6.2: Коліміти та підключення
- Page ID
- 66335
Універсальні конструкції займають центральне місце в теорії категорій. Вони дозволяють нам визначати об'єкти, принаймні, аж до ізоморфізму, описуючи їх зв'язок з іншими об'єктами. Поки ми бачили цю тему в ряді різних форм: зустрічає та приєднується (Розділ 1.3), Галуа зв'язки та ад'юнкції (Розділи 1.4 та 3.4), обмеження (Розділ 3.5) та вільні та представлені структури (Розділ 5.2.3-5.2.5). Тут ми звертаємо свою увагу на коліміти.
У цьому розділі наше головне завдання полягає в тому, щоб мати конкретне розуміння колімітів в категорії FinSet скінченних множин і функцій. Ідея полягала в тому, щоб взяти купу множин, скажімо, два або п'ятнадцять або нульові функції використання між ними, щоб позначити, що елементи в одному наборі «повинні розглядатися однаково» як елементи в іншому наборі, а потім об'єднати набори разом відповідно.
Початкові об'єкти
Так само, як найпростішим лімітом є термінальний об'єкт (див. Розділ 3.5.1), найпростішим colimit є початковим об'єктом. Це той випадок, коли ви починаєте без об'єктів і об'єднуєте їх разом.
Дозвольте C бути категорією. Початковим об'єктом в C є об'єкт Ø\(\in\) C такий, що для кожного об'єкта T в C існує унікальний морфізм! \(_{T}\): Ø → Т.
Символ Ø - це лише ім'я за замовчуванням, позначення, призначене для того, щоб викликати правильну ідею; див. приклад 6.4 з причини, чому ми використовуємо позначення Ø, і Вправа 6.7 для випадку, коли ім'я за замовчуванням Ø, ймовірно, не використовуватиметься.
Знову ж таки, відмінною рисою універсальності є наявність унікальної карти з будь-яким іншим порівнянним об'єктом.
Початковим об'єктом попереднього замовлення є нижній елемент, тобто елемент, який менше, ніж будь-який інший елемент.
Наприклад, 0 є початковим об'єктом у (\(\mathbb{N}\), ≤), тоді як (\(\mathbb{R}\), ≤) не має початкового об'єкта.
Розглянемо множину A = {a, b}. Знайти відношення попереднього порядку ≤ на A таке, що
1. (A, ≤) не має початкового об'єкта.
2. (A, ≤) має рівно один початковий об'єкт.
3. (A, ≤) має два початкових об'єкта. ♦
Початковим об'єктом у FinSet є порожній набір. З огляду на будь-яку скінченну множину T, існує унікальна функція Ø → T, оскільки Ø не має елементів.
Як видно з вправи 6.3, категорія C не повинна мати початковий об'єкт. Як інший приклад, розглянемо категорію, показану тут:
Якби мав бути початковий об'єкт Ø, це було б або A, або B.
Так чи інакше, нам потрібно показати, що для кожного об'єкта T\(\in\) Ob (C) (тобто для T = A і T = B) існує унікальний морфізм Ø → T. Спроба випадку Ø =\(^{?}\) A ця умова не вдається, коли T = B: є два морфізми A → B, а не один.
І при спробі випадку Ø =\(^{?}\) B ця умова не вдається, коли T = A: є нульові морфізми B → A, а не один.
Для кожного з наведених нижче графіків розглянемо вільну категорію на цьому графіку та скажіть, чи має він початковий об'єкт.
Нагадаємо поняття бурової установки з глави 5.
Буровий гомоморфізм від (R, 0\(_{R}\), +\(_{R}\), 1\(_{R}\), ∗\(_{R}\)) до (S, 0\(_{S}\), +\(_{S}\), 1\(_{S}\), ∗\(_{S}\)) - це функція f: R → S така, що f (0\(_{R}\)) = 0 \(_{S}\), f (r 1 +\(_{R}\) r 2) = f (r 1) +\(_{S}\) f (r 2) і т.д.
1. Ми сказали «і т.д.» Вгадайте інші умови, щоб f був кільцевим гомоморфізмом.
2. Нехай Rig позначає категорію, об'єктами якої є бурові установки і чиї морфізми - це ригові гомоморфізми. Ми стверджуємо, що Rig має початковий об'єкт. Що це таке? ♦
Поясніть твердження «відмінною рисою універсальності є існування унікальної карти з будь-яким іншим порівнянним об'єктом» в контексті визначення 6.1. Зокрема, що є універсальним у визначенні 6.1, а що є «порівнянним об'єктом»? ♦
Зауваження 6.9. Як згадувалося в Зауваження 3.85, ми часто говоримо про «об'єкт», який задовольняє універсальну властивість, таку як «початковий об'єкт», хоча багато різних об'єктів можуть задовольнити початкову умову об'єкта. Знову ж таки, причина полягає в тому, що початкові об'єкти унікальні аж до унікального ізоморфізму: будь-які два початкові об'єкти матимуть між ними канонічний ізоморфізм, який можна знайти за допомогою різних застосувань універсальної властивості.
Дозвольте C бути категорією, і припустимо, що c\(_{1}\) і c\(_{2}\) є початковими об'єктами. Знайдіть ізоморфізм між ними, використовуючи універсальну властивість з Визначення 6.1. ♦
Копродукти
Копродукти узагальнюють як об'єднання в попередньому порядку, так і неспільні союзи множин.
Дозвольте A та B бути об'єктами категорії C.
Копродукт A і B - це об'єкт, який ми позначимо A + B разом з парою морфізмів (\(_{A}\): A → A + B,\(_{B}\): B → A + B) такий, що для всіх об'єктів T і пар морфізмів (f: A → T, g: B → T) існує унікальний морфізм [f, g]: A + B → Т такий, що наступна схема комутує:
Ми називаємо [f, g] порівняння f і g.
Поясніть, чому в попередньому порядку копродукти такі ж, як приєднання. ♦
Копродукти в категоріях FinSet і Set - це неспільні союзи. Точніше, припустимо, що A і B є множинами.
Тоді співпродукт A і B задається нероз'єднаним об'єднанням A B разом з функціями включення\(_{A}\): A → A B і\(_{B}\): B → A Б.
Припустимо, у нас є функції f: A → T і g: B → T для якоїсь іншої множини T, незображеної. Універсальна властивість копродуктів говорить про наявність унікальної функції [f, g]: A B → T така, що\(_{A}\); [f, g] = f і ü\(_{B}\); [f, g ] = г.
Що це таке? Будь-який елемент x\(\in\) A B є або «від A» або «від B», тобто або є якийсь \(\in\)A з x =\(_{A}\) (a), або є якийсь b\(\in\) Б з х =\(_{B}\) (b). За еквалайзером (6.12) ми повинні мати:
\ ([f, g] (x) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
f (x) &\ text {якщо} x =\ iota_ {A} (a)\ текст {для деяких} a\ in A\\
g (x) &\ text {якщо} x =\ iota_ {B} (b)\ текст {для деяких} b\ в B
\ кінець {масив}\ праворуч.\)
Припустимо, T = {a, b, c,., z} - це набір букв в алфавіті, і нехай A і B будуть множинами з екв. (6.15). Розглянемо функцію f: A → T, яка надсилає кожен елемент A до першої літери його мітки, наприклад f (apple) = a. Нехай g: B → T — функція, яка надсилає кожен елемент B до останньої літери його мітки, наприклад g (apple) = e. Запишіть функцію [f, g] (x) для всіх восьми елементів A B. ♦
Ліворуч f: A → C, g: B → C, а h: C → D бути морфізмами в категорії С з супутніми продуктами. Покажіть, що
1. ü\(_{A}\); [ф, г] = ф.
2.\(_{B}\); [f, г] = г.
3. [f, g]; h = [f; h, g; h].
4. [\(_{A}\),\(_{B}\)] = ідентифікатор\(_{A+B}\). ♦
Припустимо, категорія С має копродукти, позначені +, і початковий об'єкт, що позначається Ø. Тоді (C, +, Ø) - це симетрична моноїдальна категорія (згадати визначення 4.45). У цій вправі ми розробляємо дані, що стосуються цього факту:
1. Показати, що + поширюється на функтор C × C → C. Зокрема, як він діє на морфізми в C × C?
2. Використовуючи універсальні властивості вихідного об'єкта і копродукту, показують, що існують ізоморфізми A + Ø → A і Ø + A → A.
3. Використовуючи універсальне властивість копродукту, записуйте морфізми
а) (А + Б) + С → А + (В + С).
б) А + Б → Б + А.
Якщо хочете, перевірте, чи це ізоморфізми.
Потім можна перевірити, що ці дані підкоряються аксіомам симетричної моноїдальної категорії, але ми закінчимо вправу на цьому. ♦
Виштовхує
Віджимання - це спосіб комбінування наборів. Як і об'єднання підмножин, pushout може об'єднувати дві множини нероз'єднаним способом: елементи однієї множини можуть бути ототожнені з елементами іншого. Конструкція pushout, однак, набагато більш загальна: вона дозволяє (і вимагає) користувачеві вказати, які саме елементи будуть ідентифіковані. Ми побачимо демонстрацію цієї додаткової загальності в прикладі 6.29
Дозвольте C бути категорією і нехай f: A → X і g: A → Y бути морфізмами в C, які мають загальний домен. Виштовхування X +\(_{A}\) Y - це коліміт діаграми
Більш детально виштовхування складається з (i) об'єкта X +\(_{A}\) Y та (ii) морфізмів\(_{X}\): X → X+\(_{A}\) Y та\(_{Y}\): Y → X+\(_{A}\) Y задовольняючи (а) і (b) нижче.
(а) Діаграма
їздить на роботу. (Ми пояснимо символ\(\Gamma\) «'нижче.)
(б) Для всіх об'єктів T і морфізмів x: X → T, y: Y → T, якщо діаграма
комутує, то існує унікальний морфізм t: X +\(_{A}\) Y → T такий, що
їздить на роботу.
Якщо X +\(_{A}\) Y є поштовхом, ми позначаємо цей факт, намалювавши комутаційний квадрат Eq. (6.20) разом із\(\Gamma\) символом, як показано на малюнку; ми називаємо його квадратом виштовхування. Далі називаємо\(_{X}\) відштовхуванням g уздовж f, і аналогічно\(_{Y}\) відштовхуванням f уздовж g.
У попередньому порядку віджимання та копродукти мають багато спільного. Виштовхування діаграми B ← A → C дорівнює співпродукту B C: а саме обидва рівні з'єднанню B\(\bigvee\) C.
Нехай f: A → X бути морфізмом у категорії C. Для будь-яких ізоморфізмів i: A → A ′ і j: X → X ′, ми можемо взяти X ′ як штовхання X +\(_{A}\) A ′, тобто наступне - квадрат виштовхування:
де f': = i\(^{-1}\); f; j. Щоб побачити це, зауважте, що якщо є який-небудь об'єкт T такий, що наступний квадрат комутує:
потім f; x = i; a, і тому ми змушені приймати x': X → T бути x': = j\(^{-1}\); x. Це робить наступну схему комутації:
тому що f'; x' = i\(^{-1}\); f; j; j\(^{-1}\); х = i\(^{-1}\); i; а = а.
Для будь-якого набору S ми маємо дискретну категорію Disc\(_{S}\), з S як об'єкти і лише морфізми ідентичності.
1. Показати, що всі pushouts існують в Disc\(_{S}\), для будь-якого набору S.
2. Для яких наборів S Disc\(_{S}\) має початковий об'єкт? ♦
У категорії FinSet віджимання завжди існують. Виштовхування функцій f: A → X і g: A → Y - множина класів еквівалентності X Y при співвідношенні еквівалентності, породженому тобто рефлексивним, перехідним, симетричним замиканням відношення {f (a) ↑ g (a) | a\(\in\) A}.
Ми можемо думати про це з точки зору взаємозв'язку теж. Кожен елемент a\(\in\) A забезпечує зв'язок між f (a) в X і g (a) в Y.
Pushout - це набір з'єднаних компонентів X Y.
Що таке виштовхування функцій f:\(\underline{4}\) →\(\underline{5}\) і g:\(\underline{4}\) → на\(\underline{3}\) фото нижче?
Перевірте свою відповідь за допомогою анотаційного опису з Прикладу 6.25.
Припустимо, категорія C має початковий об'єкт Ø. Для будь-яких двох об'єктів X, Y\(\in\) ObC існує унікальний морфізм f: Ø → X і унікальний морфізм g: Ø → Y; це те, що означає для Ø бути початковим.
Діаграма\(X \stackrel{f}{\rightarrow} Ø \stackrel{g}{\leftarrow} Y\) має поштовх в C, якщо X і Y мають копродукт в C, а штовхання і копродукт будуть однаковими. Дійсно, припустимо, що X і Y мають співпродукт X + Y; тоді діаграма зліва
їздить на роботу (чому? \(^{1}\)), а для будь-якого об'єкта T та комутативної діаграми праворуч є унікальна карта X + Y → T, що робить діаграму, як у Eq. (6.21) коммутіруют (чому? \(^{2}\)). Це показує, що X + Y - це поштовх, X +\(_{Ø}\) Y\(\cong\) X + Y.
Аналогічно, якщо виштовхування X + Y існує, то він задовольняє універсальну властивість копродукту (чому? \(^{3}\)).
У прикладі 6.27 ми запитали «чому?» три рази.
1. Дайте виправдання «чому? \(^{1}\)».
2. Дайте виправдання «чому\(^{2}\)? ».
3. Дайте виправдання «чому? \(^{3}\)» . ♦
Нехай A = X = Y = N. Розглянемо функції f: A → X і g: A → Y, задані функціями «поверх», f (a) := a /2 і г (а) := (а + 1) /2.
Що таке їх поштовх? Давайте розберемося, використовуючи визначення.
Якщо T є будь-яким іншим набором, і ми маємо карти х: X → T і y: Y → T, які їздять з f і g, тобто f\(\cong\) x = g\(\cong\) y , то ця комутативність означає, що
у (0) = у (г (0)) = х (ф (0)) = х (0).
Іншими словами, Y 0 і X 0 йдуть до того ж місця в T, скажімо t. Але так як f (1) = 0 і g (1) = 1, у нас також є, що t = х (0) = х (f (1)) = y (g (1)) = у (1). Це означає, що Y 1 також йде до t. Але оскільки g (2) = 1 і f (2) = 1, у нас також є, що t = g (1) = y (g (2)) = x (2)) = x (1), що означає, що X 1 також йде до t. Можна продовжувати повторювати це і виявити, що кожен елемент Y і кожен елемент X йдуть до t! Використовуючи математичну індукцію, можна довести, що штовхання насправді є 1-елементним набором, X A Y\(\cong\) {1}.
скінченні обмеження
Початкові об'єкти, копродукти та віджимання - це всі типи обмежень. Загальне визначення colimit ми дали в розділі 3.5.4. Подібно до того, як межа в C є кінцевим об'єктом у категорії конусів над діаграмою D: J → C, коліміт є початковим об'єктом у категорії кокосів над деякою діаграмою D: J → C. Для наших цілей достатньо обговорити кінцеві межі - тобто коли J є кінцевою категорією, яка підсумує початкові об'єкти, копродукти та поштовхи. \(^{4}\)
У визначенні 3.102 кокоси в С визначаються як конуси в С\(^{op}\). Для візуалізації, якщо D: J → C виглядає як діаграма зліва, то кокон на ній зображений на схемі праворуч:
Тут будь-які два паралельні шляхи, що закінчуються на T, рівні C.
Ми говоримо, що категорія C має кінцеві обмеження, якщо коліміт, колім\(_{J}\) D, існує всякий раз, коли J є кінцевою категорією, а D: J → C є діаграмою.
Початковим об'єктом у категорії C, якщо він існує, є колімітом функтора! : 0 → C, де 0 - категорія без об'єктів і без морфізмів, і! є унікальним таким функтором. Дійсно, кокон закінчився! це просто об'єкт C, і тому початковий кокон закінчився! є лише початковим об'єктом C.
Зауважте, що 0 має скінченно багато об'єктів (жоден); отже, початкові об'єкти є кінцевими колімітами.
Ми часто хочемо знати, що категорія C має всі кінцеві обмеження (у цьому випадку ми часто скидаємо «все» і просто говоримо «C має кінцеві коліміти»). Щоб перевірити, що C має (всі) кінцеві коліміти, досить перевірити, що він має кілька простіших форм коліміту, які генерують всі інші.
Дозвольте C бути категорією. Наступні еквівалентні:
1. C має всі кінцеві обмеження.
2. C має початковий об'єкт і всі віджимання.
3. C має всі коеквалайзери та всі кінцеві копродукти.
Доказ. Точних деталей тут ми не будемо наводити, але ключова ідея індуктивна: можна будувати довільні скінченні діаграми, використовуючи деякі основні будівельні блоки. Повну інформацію можна знайти в [Bor94, Prop 2.8.2]. \(\square\)
Дозвольте C бути категорією з усіма pushouts, і припустимо, що ми хочемо взяти коліміт наступної діаграми в C:
У ньому ми бачимо дві схеми, готові до виштовхування, і ми знаємо, як приймати віджимання. Отже, припустимо, ми робимо це; тоді ми бачимо ще одну діаграму виштовхування, тому ми знову беремо поштовх:
результат, що складається з об'єкта S, разом з усіма морфізмами від початкової діаграми до S колімітом вихідної діаграми? Можна перевірити, що він дійсно має правильну універсальну властивість і, таким чином, є колімітом.
Переконайтеся, що виштовхування віджимань з Прикладу 6.33 задовольняє універсальній властивості colimit для початкової діаграми, Eq. (6.34) . ♦
Ми вже бачили, що категорії FinSet і Set мають початковий об'єкт і pushouts. Таким чином, ми маємо наступний наслідок.
Категорії FinSet і Set мають (усі) кінцеві обмеження.
У теоремі 3.95 наведено загальну формулу для обчислення скінченних меж у множині. Також можна дати формулу для обчислення скінченних колімітів. Існує подвійність між продуктами та копродуктами та між підоб'єктами та частковими об'єктами, тому тоді як кінцева межа задається підмножиною добутку, кінцевий коліміт задається часткою копродукту.
Нехай J буде представлений скінченним графом (V, A, s, t) та деякими рівняннями, а D: J → Set буде діаграмою. Розглянемо набір
\(\operatorname{colim}_{g} D:=\{(v, d) \mid v \in V \text { and } d \in D(v)\} / \sim\)
де це позначає множину класів еквівалентності під співвідношенням еквівалентності, що генерується шляхом введення (v, d) ↑ (w, e), якщо в J є стрілка a: v → w така, що D (a) ( г) = е. Тоді ця множина разом з функціями\(_{v}\): D (v) → colim\(_{J}\) D, заданий відправкою \(\in\)d D (v) до його класу еквівалентності, становить коліміт D.
Нагадаємо, що початковим об'єктом є коліміт на порожньому графі. Формула, таким чином, говорить, що початковий об'єкт у Set є порожнім набором Ø: немає v\(\in\) V.
Копродукт - це коліміт на графіку J =\(v_{1} \quad v_{2}\). Функтор D: J → Множина може бути ідентифікований з вибором двох множин, X: = D (v\(_{1}\)) і Y: = D (v\(_{2}\)). Оскільки в J немає стрілок, співвідношення еквівалентності - вакуумне, тому формула в теоремі 6.37 говорить про те, що копродукт задається
\(\left\{(v, d) \mid d \in D(v), \text { where } v=v_{1} \text { or } v=v_{2}\right\}\)
Іншими словами, співпродукт множин X і Y - це їх неспільний союз X Y, як і очікувалося.
Якщо J - категорія 1 =\(\begin{array}{l} v \\ \bullet \end{array}\), формула в теоремі 6.37 дає множину
{(v, d) | д\(\in\) Д (v)}
Це ізоморфно до множини D (v). Іншими словами, якщо X є множиною, яка розглядається як діаграма X: 1 → Set, то його коліміт (як і його межа) знову дорівнює X.
Використовуйте формулу в теоремі 6.37, щоб показати, що pushouts коліміти на діаграмі\(X \stackrel{f}{\rightarrow} N \stackrel{g}{\leftarrow} Y\) узгоджуються з описом, який ми дали в прикладі 6.25. ♦
Ще одним важливим типом скінченного коліміту є коеквалайзер. Це коліміти над графіком,\(\bullet \rightrightarrows \bullet\) що складається з двох паралельних стрілок.
Розглянемо деяку діаграму\(X \underset{q}{\stackrel{f}{\rightrightarrows}} Y\) на цьому графіку в Set. Коеквалайзер цієї діаграми - це набір класів еквівалентності Y при співвідношенні еквівалентності, що генерується оголошенням y y ′ всякий раз, коли існує x у X, такий що f (x) = y і (x) = у ′.
Повернемося до прикладу схеми у вступі, щоб натякнути, чому коліміти корисні для взаємозв'язку. Розглянемо наступну картину:
Ми перемалювали цю картинку з однією зміною: деякі стрілки тепер червоні, а інші тепер сині. Якщо ми дозволимо X бути набором білих кіл ◦, а Y - множиною чорних кіл •, синя і червона стрілки відповідно визначають функції f, g: X → Y. Давайте залишимо фактичні компоненти схеми поза картинкою на даний момент; ми просто зацікавлені в крапках. Що таке коеквалайзер?
Це набір з трьох елементів, що складається з одного елемента для кожної знову з'єднаної пари •. Таким чином colimit описує набір клем після виконання операції взаємозв'язку. У розділі 6.4 ми побачимо, як також відстежувати компоненти схеми.
Коспани
Коли категорія С має кінцеві коліміти, надзвичайно корисним способом їх упаковки є розглядання категорії коспанів у C.
Дозвольте C бути категорією. Коспан в С - це всього лише пара морфізмів до загального об'єкта A → N ← B. Загальний об'єкт N називається вершиною коспана, а інші два об'єкти A і B називаються його ногами.
Якщо ми хочемо сказати, що коспани утворюють категорію, ми повинні почати з того, як буде працювати композиція. Отже, припустимо, у нас є два коспани в C
Оскільки права нога першого дорівнює лівій нозі другого, ми можемо склеїти їх разом у діаграму, як це:
Потім, якщо pushout\(N \stackrel{g}{\rightarrow} B \stackrel{h}{\leftarrow} P\) існує в C, як показано ліворуч, ми можемо витягти новий коспан в C, як показано праворуч:
Може здатися, що ми досягли своєї мети, але нам не вистачає деяких речей. По-перше, нам потрібна ідентичність на кожному об'єкті C\(\in\) Ob C; але це не важко: використовуйте C → C ← C, де обидві карти є ідентичностями в C. Що ще важливіше, ми не знаємо, що C має всі віджимання, тому ми не знаємо, що кожні два послідовних морфізми A → B → C можна скласти. І крім цього, існує технічна умова, що коли ми формуємо віджимання, ми отримуємо лише відповідь «до ізоморфізму»: все, що ізоморфне для виштовхування, вважається виштовхуванням (перевірте визначення, щоб зрозуміти, чому). Ми хочемо, щоб усі ці різні варіанти вважалися одним і тим же, тому ми визначаємо два коспани, щоб бути еквівалентними, якщо між відповідними верхівками є ізоморфізм. Тобто коспан A → P ← B і A → P ′ ← B на діаграмі, показаній зліва нижче, еквівалентні, якщо є ізоморфізм P\(\cong\) P ′ робить діаграму праворуч коммутіруют:
Зараз ми кудись дістаємося. Поки наша категорія С має pushouts, ми в бізнесі: Cospan\(_{C}\) сформує категорію. Але насправді ми дуже близькі до того, щоб отримати більше. Якщо ми також вимагаємо, щоб C мав початковий об'єкт Ø, то ми можемо оновити Cospan\(_{C}\) до симетричної моноїдальної категорії.
Нагадаємо з Пропозиції 6.32, що категорія C має всі кінцеві обмеження, якщо вона має початковий об'єкт і всі поштовхи.
Нехай C буде категорією з кінцевими колімітами. Тоді існує категорія Коспан\(_{C}\) з тими ж об'єктами, що і C, тобто Ob (Cospan\(_{C}\)) = Ob (C), де морфізми A → B - це (класи еквівалентності) коспанів від A до B, а склад задається вищевказаним конструкція виштовхування.
Існує симетрична моноїдальна структура на цій категорії, що позначається (Коспан\(_{C}\), Ø, +). Моноїдальна одиниця є початковим об'єктом Ø\(\in\) С, а моноїдальний продукт задається спільним продуктом. Ізоморфізми когерентності, наприклад A + Ø\(\cong\) A, можуть бути визначені аналогічно тим, що у Вправі 6.18.
Це проста, але трудомістка вправа перевірити, що (Cospan\(_{C}\), Ø, +) з визначення 6.45 дійсно задовольняє всі аксіоми симетричної моноїдальної категорії, але це так.
Категорія FinSet має кінцеві обмеження (див. 6.36). Отже, ми можемо визначити симетричну моноїдальну категорію Коспан\(_{FinSet}\). Як це виглядає? Виглядає багато в чому дроти, що з'єднують порти.
Об'єкти \(_{FinSet}\)Коспана є скінченними множинами; тут давайте намалюємо їх як колекції •. Морфізми є коспанами функцій. Нехай A і N п'ять множин елементів, а B - a\(A \stackrel{f}{\rightarrow} N \stackrel{g}{\leftarrow} B\).
На зображенні зліва ми просто представляємо функції f і g, малюючи стрілки від кожної a a \(\in\)до f (a) і кожної b\(\in\) B до g (b). На зображенні праворуч робимо цю картинку нагадувати дроти трохи більше, просто малюючи дріт там, де раніше у нас була стрілка, і прибравши непотрібні центральні точки. Ми також проводимо пунктирну лінію навколо точок, які з'єднані, щоб підкреслити важливу перспективу, що коспани встановлюють, що певні порти з'єднані, тобто частина одного класу еквівалентності.
\(_{FinSet}\)Тоді моноїдальна категорія Коспан передбачає дві операції для об'єднання коспанів: склад і моноїдний продукт. Композиція дається шляхом виштовхування карт, що надходять із загальної стопи, як описано у Визначенні 6.45. Ось приклад композиції коспана, де всі функції зображені зі стрілочними позначеннями:
Моноїдальне виріб дається просто нероз'ємним об'єднанням двох коспанів; на картинках це просто поєднання двох коспанів шляхом укладання один над іншим.
У еквалайзері (6.47) ми показали морфізми A → B і B → C у Коспані\(_{FinSet}\).
Намалюйте їх моноїдний добуток як морфізм A + B → B + C у Коспані\(_{FinSet}\). ♦
Зображення композиту коспанів у ур. (6.47) з дротяними позначеннями дає
Порівнюючи Eq. (6.47) і Eq. (6.50), опишіть правило складу в Cospan\(_{FinSet}\) з точки зору проводів і з'єднаних компонентів. ♦