3.2: Категорії

Категорія C складається з чотирьох частин об'єктів даних, морфізмів, ідентичностей та правила композиції, що задовольняє двом властивостям.

Визначення: 3.6.

Щоб вказати категорію C:

1. one вказує колекцію\(^{2}\) Ob (C), елементи якої називаються об'єктами.
2. для кожних двох об'єктів c, d вказується множина C (c, d),\(^{3}\) елементи якої називаються морфізмами від c до d.
3. для кожного об'єкта c\(\in\) Ob (C) вказується морфізм\(id_{c}\) \(\in\)C (c, c), званий морфізмом ідентичності на c.
4. для кожних трьох об'єктів c, d, e\(\in\) Ob (C) та морфізмів f\(\in\) C (c, d) та g\(\in\) C (d, e) вказується морфізм f; g \(\in\)C (c, e), називається складом f і g.

Іноді ми будемо писати об'єкт c\(\in\) C, замість c\(\in\) Ob (C). Також зручно буде позначити елементи F\(\in\) C (c, d) як f: c → d. Тут c називається доменом f, а d - співдоменом f.

Ці складові зобов'язані задовольняти двом умовам:

1. унікальність: для будь-якого морфізму f: c → d, композиція з тотожностями в c або d нічого не робить:\(id_{c}\); f = f і f;\(id_{d}\) = f.
2. асоціативність: для будь-яких трьох морфізмів f: c 0 → c 1, g: c 1 → c 2, і h: c 2 → c 3, наступні рівні: (f; g); h = f; (г; ч). Записуємо цей композит просто як f; g; h.

Наша наступна мета - навести безліч прикладів категорій. Нашим першим джерелом прикладів є вільні та кінцево представлені категорії, які узагальнюють поняття діаграми Хассе з Зауваження 1.39.

Безкоштовні категорії

Нагадаємо з визначення 1.36, що граф складається з двох типів речей: вершин і стрілок. Звідти можна визначити шляхи, які є просто головою до хвоста послідовності стрілок. Кожен шлях p має початкову вершину і кінцеву вершину; якщо p переходить від v до w, ми пишемо p: v → w. До кожної вершини v існує тривіальний шлях, що не містить стрілок, починаючи і закінчуючи на v; ми часто позначаємо його ідентифікатором v або просто v. Ми також можемо об'єднати шляхи: задано p: v → w і q: w → x, їх об'єднання позначається p = q, і воно йде v → x.

У главі 1 ми використовували графи для зображення попередніх порядків (V, ≤): вершини утворюють елементи попереднього порядку, і ми говоримо, що v ≤ w, якщо в G є шлях від v до w. Тепер ми будемо використовувати графіки дуже схожим чином для зображення певних категорій, відомих як вільні категорії. Тоді ми пояснимо міцний зв'язок між попередніми замовленнями та категоріями в розділі 3.2.3.

Визначення: 3.7.

Для будь-якого графа G = (V, A, s, t) ми можемо визначити категорію Free (G), яка називається вільною категорією на G, об'єктами якої є вершини V і чиї морфізми з c до d - шляхи від c до d. Морфізм ідентичності на об'єкті c - це просто тривіальний шлях у c. Склад задається конкатенацією шляхів.

Наприклад, ми визначаємо 2 як вільну категорію, створену на графіку, показаному нижче:

Вона має два об'єкти\(v_{1}\) і\(v_{2}\), і три морфізми\(id_{v1}\):\(v_{1}\) →\(v_{1}\),\(f_{1}\):\(v_{1}\) →\(v_{2}\), і\(id_{v2}\):\(v_{2}\) →\(v_{2}\). \(id_{v1}\)Ось шлях довжини 0 починається і закінчується на\(v_{1}\),\(f_{1}\) це шлях довжини 1, що складається тільки з стрілки\(f_{1}\), і\(id_{v2}\). Як випливає з нашого позначення,\(id_{v1}\) це особистість морфізм для об'єкта\(v_{1}\), і\(id_{v2}\) аналогічно довжина 0 шляху в\(v_{2}\).

Як підказує наша позначення,\(id_{v1}\) є морпізм ідентичності для об'єкта\(v_{1}\), і подібний\(id_{v2}\) для\(v_{2}\). Оскільки склад задається конкатенацією, ми маємо, наприклад\(id_{v1}\);\(f_{1}\) =\(f_{1}\),\(id_{v2}\);\(id_{v2}\) =\(id_{v2}\), і так далі.

Відтепер ми можемо усунути різницю між графіком та відповідною вільною категорією Free (G), принаймні, коли той, який ми маємо на увазі, достатньо зрозумілий з контексту.

Вправа 3.9.

Щоб Free (G) дійсно була категорією, ми повинні перевірити, чи ці дані, які ми вказали, відповідають властивостям унітарності та асоціативності. Переконайтеся, що вони виконуються для будь-якого графіка G. ♦

Вправа 3.10.

Безкоштовна категорія на графіку, показана тут:\(^{4}\)

має три об'єкти та шість морфізмів: три вершини та шість шляхів у графі. Створіть шість імен, по одному для кожного з шести морфізмів в 3. Запишіть таблицю шість на шість, позначте рядки та стовпці шістьма назвами, які ви вибрали.

1. Заповніть таблицю, написавши назву складеного в кожній клітинці, коли є композит.
2. Де ідентичності? ♦

Вправа 3.12.

Давайте зробимо деякі визначення, грунтуючись на шаблоні вище:

1. Що таке категорія 1? Тобто, які його об'єкти і морфізми?
2. Що таке категорія 0?
3. Яка формула кількості морфізмів у n для довільного n\(\in\)\(\mathbb{N}\)? ♦

Приклад 3.13 (Натуральні числа як вільна категорія).

Розглянемо наступний графік:

Він має лише одну вершину і одну стрілку, але має нескінченно багато шляхів. Дійсно, він має унікальний шлях довжиною n для кожного натурального числа n\(\in\) N, тобто шлях = {z, s, (s; s; s), (s; s; s),...}, де ми запишемо z для довжини 0 шляху на z; він являє собою морфізм is z. Існує відповідність один до одного між Шляхом і натуральними числами, N = {0, 1, 2, 3,.}.

Це приклад категорії з одним об'єктом. Категорія з одним об'єктом називається моноїдом, поняття, яке ми вперше розглянули в прикладі 2.6. Там ми сказали, що моноїд - це кортеж (M, ∗, e) де ∗: M × M → M - функція, а e\(\in\) M - елемент, а m ∗ 1 = m = 1 ∗ m і (m ∗ n) ∗ р = м ∗ (n ∗ р).

Два поняття можуть зовні виглядати по-різному, але легко описати зв'язок.

Задано категорію C з одним об'єктом, скажімо •, нехай M = C (•, •)\(id_{•}\), нехай e =, і нехай ∗: C (•, •) × C (•, •) → C (•, •) - операція складу ∗ =;. Вимоги до асоціативності та унікальності для моноїда будуть задоволені, оскільки С є категорією.

Вправа 3.15.

У прикладі 3.13 ми виділили шляхи графа циклу (3.14) з числами n\(\in\)\(\mathbb{N}\). Шляхи можуть бути об'єднані. Задано число m, n\ (\ in\)\(\mathbb{N}\), яке число відповідає об'єднанню пов'язаних з ними шляхів? ♦

Представлення категорій за допомогою рівнянь шляху

Так що для будь-якого графіка G, є вільна категорія на G. Але ми не повинні зупинятися на досягнутому: ми можемо додати рівняння між шляхами в графіку, і все одно отримати категорію. Нам дозволяється прирівняти два шляхи p та q, коли вони паралельні, тобто вони мають однакову вершину джерела та однакову вершину цілі.

Кінцевий граф з рівняннями шляху називається кінцевим поданням для категорії, а категорія, яка призводить, відома як кінцево представлена категорія. Ось два приклади:

Обидва вони є презентаціями категорій: у лівій частині немає рівнянь, тому він представляє вільну категорію, як обговорюється в розділі 3.2.1. Категорія вільних квадратів налічує десять морфізмів, адже кожен шлях - це унікальний морфізм.

Вправа 3.16.

1. Запишіть десять шляхів у вільній квадратній категорії вище.
2. Назвіть два різні шляхи, які паралельні.
3. Назвіть два різних шляху, які не є паралельними. ♦

З іншого боку, категорія, представлена праворуч, має лише дев'ять морфізмів, оскільки f; h і g; i робляться рівними. Ця категорія називається «комутативний квадрат». Його морфізми

{A, B, C, D, f, g, h, i, f; h}

Можна сказати, що «відсутнім є g; i», але це не зовсім правильно: g; i теж є, тому що він дорівнює f; h. Як завжди, А позначає і\(id_{A}\) т.д.

Вправа 3.17.

Запишіть всі морфізми в категорії, представленої наступною схемою:

♦

Вправа 3.18.

Ми також повинні знати, що виконання рівняння між двома мор-фізмами часто передбачає додаткові рівняння. Ось ще два приклади презентацій, в яких зустрічається це явище:

У C ми маємо рівняння s; s = z. Але це означає s; s; s = z; s = s! І аналогічно у нас є s; s; s; s = z; z = z. Безліч морфізмів в С насправді просто {z, s}, зі складом, описаним s; s = z; z = z, і z; s = s; z = s. У теорії груп можна було б говорити про групу під назвою\(\mathbb{Z}\) /2\(\mathbb{Z}\).

Вправа 3.19.

Запишіть всі морфізми в категорії D з Прикладу 3.18. ♦

Зауваження 3.20. Тепер ми бачимо, що схеми в розділі 3.1, наприклад, Eqs. (3.2) та (3.4) є кінцевими презентаціями категорій. Ми повернемося до цієї ідеї в розділі 3.3.

Попередні замовлення та безкоштовні категорії: два кінці спектру

Тепер, коли ми використовували графіки для зображення попередніх замовлень у розділі 1 та категоріях вище, можна дізнатися взаємозв'язок між цими двома видами використання. Основна ідея, яку ми хочемо пояснити зараз, полягає в тому, що

«Попереднє замовлення - це категорія, де кожні дві паралельні стрілки однакові».

Таким чином, будь-який попередній замовлення може розглядатися як категорія, а будь-яка категорія може бути якось «роздавлена» в попередній порядок. Давайте обговоримо ці ідеї.

Попередні замовлення як категорії. Припустимо, що (P, ≤) є попереднім порядком. Він визначає категорію P наступним чином. Об'єктами Р є саме елементи Р; тобто Об (Р) = Р. Що стосується морфізмів, то P має рівно один морфізм p → q, якщо p ≤ q і не має морфізмів p → q, якщо p\(\nleq\) q. Той факт, що ≤ є рефлексивним, гарантує, що кожен об'єкт має ідентичність, а той факт, що ≤ є перехідним, гарантує, що морфізми можуть бути складені. Викликаємо P категорію, відповідну попередньому порядку (P, ≤).

Насправді діаграму Хассе для попереднього порядку можна вважати поданням категорії, де для всіх вершин p та q кожні два шляхи з p → q оголошуються рівними. Наприклад, в Eq. (1.5) ми побачили діаграму Хассе, яка була схожа на графік зліва:

Діаграма Хассе (ліворуч) може виглядати найбільш схожа на безкоштовну презентацію категорії (середина), яка не має рівнянь, але це неправильно. Вільна категорія має три морфізми (шляхи) від нижнього об'єкта до верхнього об'єкта, тоді як попередні замовлення - це категорії з не більше одного морфізму між двома заданими об'єктами. Натомість діаграма праворуч, при цьому ці шляхи знизу вгору зроблені рівними, є правильним поданням для попереднього замовлення зліва.

Вправа 3.21.

Які рівняння вам потрібно додати до графіків нижче, щоб представити пов'язані попередні замовлення?

Попереднє відображення категорії. З огляду на будь-яку категорію C, можна отримати попередній порядок (C, ≤), знищивши відмінність між будь-якими двома паралельними морфізмами. Тобто нехай C: = Ob (C), і ставимо\(c_{1}\) ≤\(c_{2}\) iff C (\(c_{1}\), \(c_{2}\))\(\neq\) Ø. Якщо є один, або два, або п'ятдесят, або нескінченно багато морфізмів\(c_{1}\) →\(c_{2}\) в С, попереднє відображення не бачить різниці. Але він бачить різницю між деякими морфізмами і відсутністю морфізмів.

Вправа 3.22.

Що таке попереднє відображення категорії\(\mathbb{N}\) з Прикладу 3.13? ♦

Ми обговорювали лише суміжні функції між попередніми замовленнями, але незабаром ми обговоримо суміжні загалом. Ось твердження, яке ви, можливо, не розумієте точно, але це правда; ви можете запитати про це експерта з теорії категорій, і вони повинні бути в змозі пояснити вам це:

Розглядаючи попередній порядок як категорію, це правильно пов'язане з перетворенням категорії на попередній порядок шляхом відображення попереднього замовлення.

Зауваження 3.23 (Закінчення спектру). Основна суть цього підрозділу полягає в тому, що як попередні замовлення, так і вільні категорії задаються графіком без рівнянь шляху, але вони позначають протилежні кінці спектра. В обох випадках вершини графа стають об'єктами категорії, а шляхи - морфізмами. Але у випадку вільних категорій немає рівнянь, тому кожен шлях стає різним морфізмом. У разі попередніх замовлень всі паралельні шляхи стають однаковим морфізмом. Кожна презентація категорії, тобто графік з деякими рівняннями, лежить десь між вільною категорією (без рівнянь) та її передпорядковим відображенням (всі можливі рівняння).

Важливі категорії в математиці

Ми говорили про презентації категорій, але є категорії, які найкраще розуміти безпосередньо, а не за допомогою презентацій. Згадаймо визначення категорії

від визначення 3.6. Найважливішою категорією в математиці є категорія множин.

Визначення: 3.24.

Категорія множин, що позначається Set, визначається наступним чином.

(i) Ob (Set) - це колекція всіх наборів.

(ii) Якщо S і T є множинами, то Set (S, T) = {f: S → T | f є функцією}.

(iii) Для кожної множини S морфізмом ідентичності є функція\(id_{S}\): S → S, задана\(id_{S}\) (s) := s для кожного s\(\in\) S.

(iv) За даними f: S → T і g: T → U їх складеною є функція f; g: S → U, задана (f; g) (s) := g ( f (s)).

Ці визначення задовольняють умовам унікальності та асоціативності, тому Set дійсно є категорією.

Тісно пов'язана категорія FinSet. Це категорія, об'єкти якої є кінцевими множинами і чиї морфізми є функціями між ними.

Вправа 3.25.

Нехай\(\underline{2}\) = {1, 2} і\(\underline{3}\) = {1, 2, 3}. Це об'єкти категорії Набір, розглянутий у Визначенні 3.24. Запишіть всі елементи набору Set (\(\underline{2}\),\(\underline{3}\)); їх повинно бути дев'ять. ♦

Зауваження 3.26. Можливо, ви замислювалися про те, що категорії мають відношення до V-категорій (визначення 2.46); можливо, ви думаєте, що визначення навряд чи схожі. Незважаючи на термін «збагачена категорія», V-категорії не є категоріями з додатковою структурою. Хоча деякі види V-категорій, такі як Bool -categories, тобто попередні замовлення, природно, можна розглядати як категорії, інші види, такі як Cost -categories, не можуть.

Причина важливості Set полягає в тому, що, якщо ми узагальнимо визначення збагаченої категорії (Визначення 2.46), ми виявимо, що категорії у значенні Definition 3.6 - це саме Set -категорії, тому категорії є V-категоріями для дуже особливого вибору V. у розділі 4.4.4. Наразі ми просто зауважимо, що так само, як глибоке розуміння категорії Вартість, наприклад, знаючи, що це квантала дає розуміння метричних просторів Ловера, тому вивчення Set дає уявлення про категорії.

Є багато інших категорій, які хвилюють математиків:

• Вгору: категорія топологічних просторів (околиці)
• Графік: категорія графіків (з'єднання)
• Meas: категорія пробілів мір (кількість)
• Пн: категорія моноїдів (дія)
• Grp: категорія груп (оборотна дія, симетрія)
• Cat: категорія категорій (дія в контексті, структура)

Але насправді це зовсім не справедливо ставиться до різноманітності категорій, про які думають математики. Вони працюють з будь-якою категорією, яку вони вважають, відповідає їхній меті в той час, як «категорія пов'язаних ріманових багатовидів виміру не більше 4».

Ось ще одне джерело прикладів: візьміть будь-яку категорію, яку ви вже маєте, і скасуйте всі її морфізми; результат знову є категорією.

Приклад 3.27.

Дозвольте C бути категорією. Його протилежність, що позначається\(C^{op}\), - категорія з однаковими об'єктами, Ob (\(C^{op}\)) := Ob (C), а для будь-яких двох об'єктів c, d\(\in\) Ob (C) один має\(C^{op}\) (c, d) := C (d, c). Тотожності та склад такі, як у C.

Ізоморфізми в категорії

Попередні розділи були присвячені прикладам категорій: безкоштовні категорії, представлені категорії та важливі категорії в математиці. У цьому розділі ми коротко перемикаємо передачі і поговоримо про важливе поняття в теорії категорій, а саме про поняття ізоморфізму.

У категорії часто виникає думка про те, що два об'єкти взаємозамінні. Наприклад, в категорії Set можна обміняти набір {, □} на множину {0, 1} і все буде те ж саме, крім імен елементів. Аналогічно, якщо є попередній порядок з елементами a, b, таким чином, що a ≤ b і b ≤ a, тобто a\(\cong\) b, то a і b по суті однакові. Як же так? Ну, вони діють так само, в тому, що для будь-якого іншого об'єкта c, ми знаємо, що c ≤ iff c ≤ b, і c ≥ iff c ≥ b. Поняття ізоморфізму формалізує це поняття взаємозамінності.

Визначення: 3.28.

Ізоморфізм - це морфізм f: A → B такий, що існує морфізм g: B → A задовольняє f; g =\(id_{A}\) і g; f\(id_{B}\). У цьому випадку ми викликаємо f і g зворотні, і ми часто пишемо g =\(f^{−1}\), або еквівалентно f =\(g^{−1}\). Також ми говоримо, що А і В - ізоморфні об'єкти.

Приклад 3.29.

множина A: = {a, b, c} і множина\(\underline{3}\) = {1, 2, 3} ізоморфні; тобто існує ізоморфізм f: A →\(\underline{3}\) заданий f (a) = 2, f (b) = 1, f (с) = 3. Ізоморфізми в категорії Set - це біекції.

Нагадаємо, що кардинальність скінченної множини - це кількість елементів в ньому. Це можна зрозуміти з точки зору ізоморфізмів в FinSet. А саме для будь-якого скінченного\(\in\) множини A FinSet його кардинальність дорівнює\(\in\)\(\mathbb{N}\) числу n таким, що існує ізоморфізм A\(\cong\) n. Георг Кантор визначив кардинальність будь-якої множини X як його клас ізоморфізму, тобто клас еквівалентності, що складається з усіх множин, ізоморфних до X.

Вправа 3.30.

1. Що таке зворотна\(f^{−1}\):\(\underline{3}\) → A функції f, наведеної у прикладі 3.29?
2. Скільки різних ізоморфізмів існує А →\(\underline{3}\)? ♦

Вправа 3.31.

Показати, що в будь-якій заданій категорії C, для будь-якого заданого об'єкта \(\in\)c C, ідентифікатор ідентичності c є ізоморфізмом ♦

Вправа 3.32.

Нагадаємо Приклади 3.13 і 3.18. Моноїд, в якому кожен морфізм є ізоморфізмом, відомий як група.

1. Чи є моноїд у прикладі 3.13 групою?

2. А як щодо моноїда C у прикладі 3.18? ♦

Вправа 3.33.

Нехай G буде графом, і нехай Free (G) - відповідна вільна категорія. Хтось каже вам, що єдиними ізоморфізмами у Free (G) є морфізми ідентичності. Чи правильна ця людина? Чому чи чому ні? ♦

Приклад 3.34.

У цьому прикладі ми побачимо, що для g і f можливо майже, але не зовсім зворотним, в певному сенсі.

Розглянемо функції f:\(\underline{2}\) →\(\underline{3}\) і g:\(\underline{3}\) →\(\underline{2}\) намальовані нижче:

Тоді читач повинен мати можливість миттєво перевірити, що f; g =\(id_{\underline{2}}\) але g; f\(\neq\)\(id_{\underline{3}}\). При цьому f і g не є зворотними і, отже, не ізоморфізмами. Нам не знадобиться ця термінологія, але теоретики категорій скажуть, що f і g утворюють ретракцію.