mapsto\) е
помідори\(\mapsto\) - 2 л
манго 2\(\mapsto\) о.
1. Рівняння\(_{A}\); [f, g] = f - комутативність трикутника лівої руки на комутативній діаграмі (6.12), що визначає [f, g].
2. Рівняння\(_{B}\); [f, g] = g - комутативність трикутника правої руки на комутативній діаграмі (6.12), що визначає [f, g].
3. Рівняння [f, g]; h = [f; h; h, g; h] випливає з універсальної властивості копродукту. Дійсно, схема
комутує, і універсальна властивість говорить, що існує унікальна карта [f; h, g; h]: A + B → D, для якої це відбувається.
Звідси ми повинні мати [f, g]; h = [f; h, g; h]. 4. Аналогічно, щоб показати [\(_{A}\),\(_{B}\)] = id\(_{A + B}\), зауважте, що діаграма
банально їздить на роботу. Звідси за унікальністю в (6.12)\(_{A}\), [,\(_{B}\)] = id\(_{A + B}\).
Ця вправа полягає в тому, щоб показати, що копродукти та початковий об'єкт дають симетричну моноїдальну категорію. Оскільки все, що ми маємо, є копродуктами та початковим об'єктом, і оскільки вони визначаються їх універсальними властивостями, рішення полягає в тому, щоб використовувати ці універсальні властивості знову і знову, щоб довести, що всі дані визначення 4.45 можуть бути побудовані.
1. Щоб визначити функтор +: C × C → C, ми повинні визначити його дію на об'єкти та морфізми. В обох випадках ми просто беремо копродукт. Якщо (A, B) є об'єктом C × C, його зображення A + B є, як завжди, співпродуктом двох об'єктів С.
Якщо (f, g): (A, B) → (C, D) є морфізмом, то ми можемо сформувати морфізм f + g = [f;\(_{C}\), g;\(_{D}\)]: A + B → C + D, де\(_{C}\): C → C + D і\(_{D}\): D → C + D - канонічні морфізми, задані визначенням копродукту A + B.
Зауважте, що ця конструкція посилає морфізми ідентичності до морфізмів ідентичності, оскільки за допомогою вправи 6.17 4 ми маємо
ідентифікатор\(_{A}\) + ідентифікатор\(_{B}\) \(_{A}\)= [id\(_{B}\);\(_{A}\), id;\(_{B}\)] = [\(_{A}\),\(_{B}\)] = id\(_{A + B}\).
Щоб показати, що + є функтором, нам також потрібно показати, що він зберігає композицію. Припустимо, у нас також є аморфізм (h, k): (C, D) → (E, F) в C × C. Нам потрібно показати, що (f + g); (h + k) = (f; h) + (g ; к). Це трохи складніший варіант аргументу у вправі 6.17 3. Це випливає з того, що схема нижче комутує:
Дійсно, ми знову використовуємо унікальність порівняння в (6.12), на цей раз, щоб показати, що (f; h) + (g; \(_{E}\)k) =\(_{F}\) [f; h; ); (h + k), в міру необхідності.
2. Нагадаємо, універсальне властивість початкового об'єкта дає унікальну карту! \(_{A}\): Ø → А. Тоді порівняння [id\(_{A}\),! \(_{A}\)] являє собою карту A + Ø → A. Більш того, це ізоморфізм з оберненим\(_{A}\): A → A + Ø.
Дійсно, використовуючи властивості у Вправі 6.17 і універсальне властивість початкового об'єкта, ми маємо\(_{A}\); [id\(_{A}\),! \(_{A}\)] = ідентифікатор\(_{A}\), і
[id\(_{A}\),! \(_{A}\)];\(_{A}\) = [id\(_{A}\) ;\(_{A}\),! \(_{A}\);\(_{A}\)] = [\(_{A}\),! \(_{A + Ø}\)] = [\(_{A}\),\(_{Ø}\)] = ідентифікатор\(_{A + Ø}\).
Аналогічний аргумент показує [! \(_{A}\), id\(_{A}\)]: Ø + A → A - ізоморфізм.
3. Ми просто запишемо карти та їх зворотні; ми залишаємо це вам, якщо хочете, щоб перевірити, чи дійсно вони є зворотними
а) Карта [id\(_{A + ι_{B},ι_{C}}\)] = [[\(_{A}\),\(_{B}\);\(_{B + C}\)],\(_{C}\);\(_{B + C}\)]: (A+ B) + C → A + (B + C) є ізоморфізмом, з оберненим [\(_{A}\),\(_{B}\) + id\(_{C}\)]: А + (В + С) → (А + Б) + С.
б) Карта [\(_{A}\),\(_{B}\)]: A+ B → B + A - ізоморфізм.
Зверніть увагу, що наші позначення тут трохи заплутані: є дві карти з назвою\(_{A}\), (i)\(_{A}\): A → A+ B, і (ii)\(_{A}\): A → B + A, і аналогічно для\(_{B}\). У вищесказаному ми маємо на увазі карту (ii). Він має зворотний [\(_{A}\),\(_{B}\)]: B + A → A + B, де в даному випадку ми маємо на увазі карту (i).
1. Припустимо, дана довільна діаграма виду B ← A → C in Disc\(_{S}\); нам потрібно показати, що вона має pushout. Єдиними морфізмами в Диску\(_{S}\) є тотожності, тому зокрема A = B = C, а квадрат, що складається з усіх ідентичностей, є його виштовхуванням.
2. Припустимо, Диск\(_{S}\) має початковий об'єкт s. Тоді S не може бути порожнім! Але він також не може мати більше одного об'єкта, тому що якщо s ′ є іншим об'єктом, то є морфізм s → s ′, але єдиними морфізмами в S є ідентичності так s = s ′. Звідси множина S повинна складатися рівно з одного елемента.
Пушаут - це набір\(\underline{4}\), як зображено вгорі праворуч на схемі нижче, оснащений також зображеними функціями:
Ми хочемо бачити, що це перевіряється з описом з Прикладу 6.25, тобто що це набір класів еквівалентності в 3,\(\underline{5}\) що генерується співвідношенням {f (a) ‰ g (a) | a\(\in\)\(\underline{4}\)}. Якщо ми позначимо елементи 5 як {1,..., 5} і елементи\(\underline{3}\) як {1′, 2′, 3′}, ми можемо перемалювати функції f, g:
який говорить, що ми приймаємо відношення\(\underline{5}\) еквівалентності на,\(\underline{3}\) згенерованому: 1 ‰ 1′,, 3 1′, 5 2′, і 5 3′. Класи еквівалентності є {1, 1′, 3}, {2}, {4} та {5, 2′, 3′}. Ці чотири - це саме чотири елементи в наборі з позначкою «pushout» в Eq. (А.1).
1. Діаграма ліворуч комутується, оскільки Ø є початковим, і тому має унікальну карту Ø → X+ Y. Це означає, що ми повинні мати f;\(_{X}\) = g;\(_{Y}\).
2. Існує унікальна карта X + Y → T, яка робить діаграму в (6.21) комутуються на увазі універсальною властивістю копродукту (6.12), застосованого до карт x: X → T і y: Y → T.
3. Припустимо, існує X +\(_{Ø}\) Y. За універсальним властивістю Ø, заданої будь-якою парою стрілок x: X → T і y: Y → T, діаграма
їздить на роботу. Це означає, що за універсальною властивістю виштовхування X +\(_{Ø}\) Y існує унікальна карта t: X +\(_{Ø}\) Y → T така, що\(_{X}\); t = x і\(_{Y}\); t = у.
Таким чином, X +\(_{Ø}\) Y є спільним продуктом X + Y.
Ми повинні перевірити, що коліміт діаграми, показаної зліва, дійсно дається, приймаючи три натискання, як показано праворуч:
Тобто нам потрібно показати, що S разом з картами з A, B, X, Y і Z володіє необхідним універсальним властивістю. Отже, припустимо, даний об'єкт T з двома комутуючими діаграмами, як показано:
Нам потрібно показати, що є унікальна карта S → T робить все, що їздить на роботу. Оскільки Q є поштовхом X ← A → Y, існує унікальна карта Q → T, що робить комутативний трикутник з Y, а оскільки R - поштовх Y ← B → Z, то існує унікальна карта R → T, що робить комутативний трикутник з Y. Це означає, що є комутуючий (Y, Q, R, T) квадрат, а отже, унікальна карта S → T від його поштовху робить все, що їздить на роботу. Це те, що ми хотіли показати.
Формула в теоремі 6.37 говорить про те, що виштовхування X +\(_{N}\) Y задається множиною класів еквівалентності X N Y при співвідношенні еквівалентності, породженому x n, якщо x = f (n), і y n, якщо y (n), де x\(\in\) X, y\(\in\) Y, n\(\in\) N. Оскільки для кожного n\(\in\) N існує x\(\in\) X такий, що x = f (n), ця множина дорівнює множині класів еквівалентності X Y при співвідношенні еквівалентності згенерований x y, якщо існує n таких, що x = f (n) і y = g (n). Це саме опис Прикладу 6.25.
Моноїдальний продукт - це
Нехай x і y будуть компонуються коспанами в Коспані\(_{FinSet}\). Що стосується проводів і з'єднаних компонентів, правило складу в Коспані\(_{FinSet}\) говорить, що (i) композитний коспан має унікальний елемент в вершині для кожного з'єднаного компонента конкатенації діаграм проводів x і y, і (ii) в дроті діаграма для x; y, кожен елемент ніжок з'єднаний дротом з елементом, що представляє з'єднаний компонент, до якого він належить.
Морфізми 1, 4 і 6 рівні, а морфізми 3 і 5 рівні. Морфізм 3 не дорівнює жодному іншому зображеному морфізму. Це безпосередній наслідок теореми 6.55.
- Вхідні дані в h повинні бути позначені B.
- Вихід g повинен бути позначений D, оскільки ми знаємо з міток у верхньому правому куті, що h - це морфізм B → D D.
- Четвертий вихідний провід композиту також повинен бути маркований D!
Намалюємо зображення функції вище, а зображення проводки нижче. Зверніть увагу, що ми зображуємо порожній набір з порожнім пробілом.
Спеціальний закон говорить про те, що композиція коспанів
це ідентичність. Це зводиться до перевірки того, що квадрат
являє собою квадрат штовхаута. Тривіально бачити, що площа їздить на роботу. Припустимо, тепер у нас є карти f: X → Y і g: X → Y такі, що
Запишіть\(_{1}\): X → X + X для карти в першу копію X у X + X, задану визначенням coproduct. Потім, використовуючи той факт, що\(_{1}\); [id, id] = id з вправи 6.17 1, і комутативність вищевказаного квадрата, ми маємо f =\(_{1}\); [id, id]; f =\(_{1}\); [id, id]; g = g. Це означає, що f: X → T є унікальною мапою, такою, що
комутує, і так (А.2) - це квадрат штовхання.
Відсутня діаграма є
Нехай A\(\subseteq\) S і B\(\subseteq\) T. Тоді
\ (\ почати {вирівняний}
\ varphi_ {S^ {\ прайм}, T^ {\ прайм}}\ лівий (\ mathrm {im} _ {f}\ раз\ mathrm {im} _ {g}\ праворуч) (A\ times B)\ праворуч) &=\ varphi_ {S^ {\ прайм}, T^ {\ прайм}} (\\ f (а)\ середина a\ in A\}\ раз\ {g (b)\ середина b\ in B\})\\
&=\ {(f (a), g (b))\ mid a\ in A, b\ in B\}\\\
& amp; =\ ім'я оператора {im} _ {f\ times g} (A\ times B)\\
&=\ ім'я оператора {im} _ {f\ times g}\ left (\ varphi_ {S, T} (A, B)\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\)
Таким чином необхідний квадрат комутує.
Вони означають, що кожна категорія Коспан\(_{C}\) дорівнює категорії Коспан\(_{F}\), для деяких вдало підібраних F. Вони також розповідають вам, як вибрати цей F: взяти функтор F: C → Set, який надсилає кожен об'єкт C до множини {∗}, і кожен морфізм C до функції ідентичності на {∗}. Звичайно, вам доведеться перевірити цей функтор - це нещільний симетричний моноїдальний функтор, але насправді це зробити нескладно.
Щоб перевірити, що Коспан\(_{C}\) дорівнює Коспану\(_{F}\), спочатку зауважте, що вони мають однакові об'єкти: об'єкти С. Далі, зауважте, що морфізм в Коспані\(_{F}\) - це коспан X ← N → Y в C разом з елементом FN = {∗}. Але FN також має унікальний елемент, ∗! Таким чином, тут немає вибору, і ми можемо розглянути морфізми Коспана\(_{F}\) просто бути коспанами в C.
Більш того, склад морфізмів у Коспана\(_{F}\) - це просто звичайний склад коспанів за допомогою pushout, тому Коспан\(_{F}\) = Коспан\(_{C}\).
(Більш технічно, можна сказати, що Коспан\(_{C}\) і Коспан\(_{F}\) ізоморфні, де ізоморфізм є функтором ідентичності-на-об'єктах Коспан\(_{C}\) → Коспан\(_{F}\), який просто прикрашає кожен коспан з ∗, а його зворотний - той, який забуває це ∗. Але це досить близько до рівних, що багато теоретиків категорій, включаючи нас, не проти сказати рівних у цьому випадку.)
Ми можемо уявити схему в екв. (6.71) кортежем (V, A, s, t, l) де V = {ul, ur, dl, dr}, A = {r1, r2, r3, c1, i1}, а s, t і l визначаються таблицею
Схема Circ (f) (c) дорівнює
Схема ψ\(_{\underline{2, 2}}\) (b, s) - це нероз'ємне об'єднання двох позначених графів b і s:
Коспан - це коспан\(\underline{1} \stackrel{f}{\rightarrow} \underline{2} \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{1}\), де f (1) і g (1) = 2. Окрасою служить C-ланцюг (\(\underline{2}\), {a}, s, t, l), де s (а) = 1, t (а) = 2 і l (a) = батарея.
Згадайте ланцюг C = (V, A, s, t, l) з розчину до вправи 6.79. Потім перший прикрашений коспан задається коспаном\(\underline{1} \stackrel{f}{\rightarrow} V \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{2}\), f (1) = ul, (1) = ur, і g (2) = ur, прикрашений схемою С. Другий прикрашений коспан задається коспаном\(\underline{1} \stackrel{f'}{\rightarrow} V' \stackrel{g'}{\leftarrow} \underline{2}\) і ланцюгом C ′: = (V ′, A ′, s ′, t ′, l′), де V ′ = {l, r, d}, A ′ = {r1′, r2′}, і функції наведені таблицями
Щоб скласти їх, ми спочатку беремо виштовхування\(V \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{2} \stackrel{f'}{\leftarrow} V'\).
Це дає нову вершину V ′′ = {ul, dl, dr, m, r} з п'ятьма елементами, і композитний коспан,\(\underline{1} \stackrel{h}{\rightarrow} V'' \stackrel{k}{\leftarrow} \underline{2}\) заданий h (1) = ul, k (1) = r і k (2) = m Нова схема задається (V, ′′ A + A ′, s, ′′ t, ′′ l′′) де функції задаються
Це саме те, що зображено в ур. (6.74).
Складання η і х ми маємо
і складання результату\(\mathcal{E}\) дає
1. Показаний ліворуч коспан відповідає наведеній праворуч схемі підключення:
Він має два внутрішніх кола, кожен з яких має два порти. Один порт першого підключений до порту другого. Один порт першого підключений до зовнішнього кола, а один порт другого підведений до зовнішнього кола. Це саме те, що коспан каже робити.
2. Показаний ліворуч коспан відповідає наведеній праворуч схемі підключення:
3. Складене g ◦\(_{1}\) f має парність (2, 2, 2, 2; 0); зліва є зображення:
4. Пов'язана схема підключення показана праворуч вгорі. Можна помітити, що одна діаграма була замінена на коло іншої.