7.3: Снопи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66469

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Теорія снопа почалася до теорії категорій, наприклад, у формі чогось, званого «локальними системами коефіцієнтів для гомологічних груп». Однак його сучасна формулювання з точки зору функторів та сайтів обумовлена Гротендієком, який також винайшов топози.

Основна ідея полягає в тому, що замість того, щоб вивчати простори, ми повинні вивчати, що відбувається на просторах. Простір - це просто «сайт», на якому все відбувається. Наприклад, якщо ми думаємо про площину$\mathbb{R^{2}}$ як про простір, ми можемо розглядати лише точки та області в ній. Але якщо ми думаємо про$\mathbb{R^{2}}$ місце, де відбуваються речі, то ми можемо думати про такі речі, як погодні системи по всій площині, або піщані дюни, або траєкторії та потоки матеріалу. Є багато різних речей, які можуть відбуватися на просторі, і це снопи: сніп на просторі - це приблизно «щось таке, що може статися на просторі». Якщо ми хочемо думати про точки або регіони з точки зору снопа, ми розглядаємо їх як різні точки зору на те, що відбувається. Тобто вся справа в тому, що відбувається на просторі: частини простору - це лише перспективи, з яких можна подивитися шоу.

Це нагадує бази даних. Схема бази даних не є цікавою частиною; дані - це те, що цікаво. Щоб бути зрозумілим, схема бази даних - це сайт, який діє як простір, і категорія всіх екземплярів на ній є топосом. Загалом, ми можемо розглядати будь-яку невелику категорію C як сайт; відповідним топосом є категорія функторів C$^{op}$ → Set. $^{5}$Такі функтори називаються прешепавами на C.

Ви помітили, що ми тільки що представили величезний клас топозів? Для будь-якої категорії C, ми сказали, що на ньому є топос presheaves. Тому, перш ніж ми перейдемо до снопів, давайте обговоримо цю попередню тему presheaves. Ми почнемо розробляти деяку термінологію і способи мислення, які згодом узагальнимо до снопів.

Преснови

Нагадаємо визначення функтора і природного перетворення з розділу 3.3. Presheaves - це всього лише функтори, але вони мають спеціальну термінологію, яка змушує нас думати про них певним геометричним способом.

Визначення 7.22.

Нехай C буде невеликою категорією. Прешоп P на C є функтором P: C$^{op}$ → Множина. До кожного об'єкту c$\in$ C ми посилаємося на множину P (c) як набір перетинів P над c. До кожного морфізму f: c ′ → c ми посилаємося на функцію P (f): P (c) → P (c ′) як карту обмежень вздовж f. Для будь-якого розділу s$\in$ P (c) ми можемо позначити P (f) (s)$\in$ P (c ′), тобто його обмеження уздовж f, s|$_{f}$.

Якщо P і Q є прешепавами, то морфізм α: P → Q між ними є природним перетворенням функторів

$Знімок екрана 2021-01-25 о 5.24.29 PM.png$

Приклад 7.23.

Нехай ARSHP буде категорією, показаної нижче:

$Знімок екрана 2021-01-25 о 5.31.15 PM.png$

Причина, по якій ми називаємо нашу категорію ARSHP, полягає в тому, що ми можемо уявити її як «форму стрілки».

$Знімок екрана 2021-01-25 о 5.31.48 PM.png$

Presheaf на ARSHP є функтором I: ARSHP$^{op}$ → Set, який є екземпляром бази даних на ARSHP$^{op}$. Зауважте, що ARSHP$^{op}$ - це те, що ми назвали Gr у розділі 3.3.5; там ми показали, що екземпляри бази даних на Gr - тобто попередні шлейфи на ARSHP - це просто спрямовані графи, наприклад

$Знімок екрана 2021-01-25 о 5.32.26 PM.png$

Думаючи про прешхеви на будь-якій категорії C, часто має сенс уявити об'єкти C як якусь форму, а морфізми C як безперервні карти між формами, так само, як ми робили для форми стрілки в еквалайзері (7.24). У цьому контексті можна розглядати presheaf P як своєрідну конструкцію лего: P будується з форм у C, з'єднаних разом за допомогою морфізмів у C. У випадку, коли C - форма стрілки, прешеф - це графік. Таким чином, це б сказати, що граф є свого роду конструкцією лего, побудований з вершин і стрілок, з'єднаних разом за допомогою включення вершини в якості джерела або цілі стрілки. Ви бачите це?

Це твердження можна зробити досить точним; хоча ми не можемо пройти через це тут, вищезгадана ідея lego підсумовується офіційною заявою про те, що «категорія presheaves на C є вільним colimit завершення C». Попросіть теоретика категорій дружніх околиць для деталей.

Однак один думає про presheaves з точки зору lego збірок або екземплярів бази даних вони відносно прості. Різниця між прешкивами та снопами полягає в тому, що снопи враховують якусь «інформацію про покриття». Тривіальне поняття покриття полягає в тому, щоб сказати, що кожен об'єкт покриває себе і нічого більше; якщо використовувати це тривіальне покриття, дошкиви та снопи - це те саме. У нашому поведінковому контексті нам знадобиться нетривіальне поняття покриття, тому снопи і преснопи будуть трохи відрізнятися. Наша наступна мета - зрозуміти снопи на топологічному просторі.

Топологічні простори

Ми сказали в розділі 7.3, що замість вивчення просторів ми розглядаємо простори як прості «сайти», на яких все відбувається. Ми також сказали, що речі, які можуть відбуватися на просторі, називаються снопами, і завжди утворюють тип категорії, яка називається топосом. Щоб визначити топос снопів, ми повинні почати з ділянки, на якому вони існують.

Сайти - це дуже абстрактні математичні об'єкти, і ми не будемо робити їх точними в цій книзі. Однак одним з найпростіших видів сайтів, про які слід подумати, є ті, що надходять з топологічних просторів: кожен топологічний простір, природно, має структуру ділянки. Ми говорили про простори на деякий час, не роблячи їх точними; давайте зробимо це зараз.

Визначення 7.25.

Нехай X - множина, і нехай$P(X) = \{U \subseteq X\} denote its set of subsets. A topology on X is a subset Op \(\subseteq$ P (X), елементи якого ми називаємо відкритими множинами,$^{6}$ задовольняючи наступним умовам:

Весь набір: відкрита підмножина$\subseteq$ X X, тобто X$\in$ Op.
Двійкові перетину: якщо U, V$\in$ Оп то (U V)$\in$ Оп.
Довільні союзи: якщо I множина і якщо нам дано відкритий набір Ui$\in$ Op для кожного i, то їх об'єднання також відкрито, ($\bigcup_{i \in I} U_{i}$$\in$Оп. Ми інтерпретуємо конкретний випадок, коли I = Ø означає, що порожній набір відкритий: Ø$\in$ Оп.

Якщо$U = \bigcup_{i \in I} U_{i}$, ми говоримо, що (U i)$_{i \in I}$ охоплює U.

Пара (X, Op), де X - множина, а Op - топологія на X, називається топологічним простором.

Неперервна функція між топологічними просторами (X, Op$_{X}$) та (Y, Op$_{Y}$) є функцією f: X → Y такою$_{Y}$, що для кожного U$\in$ Op Передзображення f$^{−1}$ (U) знаходиться в Op$_{X}$.

В самому кінці розділу 7.3.1 ми згадали, чим снопи відрізняються від прешкивів тим, що вони враховують «інформацію про покриття». Поняття покриття відкритої множини об'єднанням інших відкритих множин було визначено у Визначенні 7.25, і воно вступить в дію, коли ми визначимо снопи у Визначенні 7.35.

Приклад$\PageIndex{1}$

Звичайна топологія Op на R2 заснована на 'ε-кулі.' Для будь-якого ε$\in$$\mathbb{R}$ з ε > 0 і будь-якої точки p = (x, y) визначте ε -куля з центром p$\in$$\mathbb{R^{2}}$, щоб бути:

$B(p ; \epsilon):=\left\{p^{\prime} \in \mathbb{R}^{2} \mid d\left(p, p^{\prime}\right)<\epsilon\right\}^{7}$

Іншими словами, B (x, y; ε) - множина всіх точок в межах ε (x, y).

Для довільної підмножини U $\subseteq$$\mathbb{R^{2}}$ми називаємо його відкритим і ставимо його в Op якщо,

для кожного (x, y)$\in$ U існує a (досить малий) ε > 0 такий, що B (x, y; ε)$\subseteq$ U.

$Знімок екрана 2021-01-26 о 7.10.07 PM.png$

Та ж ідея працює, якщо замінити будь-яким іншим метричним простором X (Визначення 2.51): його можна розглядати як топологічний простір, де відкриті множини є$\mathbb{R^{2}}$ підмножинами U таким чином, що для будь-якого p$\in$ U існує ε-куля, центрована в p і міститься в U. Таким чином, кожен метричний простір можна розглядати як топологічний простір.

Вправа 7.27.

Розглянемо набір$\mathbb{R}$. Це метричний простір з d (x$_{1}$, x$_{2}$) := | x$_{1}$ − x$_{2}$ |.

1. Що таке 1-мірний аналог ε-куль, як показано в прикладі 7.26? Тобто для кожного х$\in$$\mathbb{R}$ визначте B (x, ε).

2. Коли довільна підмножина U$\subseteq$$\mathbb{R}$ називається відкритим, за аналогією з прикладом 7.26?

3. Знайдіть три відкритих множини U$_{1}$$_{2}$, U та U в$\mathbb{R}$, такі, що$\bigcup_{i \in {1,2}}$ охоплюють U.

4. Знайдіть відкритий набір U і$\bigcup_{i \in I}$ колекцію відкритих наборів, де I нескінченно, такий, що$\bigcup_{i \in I}$ охоплює U. ♦

Приклад 7.28.

Для будь-якого набору X існує «грубіша» топологія, яка має якомога менше відкритих множин: Op$_{crse}$ = (Ø, X). Існує також «найкраща» топологія, яка має якомога більше відкритих множин: Op$_{fine}$ = P (X). Останній, (X, P (X)) називається дискретним простором на множині X.

Вправа 7.29.

1. Переконайтеся, що для будь-якого набору X, те, що ми назвали Оп$_{crse}$ у прикладі 7.28, дійсно є топологією, тобто задовольняє умовам визначення 7.25.

2. Переконайтеся також, що Op$_{fine}$ дійсно є топологією.

3. Показати, що якщо (X, P (X)) є дискретним і (Y, Op$_{Y}$) є будь-яким топологічним простором, то кожна функція X → Y є неперервною. ♦

Приклад 7.30.

Можливі чотири топології на X = {1, 2}. Два - це Op crse і Op штраф з прикладу 7.28. Інші два:

Оп$_{1}$ := {Ø, {1}, X} і Оп$_{2}$ := {Ø, {2}, X}

Два топологічні простори ({1, 2}, Оп$_{1}$) та ({1, 2}, Оп$_{2}$) є ізоморфними; будь-який з них можна назвати простором Сєрпінського.

Відкриті множини топологічного простору утворюють попередній порядок. Задано топологічний простір (X, Op), множина Op має структуру попереднього порядку з використанням відношення підмножини, (Op,$\subseteq$). Він є рефлексивним, оскільки U (\ subseteq\) U для будь-якої U$\in$ Оп, і він є перехідним, оскільки якщо U (\ subseteq\) V і V (\ subseteq\) W, то U (\ subseteq\) W.

Нагадаємо з розділу 3.2.3, що ми можемо розглядати будь-який попередній порядок, а отже, і Op, як категорію: його об'єкти є відкритими множинами U, а для будь-якого U, V множина морфізмів Op (U, V) порожня, якщо U (\ notsubseteq\) V і він має один елемент, якщо U (\ subseteq\) V.

Вправа 7.31.

Згадайте простір Серпінського, скажімо (X, Op$_{1}$) з прикладу 7.30.

1. Запишіть діаграму Хассе для її попереднього порядку відкриттів.
2. Запишіть всі обкладинки.

Вправа 7.32.

З огляду на будь-який топологічний простір (X, Op), будь-яка підмножина Y (\ subseteq\) X може бути задана топологія підпростору, назвавши її Op$_{?∩Y}$.

Ця топологія визначає будь-який A (\ subseteq\) Y бути відкритим, A$\in$ Op? Y, якщо є відкритий набір B$\in$ Op такий, що A = B Y.

1. Знайдіть B$\in$ Op, який показує, що весь набір Y відкритий, тобто Y$\in$ Op$_{?∩Y}$.

2. Показати, що Op$_{?∩Y}$ є топологією в сенсі Визначення 7.25. $^{8}$

3. Показати, що функція включення Y → X є неперервною функцією. ♦

Зауваження 7.33. Припустимо, (X, Op) є топологічним простором, і розглянемо попередній порядок (Op, (\ subseteq\)) відкритих множин. Виходить, що (Op, (\ subseteq\), X,) завжди є кванталом в сенсі Визначення 2.79. Цей факт нам не знадобиться, але ми пропонуємо читачеві трохи подумати над ним у Вправі 7.34.

Вправа 7.34.

У розділах 2.3.2 та 2.3.3 ми обговорювали, як Bool -категорії є попередніми замовленнями, а категорії витрат - метричними просторами Ловеру, а в розділі 2.3.4 ми уявляли інтерпретації V-категорій для інших кванталів V.

Якщо (X, Op) - топологічний простір, а V відповідна кванта, як у Зауваження 7.33, як ми можемо уявити V-категорію? ♦

Снопи на топологічних просторах

Підсумовуючи, де ми знаходимося, топологічний простір (X, Op) - це набір X разом з купою підмножин, які ми називаємо «відкритими»; ці відкриті підмножини утворюють попередній порядок і, отже, категорія позначається Оп. Скіпи на X будуть presheaves на Op зі спеціальною властивістю, влучно названою «умовою сніпа».

Нагадаємо термінологію та позначення для прешхевів: pressheaf на Op є функтором P: Op$^{op}$ → Set. Таким чином, до кожного відкритого множини U$\in$ Op ми маємо набір P (U), який називається множиною секцій над U, і до кожного включення відкритих множин V (\ subseteq\) U ми маємо функцію P (U ) → P (V) називається обмеженням. Якщо s$\in$ P (U) є перетином над U, ми можемо позначити його обмеження до V за s |$_{V}$. Нагадаємо, що ми говоримо колекція відкритих наборів$\left(U_{i}\right)_{i \in I}$ охоплює відкритий набір U якщо U =$\bigcup_{i \in\ I} U_{i}$.

Тепер ми готові дати наступне визначення, яке приходить в кілька хвиль: ми спочатку визначаємо відповідні сім'ї, потім склеювання, потім стан сніпа, потім сніп, і, нарешті, категорію снопів.

Визначення 7.35.

Нехай (X, Op) є топологічним простором, а P: Op$^{op}$ → Set буде пресхефом на Оп.

$\left(U_{i}\right)_{i \in I}$Дозволяти бути колекцією відкритих наборів U$_{i}$$\in$ Op, що охоплюють U.

Відповідна сім'я (s i)$_{i \in\I}$ P-секцій над$\bigcup{i}_{i \in\ I}$ складається з розділу si$\in$ P (U i) для кожного i$\in$ Я, такий, що для кожного я, j у$\in$ мене є

$\left.s_{i}\right|_{u_{i} \cap u_{j}}=\left.s_{j}\right|_{U_{i} \cap u_{j}}$

З огляду на відповідну сім'ю$si_{i \in\ I}$ для обкладинки U =$\bigcup_{i \in\ I} U_{i}$, ми говоримо, що s$\in$ P (U) є склеюванням, або склеєним ділянкою, відповідного сімейства, якщо s |$_{Ui}$ = si тримає для всіх i $\in$Я. Якщо існує унікальне склеювання s$\in$ P (U) для кожної відповідної сім'ї$si_{i \in\ I}$, ми говоримо, що P задовольняє умові сніпа для обкладинки U =$\bigcup_{i \in\ I} U_{i}$. Якщо P задовольняє умові сніпа для кожного покриву, ми говоримо, що P - це сніп на (X, Op).

Таким чином, сніп - це просто пресноп, що задовольняє умові сніпа для кожної відкритої кришки.

Якщо P і Q є снопами, то морфізм f: P → Q між цими снопами є лише морфізмом, тобто природним перетворенням між їх основними прешкивами. Позначимо Шв (Х, Оп) категорію снопів на Х.

Категорія снопів на X є топосом, але ми перейдемо до цього.

Приклад 7.36.

Ось смішний, але дуже важливий особливий випадок, до якого застосовується поняття відповідності сім'ї. Ми наводимо цей приклад не для інтуїції, а тому, що (підкреслити) це важливий і легкий для пропуску випадок. Так само, як сума чисел не дорівнює 0, а добуток чисел дорівнює 1, об'єднання без множин є порожнім набором. Таким чином, якщо взяти U = Ø$\subseteq$ X і I = Ø, то порожня колекція підмножин (по одній для кожного $\in$i I, яких немає) охоплює U. У цьому випадку порожній кортеж () підраховує відповідне сімейство розділів, і це єдина відповідна сім'я для порожньої обкладинки порожнього набору.

Іншими словами, для того, щоб presheaf P: Op$^{op}$ → Set був снопом, необхідною (але рідко достатньою) умовою є те, що P (Ø)$\cong$ {()}, тобто P (Ø) повинен бути множиною з одним елементом.

Розширений приклад: розділи функції. Цей приклад призначений для інтуїції і дає випадок, коли термінологію «розділ» та «обмеження» легко візуалізувати. Розглянемо функцію f: X → Y, показану нижче, де кожен елемент X надсилається елементу Y безпосередньо під ним.

Наприклад, f (a$\_{1}$) = f (a$\_{2}$) = a, f (b$\_{1}$) = b і так далі.

$Знімок екрана 2021-01-26 о 7.44.06 PM.png$

Для кожної точки y$\in$ Y, набір передзображень f$^{−1}$ (y)$\subseteq$ X над нею часто називають волокном над y. Зауважте, що різні f будуть розташовувати вісім елементів X по-різному над Y: елементи Y матимуть різні волокна.

Вправа 7.38.

Розглянемо функцію f: X → Y, показану в ур. (7.37).

Що таке волокно f над a?
Що таке клітковина f над c?
Що таке клітковина f над d?
Наведено приклад функції f ′: X → Y, для якої кожне волокно має або один, або два елементи. ♦

Розглянемо X і Y як дискретні топологічні простори, тому кожна підмножина відкрита, а f автоматично безперервна (див. Вправа 7.29). Ми будемо думати про f як розташування X над Y, з точки зору волокон, як зазначено вище, і використовувати його для побудови сніпа на Y. Для цього ми починаємо з побудови преснопа - тобто функтора Sec f: Op (Y)$^{op}$ → Set, а потім ми доведемо, що це сніп.

Визначити presheaf Sec$_{f}$ на довільній$\subseteq$ підмножині U Y за допомогою:

$\operatorname{Sec}_{f}(U):=\{s: U \rightarrow X \mid(s \text { ; } f)(u)=u \text { for all } u \in U\}$

Можна описати Sec$_{f}$ (U) як набір усіх способів вибрати «поперечний переріз» розташування f над U. Тобто елемент s$\in$ Sec$_{f}$ (U) - це вибір одного елемента на волокно над U. Як приклад, скажімо, U = {a, b}. Скільки таких s є в Sec$_{f}$ (U)? Щоб відповісти на це, давайте обріжемо картинку (7.37) і подивимося тільки на відповідну частину:

$Знімок екрана 2021-01-28 в 1.41.18 PM.png$

Дивлячись на картинку (7.39), ви бачите, як ми отримуємо всі поперечні перерізи f над U?

Вправа 7.40.

Зверніться до еквалайзера (7.37).

Нехай V$_{1}$ = {a, b, c}. Намалюйте над ним всі розділи, тобто всі елементи Sec$_{f}$ (V$_{1}$), як ми це робили в еквалайзері (7.39).
Нехай V$_{2}$ = {a, b, c, d}. Знову малюємо всі секції, сек$_{f}$ (V$_{2}$).
Нехай V$_{3}$ = {a, b, d, e}. Скільки розділів (елементів Sec$_{f}$ (V$_{3}$)) є? ♦

Тепер ви повинні зрозуміти розділи Sec f (U) для різних U$\subseteq$ X. Це Sec$_{f}$ на об'єктах, так що ви на половині шляху до розуміння Sec$_{f}$ як presheaf. Тобто, як прешеф, Sec$_{f}$ також включає карти обмежень для кожної підмножини V$\subseteq$ U.

На щастя, карти обмежень прості: якщо V$\subseteq$ U, скажімо V = {a} і U = {a, b}, то з урахуванням розділу s, як у Eq. (7.39), ми отримуємо розділ над V, «обмежуючи» нашу увагу на що s робить на {a}.

$Знімок екрана 2021-01-28 в 1.56.17 PM.png$

Вправа 7.42.

Випишіть множини розділів Sec$_{f}$ ({a, b, c}) і Sec$_{f}$ ({a, c}).
Намалюйте лінії від першої до другої, щоб позначити карту обмежень.

Тепер ми зрозуміли Sec$_{f}$ як пресніп; далі ми пояснюємо, як побачити, що це сніп, тобто що він задовольняє умові сніпа для кожного покриття. Щоб зрозуміти умову снопа, розглянемо множину U$_{1}$ = {a, b} і U$_{2}$ = {b, e}. Вони охоплюють безліч U = {a, b, e} = U$_{1}$$\bigcup$ U$_{2}$. За визначенням 7.35 відповідне сімейство для цього покриття складається з розділу над U$_{1}$ та розділу над U,$_{2}$ які узгоджують набір перекриттів, $_{1}$U U$_{2}$ = {b}.

Отже, розглянемо s$_{1}$$\in$ Sec f (U$_{1}$) і s$_{2}$$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{2}$), показані нижче.

$Знімок екрана 2021-01-28 в 1.58.10 PM.png$

Оскільки секції g$_{1}$ та g$_{2}$ узгоджуються з перекриттям, вони обидва надсилають b до b$_{2}$, два розділи 122, показані в ур. (7.43), можуть бути склеєні, утворюючи єдиний перетин над U = {a, b, е}:

$Знімок екрана 2021-01-28 о 2.04.25 PM.png$

Вправа 7.44.

Знову нехай U$_{1}$ = {a, b} і U$_{2}$ = {b, e}, так що перекриття $_{1}$U U$_{2}$ = {b}.

Знайдіть розділ s$_{1}$$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{1}$) і розділ s$_{2}$$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{2}$), які не узгоджуються з перекриттям.
Для вашої відповіді (s$_{1}$, s$_{2}$) у частині 1, ви можете знайти розділ s$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{1}$$\bigcup$ U$_{2}$) такий, що s |$_{U_{1}}$ = s$_{1}$ і s| (_ {U_ {2}}\) = s$_{2}$?
Знайдіть розділ h$_{1}$$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{1}$) та розділ h$_{2}$$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{2}$), які узгоджуються з перекриттям, але які відрізняються від нашого вибору в Eq. (7.43).
Чи можете ви знайти розділ h$\in$ Sec$_{f}$ (U$_{1}$$\bigcup$ U$_{2}$) такий, що h |$_{U_{1}}$ = h$_{1}$ і h |$_{U_{2}}$ = h$_{2}$? ♦

Інші приклади снопів. Розширений приклад вище узагальнює будь-яку контекстну функцію f: X → Y між топологічними просторами.

Приклад 7.45.

Нехай f: (X, Op$_{X}$) → (Y, Op$_{Y}$) буде неперервною функцією. Розглянемо операційний функтор$\mathrm{Sec}_{f}: \mathrm{Op}_{Y}^{\mathrm{op}} \rightarrow \text { Set }$ → Встановити, заданий

Sec$_{f}$ (U) := {g: U → X | g є безперервним і (g; f) (u) = u для всіх u$\in$ U},

Морфізми Оп$_{Y}$ є включеннями V$\subseteq$ U. З огляду на g: U → X і V$\subseteq$ U, те, що ми називаємо обмеженням g до V, є звичайною річчю, яку ми маємо на увазі під обмеженням, так само, як це було в Eq. (7.41). Можна ще раз перевірити, що Sec$_{f}$ - це сніп.

Приклад 7.46.

Приємним прикладом снопа на просторі M є векторні поля на M. Якщо ви обчислите швидкість вітру в кожній точці Землі, у вас буде так зване векторне поле на Землі. Якщо ви знаєте швидкість вітру в кожній точці Афганістану, і я знаю швидкість вітру в кожній точці Пакистану, і наші розрахунки узгоджуються навколо кордону, то ми можемо склеїти нашу інформацію разом, щоб отримати швидкість вітру над об'єднанням двох країн. Всі можливі поля швидкості вітру над усіма можливими відкритими множинами земної поверхні разом утворюють сніп векторних полів.

Скажімо, це трохи формальніше. Колектор M ви можете просто уявити собі таку сферу, як поверхня Землі, завжди має щось, що називається дотичним пучком. Це простір ТМ, точки якого є парами (m, v), де m$\in$ M - точка в многообразі, а v - дотичний вектор, що виходить від неї. Ось зображення однієї дотичної площини всіх дотичних векторів, що виходять з якоїсь фіксованої точки на сфері:

$Знімок екрана 2021-01-28 в 2.50.15 PM.png$

Дотична пучок TM включає всю дотичну площину, показану вище, включаючи три вектори, намальовані на ній, а також дотичну площину в кожній іншій точці сфери.

Дотична пучок ТМ на многообразі М поставляється з суцільною картою π: TM → M назад вниз до колектора, посилаючи (m, v)$\longmapsto$ m. Можна сказати, що π «забуває тангенс вектор і просто запам'ятовує точку, з якої він вийшов». За прикладом 7.45, π визначає сніп сек$_{pi}$. Його можна назвати сніпом «дотичних векторних ділянок на M», але його звичайною назвою є сніп векторних полів на M. Це те, що ми описували, коли говорили про сніп швидкостей вітру на Землі, вище. З огляду на відкриту підмножину U M, елемент v$\in$ Sec$_{pi}$ (U) називається векторним полем над U, оскільки він безперервно призначає дотичний вектор v (u) кожній точці u$\in$ У. Вектор тангенса в u говорить нам про швидкість вітру в цій точці.

Ось цікавий відступ: у випадку сферичного многовиду M, подібного до Землі, можна довести, що для кожного відкритого набору U, до тих пір, як U$\neq$ M, існує векторне поле v$\in$ Sec$_{pi}$ (U), яке ніколи не дорівнює 0: вітер міг дмуть по всій U. Однак теорема Пуанкаре говорить, що якщо подивитися на всю сферу, гарантовано буде точка m$\in$ M, в якій вітер взагалі не дме. Це як око урагану або, можливо, ковлюка. Ковлик у чиємусь волоссі виникає, коли волосся не має напрямку, щоб йти, тому воно стирчить! Волосся стирчать вгору не вважатимуться дотичним вектором: дотичні вектори повинні почати лежати рівно уздовж голови. Пуанкаре довів, що якби ваша голова була покрита повністю дюймовим волоссям, був би хоча б один ковлик. Ця різниця між локальними ділянками (над довільними U$\subseteq$ X) та глобальними секціями (над X), а саме те, що волосся можна добре розчісувати, коли U$\neq$ X, але не можуть бути добре розчесані, коли U = X може бути розглядається як генеративний ефект, і може бути виміряний за допомогою когомології (див. Розділ 1.5).

Вправа 7.47.

Якщо М є сферою, як у прикладі 7.46, ми знаємо з визначення 7.35, що ми можемо розглянути категорію Shv (M) снопів на M; насправді, такі категорії є топозами, і це те, що ми отримуємо.

Але чи є снопи на M векторними полями? Тобто, чи існує відповідність один до одного між снопами на М і векторними снопами на M і векторними полями на M? Якщо так, то чому? Якщо ні, то як пов'язані снопи на M і векторні поля на M? ♦

Приклад 7.48.

Для кожного топологічного простору (X, Op) ми маємо топи снопів на ньому. Топосом множин, які можна вважати історією теорії множин, є категорією снопів на одноточковому просторі {∗}. У теорії топосів ми бачимо категорію наборів величезну, дивовижну та багату категорію як відповідну одній точці. Уявіть собі, наскільки складнішими є довільні топози, коли вони можуть відбуватися на набагато більш цікавих топологічних просторах (а насправді ще більш загальних «сайтах»).

Вправа 7.49.

Розглянемо простір Сєрпінського ({1,2}, Оп$_{1}$) з прикладу 7.30.

Яка категорія Op для цього простору? (Можливо, ви вже зрозуміли це у вправі 7.31; якщо ні, зробіть це зараз.)
З чого складається прешеф на Оп?
Що таке стан снопа для Оп?
Як ми ідентифікуємо сніп на Оп з функцією? ♦