7.6: Резюме та подальше читання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66442

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цій главі йшлося про моделювання різних видів поведінки за допомогою снопів на просторі часових інтервалів. Поведінка може здатися, що це щось, що відбувається зараз у сьогоденні, але насправді наша пам'ять про минулу поведінку інформує, що означає поточна поведінка. Для того, щоб взяти на себе зобов'язання, планувати або завершити будь-який процес, потрібно вміти міркувати протягом часових інтервалів. Приємна річ про тимчасових снопах дійсно снопи на будь-якій ділянці полягає в тому, що вони вписуються в категоричну структуру під назвою топос, яка має багато корисних формальних властивостей. Зокрема, він оснащений логікою вищого порядку, за допомогою якої ми можемо формально міркувати про те, як тимчасові снопи працюють разом у великих системах. Набагато більш докладний варіант цієї розповіді був представлений в [SS18]. Але це було б неможливо без великої будівлі теорії топосів та теорії доменів, яка була розроблена протягом останніх шести десятиліть.

Топози снопа були винайдені Гротендієком та його школою в 1960-х роках [AGV71] як підхід до доведення здогадок на перетині алгебраїчної геометрії та теорії чисел, названих гіпотезами Вейля. Незабаром після цього Ловере і Тірні визнали, що топози мають всю структуру, необхідну для виконання логіки, і з цілою низкою інших теоретиків категорій тема була розвинена вражаючою мірою в багатьох напрямках. Для більш повної історії див. [McL90].

Існує багато видів посилань на теорію топосів. Той, який починається з введення категорій, а потім переходить до топозів, зосереджуючись на логіці, є [McL92]. Нашим улюбленим лікуванням є, мабуть, [MM92], де геометричні аспекти відіграють центральну роль. Нарешті, Джонстон зробив поле величезну користь, зібравши велику кількість теорії в один двотомний набір [Joh02]; це дуже щільно, але важливе посилання для серйозного студента чи дослідника. Для просто категоричної (Кріпке-Джойал) семантики логіки в топосі слід побачити або [MM92], [Jac99], або [LS88].

Ми не згадували теорію домену багато в цьому розділі, окрім посилання на інтервальну область. Але домени, в сенсі Дани Скотт, відіграють важливу роль в більш глибоких аспектах теорії тимчасових типів. Хорошим посиланням є [Gie+03], але для вступу ми пропонуємо [AJ94].

У певному сенсі наша область застосування була дуже загальною динамічною системою. Інші категоричні підходи до цього питання включають [JNW96], [HTP03], [AS05] та [Law86], хоча є багато інших.

Сподіваємося, вам сподобалися сім ескізів у цій книзі. В якості наступного кроку розгляньте можливість запуску курсу читання з прикладної теорії категорій з деякими друзями або колегами. Одночасно, сподіваємося, ви почнете шукати категоричні способи мислення на знайомі предмети. Можливо, ви знайдете щось, що ви хочете внести свій внесок у цю зростаючу область прикладної теорії категорій, або, як ми це іноді називаємо, поле композиційності.