6.3: Гіпер Графік Категорії
- Page ID
- 66322
Категорія гіперграфа - це тип симетричної моноїдальної категорії, схеми підключення якої є мережами. Незабаром ми побачимо, що електричні ланцюги можуть бути організовані в категорію гіперграфа; це те, що ми будували. Але для визначення категорій гіперграфа корисно спочатку ввести моноїди Фробеніуса.
Моноїди Фробеніуса
Зображення коспанів, які ми бачили вище, наприклад, в еквалайзері (6.50) виглядають приблизно як піктограми на графіках потоку сигналів (див. Розділ 5.3.2): різні дроти зливаються і розділяються, ініціалізують та завершують. І вони дотримуються тих самих правил, які вони робили для лінійних відносин, які ми коротко обговорювали у Вправі 5.84. Існує багато потенціалу для плутанини, тому давайте почнемо з нуля і створимо резервну копію.
У будь-якій симетричній моноїдальній категорії (C, I,) нагадайте з розділу 4.4.2, що об'єкти можуть бути намальовані як дроти, а морфізми можуть бути намальовані як коробки. Особливо примітні морфізми можуть бути позначені як точки, а не коробки, щоб вказати, що морфізми там не довільні, але гідні позначення. Одним із випадків цього є об'єкт X зі спеціальними «здібностями», наприклад, здатністю дублювати на дві частини або зникати ні в чому. Щоб зробити це точним, нагадайте з визначення 5.65, що комутативний моноїд (X, μ, η) у симетричній моноїдальній категорії (C, I,) є об'єктом X C разом з (примітними) морфізмами
підкоряючись
де симетрія на X X. Кокомутативний кокомоноїд (X, δ, ε) - це об'єкт X з картами δ: X → X X, ε: X → I, підкоряючись дзеркальним зображенням законів в ур. (6.51).
Припустимо, X має як структуру комутативного моноїда, так і кокомутативного комоноїда, і розглянемо схему підключення, побудовану тільки з піктограм μ, η, δ і ε, де кожен провід позначений X. Ці діаграми мають лівий і правий, і є зображеннями того, як порти зліва підключаються до портів праворуч. Комутативні моноїдні та кокомутативні комоноїдні аксіоми, таким чином, обидва висловлюють, коли розглядати дві такі зображення зв'язку, слід вважати однаковими. Наприклад, асоціативність говорить, що порядок підключення портів зліва не має значення; коасоціативність (не намальована) говорить те саме для правого.
Якщо ви хочете пройти весь шлях і сказати «все, що мене хвилює, це який порт підключений до якого; Я навіть не дбаю про лівий і правий», то вам потрібно ще кілька аксіом, щоб сказати, як морфізми μ і δ, злиття і спліттер, взаємодіють.
Нехай X — об'єкт у симетричній моноїдальній категорії (C,, I). Структура Frobe- nius на X складається з 4-кортежу (μ, η, δ, ε) такого, що (X, μ, η) є комутативним моноїдом і (X, δ, ε) є кокомутативним комоноїдом, який задовольняє шість рівнянь вище ((co-) асоціативність, (co-) унічність, (co-) комутативність), а також як наступні три рівняння:
Ми називаємо об'єкт X, оснащений структурою Фробеніуса, як спеціальний комутативний моноїд Фробеніуса, або просто моноїд Фробеніуса, коротко.
За допомогою цих двох рівнянь виходить, що два морфізми X m → X n, визначені складанням та тензорізацією тотожностей на X і примітних морфізмів μ, δ тощо— рівні, якщо і лише тоді, коли їх струнні діаграми з'єднують однакові порти. Цей зв'язок між зв'язком та моноїдами Фробеніуса можна зробити точним наступним чином.
Нехай (X, μ, η, δ, ε) є моноїдом Фробеніуса в моноїдальній категорії (C, I,). Нехай m, n N. Визначте s m, n: X m → X n, щоб бути наступним морфізмом
Його можна записати формально як (m − 1) μ, за якими слідують (n − 1) δ, з окремими випадками, коли m = 0 або n = 0.
Ми\(_{m,n}\) називаємо s павуком типу (m, n), і можемо намалювати його простіше, як значок
Тож спеціальний комутативний моноїд Фробеніуса, окрім того, що він є ротом, - це «павучий» дріт. Ви згодні з тим, що в будь-якій моноїдальній категорії мови схеми підключення дроти представляють об'єкти, а коробки представляють морфізми? Ну в нашому дивному способі розмови, якщо дріт є павуковим, це означає, що у нас є купа морфізмів μ, η, δ, ε, σ що ми можемо об'єднати, не турбуючись про порядок цього: результат просто «скільки в, і скільки з»: павук. Ось формальна заява.
Нехай (X, μ, η, δ, ε) є моноїдом Фробеніуса в моноїдальній категорії (C, I,). Припустимо, що у нас є карта f: X m → X n кожна побудована з павуків і карта симетрії σ: X 2 → X 2 з використанням композиції та моноїдального добутку, і така, що струнна діаграма f має тільки один підключений компонент. Тоді це павук: f = s\(_{m,n}\).
Оскільки наступні два морфізми обидва (i) мають однакову кількість входів і виходів, (ii) побудовані тільки з павуків, а (iii) з'єднані, теорема 6.55 відразу передбачає, що вони рівні:
Нехай X - об'єкт, оснащений структурою Фробеніуса. Які з морфізмів X X → X X в наступному списку обов'язково рівні?
♦
Повертаємося до коспанів. Інший спосіб розуміння моноїдів Фробеніуса - співвідносити їх з коспанами. Згадаймо поняття презентації реквізитів з визначення 5.33.
Розглянемо чотириелементну множину G: = {μ, η, δ, ε} і визначаємо в, поза: G → N наступним чином:
\ (\ begin {масив} {cccc}
\ ім'я оператора {in} (\ mu) :=2, &\ ім'я оператора {in} (\ eta) :=0, &\ ім'я оператора {in} (\ дельта) :=1, &\ ім'я оператора {in} (\ epsilon) :=1,\
\ ім'я оператора {out} (\ mu) :=1, &\ ім'я оператора {out} (\ eta) :=1, &\ text {out} (\ дельта) :=2, &\ ім'я оператора {out} (\ епсилон) :=0.
\ end {масив}\)
Нехай E - множина аксіом Фробенія, тобто дев'ять рівнянь з визначення 6.52.
Тоді вільний проп на (G, E) еквівалентний, як симетрична моноїдальна категорія, а до Коспана\(_{FinSet}\).
Таким чином, ми бачимо, що ідеальні дроти, з'єднання, коспани та об'єкти зі структурами Фробеніуса тісно пов'язані. Ми використовуємо структури Frobenius (все це розщеплення, злиття, ініціалізація та припинення матеріалу) як спосіб захоплення граматики схем схем.
Монтажні схеми для категорій гіперграфа
Введемо категорії гіперграфів через їх монтажні схеми. Так само, як і для моноїдальних категорій, формальне визначення - це лише структура, необхідна для unambigu- ously інтерпретації цих діаграм.
Дійсно, наш інтерес до категорій гіперграфів найкраще проглядається в їх монтажних схемах. Ключова ідея полягає в тому, що електричні схеми для категорій гіперграфів є мережевими схемами. Це означає, що на додаток до малювання маркованих коробок з входами та виходами, як ми можемо для моноїдальних категорій, і на додаток до згинання цих проводів навколо, як ми можемо для компактних закритих категорій, нам дозволяється розділяти, з'єднувати, закінчувати та ініціалізувати дроти.
Ось приклад схеми підключення, яка представляє собою композицію морфізмів у категорії гіперграфа
Ми пригнічували деякі мітки об'єкта/дроту для зручності читання, оскільки всі типи можуть бути виведені з маркованих.
1. Яка мітка повинна бути на вході в h?
2. Яка мітка повинна бути на виході g?
3. Яка мітка повинна бути на четвертому вихідному дроті композиту? ♦
Таким чином, категорії гіперграфів є досить загальними, щоб говорити про всі діаграматичні мови в стилі мережі, як схеми.
Визначення категорії гіперграфа
Тепер ми готові формально визначити категорії гіперграфа. Оскільки схеми підключення для категорій гіперграфів - це лише схеми для симетричних моноїдальних категорій з кількома додатковими піктограмами, визначення є відносно простим: ми просто хочемо структуру Фробеніуса на кожному об'єкті. Єдина умова узгодженості полягає в тому, що вони добре взаємодіють з моноїдальним продуктом.
Категорія гіперграфа - це симетрична моноїдальна категорія (C, I,), в якій кожен об'єкт X оснащений структурою Фробеніуса (X, μ\(_{X}\), δ\(_{X}\), η\(_{X}\), ε\(_{X}\)) такою, що
для всіх об'єктів X, Y і таких, що η\(_{I}\) = id\(_{I}\) = ε\(_{I}\).
Реквізит гіперграфа - це категорія гіперграфа, яка також є реквізитом, наприклад, Ob (C) =\(\mathbb{N}\) тощо.
За прикладом 6.61 категорія Коспан\(_{FinSet}\) є категорією гіперграфа. (Насправді це еквівалентно опору гіперграфа.) Намалюйте морфізми Фробеніуса для об'єкта 1 у Коспані,\(_{FinSet}\) використовуючи зображення функції та проводки, як у прикладі 6.46. ♦
Використовуючи свої знання про коліміти, покажіть, що карти, визначені в прикладі 6.61, дійсно підкоряються спеціальному закону (див. Визначення 6.52) . ♦
Нагадаємо моноїдальну категорію (Corel, Ø,) з прикладу 4.61; її об'єкти є кінцевими множинами, а її морфізми - кореляціями.
З огляду на скінченну множину X, визначте кореляцію μ\(_{X}\): X X → X таким чином, що два елементи X X еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони походять від одного і того ж базового елемента X. Визначте δ\(_{X}\): X → X X таким же чином і визначте η\(_{X}\): Ø → X і ε\(_{X}\): X → Ø таким чином, щоб не було двох елементів X = Ø X = X Ø еквівалентні.
Ці карти визначають спеціальний комутативний моноїд Фробеніуса (X\(_{X}\) \(_{X}\), μ\(_{X}\), δ, η, ε\(_{X}\)), і фактично дають Корелю структуру категорії гіперграфа.
Опора лінійних відносин, про яку ми коротко згадали у Вправі 5.84, є категорією гіперграфа. Насправді це категорія гіперграфа двома способами, вибираючи або чорні генератори «копіювання» та «відкинути», або білі генератори «додати» та «нуль» як карти Фробеніуса.
Ми можемо узагальнити конструкцію, яку ми дали в теоремі 5.87.
Категорії гіперграфа - це самоподвійні компактні закриті категорії, якщо ми визначимо чашку та ковпачок, які повинні бути
Доказ. Доказом є пряме застосування аксіом Фробеніуса та унітарності:
\(\square\)
Заповніть відсутню діаграму в доказ Пропозиції 6.66, використовуючи рівняння з Eq. (6.51), їх протилежності та екв. (6.53) . ♦