6.4: Прикрашені коспани

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66312

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Мета цього розділу - показати, як ми можемо побудувати категорію гіперграфа, морфізми якої є електричними ланцюгами. Для цього спочатку потрібно ввести поняття структури зберігаючої карти для симетричних моноїдальних категорій, узагальнення моноїдальних монотонів, відомих як симетричні моноїдальні функтори. Потім ми вводимо загальний метод, який прикрашають коспани для створення категорій гіперграфа. Роблячи все це, зв'яже безліч вільних кінців: коліміти, коспани, схеми та категорії гіперграфів.

Симетричні моноїдальні функтори

Грубе визначення 6.68.

Нехай (C, I$_{C}$,$_{C}$) і (D, I$_{D}$,$_{D}$) симетричні моноїдальні cate- gories. Щоб задати симетричний моноїдальний функтор (F, φ) між ними,

(i) задає функтор F: C → D;

(ii) один визначає морфізм φ$_{I}$: I$_{D}$ → F (I$_{C}$).

(iii) для кожного c$_{1}$, c$_{2}$$\in$ Ob (C) вказується морфізм

φ$_{c1,c2}$: F (c$_{1}$)$_{D}$ F (c$_{2}$) → F ($_{1}$c$_{C}$ c$_{2}$),

натуральний в c$_{1}$ і c$_{2}$.

Ми називаємо різні карти φ карти когерентності.

Ми вимагаємо, щоб карти когерентності підкорялися бухгалтерським аксіомам, які гарантують, що вони добре поводяться щодо симетричних моноїдальних структур на C$_{I}$ і D. Якщо φ і φ$_{c1,c2}$ є ізоморфізмами для всіх c$_{1}$, c$_{2}$, ми говоримо, що ( F, φ) сильний.

Приклад 6.69.

Розглянемо функцію набору потужності P: Set → Set. Він діє на об'єкти шляхом надсилання множини S$\in$ Set до його набору підмножин P (S) := {R$\subseteq$ S}. Він діє на морфізми шляхом надсилання функції f: S → T на карту зображення im f: P (S) → P (T), яка відображає R$\subseteq$ S на {f (r) | r $\in$Р}$\subseteq$ Т.

Тепер розглянемо симетричну моноїдальну структуру ({1}, ×) на Set з прикладу 4.49. Щоб зробити P симетричним моноїдальним функтором, нам потрібно вказати функцію φ$_{I}$: {1} → P ({1}) і для всіх множин S і T - функтор φ$_{S,T}$: P (S) × P (T) → P (S × T). Однією з можливостей є визначення φ$_{I}$ (1) як максимальної підмножини {1}$\subseteq$ {1}, а задані підмножини A$\subseteq$ S і B$\subseteq$ T, щоб визначити φ$_{S,T}$ (A, B) як добуток підмножини A × Б$\subseteq$ С × Т. При цих визначеннях (P, φ) є симетричним моноїдальним функтором.

Вправа 6.70.

Переконайтеся, що карти φ,$_{S,T}$ визначені в прикладі 6.69, є природними в S і T. Іншими словами, задані f: S → S ′ і g: T → T ′, показують, що схема нижче комутує:

$Знімок екрана 2021-01-24 в 5.41.09 PM.png$ ♦

Прикрашені коспани

Тепер, коли ми коротко ввели симетричні моноїдальні функтори, повернемося до поставленого завдання: побудова категорії гіперграфа схем. Для цього введемо метод декорування коспанів.

Схеми мають багато внутрішньої структури, але вони також мають деякі зовнішні порти, які також називають «терміналами», за допомогою яких можна з'єднати їх з іншими. Прикрашені коспани - це способи обговорення саме цього: речі із зовнішніми портами та внутрішньою структурою.

Щоб побачити, як це працює, почнемо з наступної схеми:

$Знімок екрана 2021-01-24 в 5.42.16 PM.png$

Ми могли б формально розглядати це як графік на наборі з чотирьох портів, де кожен край позначений типом компонента ланцюга (наприклад, верхній край буде позначений як резистор опору 2Ω). Щоб ця схема була морфізмом в деякій категорії, тобто для того, щоб забезпечити взаємозв'язок, ми повинні обладнати схему деяким поняттям інтерфейсу. Робимо це, розмічаючи порти в інтерфейсі за допомогою функцій з кінцевих множин:

$Знімок екрана 2021-01-24 в 5.47.02 PM.png$

Нехай N - множина вузлів ланцюга. Тут скінченними множинами A, B і N є множинами, що складаються з одного, двох і чотирьох елементів відповідно, намальованих у вигляді точок, а значення функцій A → N і B → N позначаються сірими стрілками. Це утворює коспан у категорії скінченних множин, для яких набір вершин N був прикрашений нашою заданою схемою.

Припустимо, дано ще один такий прикрашений коспан з входом B.

$Знімок екрана 2021-01-24 о 5.47.28 PM.png$

Оскільки вихід першого дорівнює входу другого (обидва - B), ми можемо склеїти їх в єдину діаграму:

$Знімок екрана 2021-01-24 в 5.48.12 PM.png$

Склад задається шляхом склеювання схем по ідентифікаціям, зазначеним B, в результаті чого оформляється коспан

$Знімок екрана 2021-01-24 в 5.48.39 PM.png$

Ми бачили такого роду склеювання раніше, коли ми визначили склад коспанів у визначенні 6.45. Але тепер є вся ця «прикраса»; наша мета - це формалізувати.

Визначення 6.75.

Нехай C є категорією з скінченними колімітами, а (F, φ): (C, +) → (Set, ×) - симетричним моноїдальним функтором. F -прикрашений коспан - це пара, що складається з коспана$A \stackrel{i}{\rightarrow} N \stackrel{o}{\leftarrow} B$ в C разом з елементом s F (N) .5 Ми називаємо (F, φ) функтором декорування і s прикрасою.

Інтуїція тут полягає у використанні C = FinSet, і для кожного об'єкта N$\in$ FinSet функтор F призначає множину всіх правових прикрас множині N вузлів. Коли ви вибираєте F прикрашений коспан, ви вибираєте набір A лівих зовнішніх портів, набір B правих зовнішніх портів, кожен з яких відображає набір N вузлів, і ви вибираєте один з доступних прикрас на N вузлах, взяті з набір F (N).

Отже, у нашому випадку електричного кола, функція декорування F посилає скінченну множину N до набору графіків схем ланцюгів, ребра яких позначені резисторами, конденсаторами тощо, які мають N вершин. Наша мета - все ще вміти складати такі діаграми; так як це працює саме?

В основному поєднується спосіб складання коспанів із структурами, що визначають наш функтор оздоблення: а саме F та φ.

Нехай ($A \stackrel{f}{\rightarrow} N \stackrel{g}{\leftarrow} B$, s) і ($B \stackrel{h}{\rightarrow} P \stackrel{k}{\leftarrow} C$, t) являють собою прикрашені коспани. Їх композит представлений композитом коспана$A \stackrel{f}{\rightarrow} N \stackrel{g}{\leftarrow} B$ і$B \stackrel{h}{\rightarrow} P \stackrel{k}{\leftarrow} C$, в парі з наступним елементом F (N +$_{B}$ P):

$F\left(\left[\iota_{N}, \iota_{P}\right]\right)\left(\varphi_{N, P}(s, t)\right)$(6,76)

Це досить компактно! Ми розпакуємо його, в конкретному випадку, всього за секунду. Але давайте спочатку запишемо теорему.

Теорема 6.77.

З огляду на категорію С з скінченними колімітами та асиметричним моноїдальним функтором (F, φ): (C, +) → (Set, ×), існує категорія гіперграфа Коспан, об'єктами$_{F}$ якої є об'єкти C, а морфізми якої є класами еквівалентності F -декорованих коспанів.

Симетричні моноїдальні та гіперграфні структури походять від тих, що знаходяться на Коспані$_{C}$.

Вправа 6.78.

Припустимо, ви стурбовані тим, що позначення Коспан$_{C}$ виглядає як позначення Коспан$_{F}$, хоча вони дуже різні. Експерт каже вам, що «вони не такі різні; один - особливий випадок іншого. Просто використовуйте постійний функтор F (c) := {∗}». Що означає експерт?

електричні ланцюги

Для того, щоб працювати з вищезазначеними абстракціями, ми отримаємо трохи точніше про приклад схем, а потім детально розглянемо, як працює композиція в оформлених категоріях коспана.

Давайте побудуємо кілька схем. Для початку нам потрібно буде вибрати, які компоненти ми хочемо в нашій схемі. Це просто питання того, що знаходиться в нашому електричному наборі інструментів. Скажімо, ми несемо деякі лампочки, вимикачі, батареї та резистори всілякого опору. Тобто визначте набір

$C:=\{\text { light, switch, battery }\} \sqcup\left\{x \Omega \mid x \in \mathbb{R}^{+}\right\}$

Щоб було зрозуміло, Ω - це просто мітки; вищевказаний набір ізоморфний до {світло, вимикач, акумулятор}$\mathbb{R}$ +. Але ми пишемо C таким чином, щоб нагадати нам, що він складається з компонентів схеми. Якби ми хотіли, ми могли б також додати індуктори, конденсатори і навіть елементи, що з'єднують більше двох портів, як транзистори, але давайте тримати речі простими на даний момент.

З огляду на нашу множину C, C -ланцюг - це просто графік (V, A, s, t), де s, t: A → V - функції джерела та цілі разом з функцією l: A → C маркування кожного краю певним компонентом схеми від C.

Наприклад, ми можемо мати простий випадок V = {1,2}, A = {e}, s (e) = 1, t (e) = 2, тому e є ребром від 1 до 2 і l (e) = 3Ω. Це являє собою резистор з опором 3Ω:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.16.51 PM.png$

Зверніть увагу, що в формалізмі, який ми вибрали, у нас є кілька способів представлення будь-якої схеми, оскільки наші уявлення явно вибирають напрямки для країв. Вищевказаний резистор також може бути представлений «зворотним графіком», з даними V = {1, 2}, A = {e}, s (e) = 2, t (e) = 1, і l (e) = 3 F.

Вправа 6.79.

Запишіть кортеж (V, A, s, t, l), який представляє схему в екв. (6.71) . ♦

Функтор декору для схем. Ми хочемо, щоб C -схеми були нашими прикрасами, тому давайте використовувати їх для визначення функції прикраси, як у визначенні 6.75.

Ми будемо називати функтор (Цирк, ψ). Почнемо з визначення функторної частини

Коло: (FinSet, +) → (Набір, ×)

наступним чином. На об'єктах просто надішліть скінченну множину V до множини C -схем:

Коло (V) := {(V, A, s, t, l) | де s, t: А → V, л: Е → С}.

На морфізмах Circ посилає функцію f: V → V ′ до функції

Коло (f): Коло (V) → Коло (V ′);

(V, A, s, t, l)$\longmapsto$ (V', A, (s; f), (t; f), л).

Це визначає функтор; давайте трохи вивчимо його у вправі.

Вправа 6.80.

Щоб краще зрозуміти цей функтор, нехай c$\in$ Circ ($\underline{4}$) буде схемою

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.35.35 PM.png$

і нехай f:$\underline{4}$ →$\underline{3}$ бути функцією

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.36.50 PM.png$

Намалюйте малюнок схеми Circ (f) (c) . ♦

Ми намагаємося отримати декоративний функтор (Circ, ψ) і поки що у нас є Circ. Для карт когерентності ψ$_{V,V'}$ для скінченних множин V, V ′ визначено

\ (\ begin {масив} {c}
\ psi_ {V, V^ {\ prime}}:\ ім'я оператора {Цирк} (V)\ times\ ім'я оператора {Circ}\ left (V^ {\ prime}\ праворуч)\ довга стрілка праворуч\ ім'я оператора {Circ}\ left (V+V^ {\ прайм}\ праворуч)\
\ left (V, A, s, t,\ ell),\ лівий (V^ {\ прайм}, A^ {\ прайм}, s^ {\ прайм}, t^ {\ прайм},\ ell^ {\ прайм}\ праворуч)\ праворуч) \ longmapsto\ ліворуч (V+V^ {\ прайм}, A+A^ {\ прайм}, +s^ {\ прайм}, t+t^ {\ прайм},\ лівий [\ ell,\ ell^ {\ правий}\ праворуч]
\ кінець {масив}\) (6.81)

Це простіше, ніж може здатися: він приймає ланцюг на V і ланцюг на V ′, і просто розглядає їх разом як ланцюг на нероз'єднаному об'єднанні вершин V + V ′.

Вправа 6.82.

Припустимо, у нас є схеми

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.40.05 PM.png$

в Цирк ($\underline{2}$).

Скористайтеся визначенням ψ$_{V,V'}$ з (6.81), щоб з'ясувати, яким повинен бути 4-вершинний контур ψ$_{\underline{2},\underline{2}}$ (b, s)$\in$ Circ ($\underline{2}$+$\underline{2}$) = Circ ($\underline{4}$), і намалюйте картинку. ♦

Відкриті схеми за допомогою декорованого коспана. З наведених вище даних просто моноїдальний функтор (Circ, ψ): (FinSet, +) → (Set, ×), ми можемо побудувати нашу обіцяну категорію схем гіперграфа!

Наше позначення для цієї категорії - «Коспан»$_{Circ}$. Слідуючи теоремі 6.77, об'єкти цієї категорії такі ж, як і об'єкти FinSet, лише кінцеві множини. Ми повторюємо наші позначення з введення і Приклад 6.42, і намалюємо ці кінцеві множини як колекції білих кіл ◦.

Наприклад, ми представимо об'єкт 2 Коспана у$_{Circ}$ вигляді двох білих кіл:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.43.58 PM.png$

Ці білі кола позначають точки інтерфейсу розімкнутої ланцюга.
Однак цікавішими, ніж об'єкти, є морфізми в Коспані$_{Circ}$.

Це відкриті ланцюги. За теоремою 6.77 морфізм$\underline{m}$ →$\underline{n}$ - це коспан, прикрашений цирком: тобто коспан$\underline{m}$ →$\underline{p}$ ←$\underline{n}$ разом з елементом c Circ ($\underline{p}$).

Як приклад розглянемо коспан,$\underline{1} \stackrel{i_{1}}{\rightarrow} \underline{2} \stackrel{i_{2}}{\leftarrow} \underline{1}$ де i$_{1}$ (1) = 1 і i$_{2}$ (1) = 2, оснащений елементом батареї Circ ($\underline{2}$) з'єднувального вузла 1 і вузла 2. Ми зобразимо це наступним чином:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.51.02 PM.png$

Вправа 6.84.

Морфізми Коспана - це коспани,$_{Circ}$ прикрашені цирком, як визначено у Визначенні 6.75. Це означає (6.83) зображує коспан разом з прикрасою, яка є деякою C -схемою (V, A, s, t, l)$\in$ Circ ($\underline{2}$). Що це таке? ♦

Давайте тепер подивимося, як операції гіперграфа в Cospan$_{Circ}$ можуть бути використані для побудови електричних ланцюгів.

Композиція в Коспані$_{Circ}$. Спочатку розглянемо склад. Розглянемо наступні декоровані коспани від$\underline{1}$ до$\underline{1}$:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.54.47 PM.png$

Оскільки це та схема в (6.83) обидва морфізми$\underline{1}$ →$\underline{1}$, ми можемо скласти їх, щоб отримати інший морфізм$\underline{1}$ →$\underline{1}$. Як нам це зробити? Є дві частини: щоб отримати новий коспан, ми просто складаємо коспани наших двох контурів, а щоб отримати нове прикраса, використовуємо формулу Circ ([$_{N}$,$_{P}$]) (ψ$_{N,P}$ (s, t)) з (6.76). Знову ж таки, це досить компактно! Давайте розпакуємо його разом.

Почнемо з коспанів. Коспани, які ми хочемо скласти, є

$Знімок екрана 2021-01-24 о 6.59.26 PM.png$

Ми просто ігноруємо прикраси поки що.) Якщо виштовхнути на загальний набір 1 = {◦}, то отримаємо квадрат виштовхування

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.00.08 PM.png$

Це означає, що композитний коспан

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.04.43 PM.png$

Тим часом ми вже змусили вас розпочати розпакування формули для нової прикраси. Ви розповіли нам, що$_{\underline{2},\underline{2}}$ робить карта ψ у вправі 6.82. Він приймає два прикраси, обидві схеми в Circ ($\underline{2}$), і перетворює їх в єдиний, нероз'єднаний контур

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.13.30 PM.png$

в Цирк ($\underline{4}$). Так ось що означає ψ$_{N,P}$ (s, t) частина. Що означає [$_{N}$,$_{P}$]? Нагадаємо, це порівняння карт виштовхування, як описано в прикладах 6.14 і 6.25. У нашому випадку відповідний квадрат виштовхування задається (6.85), а [$_{N}$,$_{P}$] насправді є функцією f з вправи 6.80!

Це означає, що прикраса на композитному коспані є

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.13.56 PM.png$

Збираючи це все разом, складова схема

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.18.48 PM.png$

Вправа 6.86.

Поверніться до прикладу на початку розділу 6.4.2. Зокрема, розглянемо склад схем в екв. (6.73). Висловіть дві схеми на цій діаграмі як морфізми в $_{Circ}$Коспані та обчислите їх складові. Чи відповідає він малюнку в еквалайзері (6,74)? ♦

Моноїдальні вироби в Коспані$_{Circ}$. Моноїдальні продукти в «$_{Circ}$Коспані» набагато sim-pler, ніж склад. На об'єктах ми знову просто працюємо як в FinSet: беремо нероз'єднане об'єднання скінченних множин. Морфізми знову мають і коспан, і прикраса.

Для коспанів ми знову просто працюємо в Коспані$_{FinSet}$: з огляду на два коспана A → M ← B і C → N ← D, беремо їх копродукт коспан A + C → M + N ← B + Д. А для декорацій використовуємо карту ψ$_{M,N}$: Цирк (М) × Коло (N) → Цирк (M + N). Так, наприклад, припустимо, ми хочемо взяти моноїдальний добуток відкритих ланцюгів

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.22.09 PM.png$

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.24.40 PM.png$

Результат дає їх укладання. Іншими словами, їх моноїдальний продукт - це:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.24.45 PM.png$

Легко, правда?

Ми залишаємо вас зробити дві власні композиції.

Вправа 6.88.

Запишіть x для обриву ланцюга в (6.87). Також визначають коспани η: 0 → 2 і η: 2 → 0 наступним чином:

$Знімок екрана 2021-01-24 о 7.24.50 PM.png$

де кожен з них прикрашений порожнім контуром (1, Ø,! ,! ,!) $\in$Цирк ($\underline{1}$). $^{6}$

Обчислити композит η; x; ε в Коспані$_{Circ}$. Це морфізм$\underline{0}$ →$\underline{0}$; ми називаємо такі речі замкнутими ланцюгами. ♦